輔助線添置方法專題以及垂直平分線和角平分線

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：學(xué)時(shí)數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：學(xué)科教師：課題輔助線添置辦法專項(xiàng)以及垂直平分線和角平分線基礎(chǔ)教學(xué)目的1．通過(guò)證明舉例的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，懂得演繹推理的普通規(guī)則，初步掌握規(guī)范的體現(xiàn)格式；理解證明之邁進(jìn)行分析的基本思路；2．能純熟的添置輔助線解決平行、垂直和相等問(wèn)題；3．掌握互逆命題、互逆定理，軌跡的概念以及垂直平分線和角平分線定理和逆定理，為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：幾何命題的證明分析辦法以及證明的完整過(guò)程；難點(diǎn)：添置輔助線的辦法；靈活應(yīng)用定理證明?？键c(diǎn)及考試規(guī)定掌握幾何證明的演繹推理的過(guò)程，規(guī)定解題思路對(duì)的，辦法簡(jiǎn)樸，證明嚴(yán)格規(guī)范，并且符合邏輯。教學(xué)內(nèi)容一．幾何證明知識(shí)梳理【回想已經(jīng)學(xué)過(guò)的說(shuō)理根據(jù)】1、已知2、公共角3、公共邊4、同圓的半徑相等5、等邊三角形的三邊相等，三個(gè)角都相等（60o）6、正方形的四邊相等，四個(gè)角都相等（90o）7、直線的基本性質(zhì)：通過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線8、線段的基本性質(zhì)：在全部連接兩點(diǎn)的線中，線段最短。9、平行線的基本性質(zhì)：通過(guò)已知直線外的一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。10、垂線的基本性質(zhì)：通過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。連接一點(diǎn)與直線上全部點(diǎn)的連線中，垂線段最短相交線1、同角（或等角）的余角相等2、同角（或等角）的補(bǔ)角相等3、對(duì)頂角相等平行線的鑒定:平行線的性質(zhì)：1、同位角相等，兩直線平行1、兩直線平行，同位角相等2、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行2、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等3、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行3、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)和平行線有關(guān)的幾個(gè)推論1、垂直于同一條直線的兩直線平行2、平行于同一條直線的兩條直線互相平行（平行線的傳遞性）3、平行線間的距離到處相等4、同底等高的三角形面積相等能夠用來(lái)說(shuō)理的意義1、鄰補(bǔ)角的意義2、垂直的意義3、角平分線的意義4、中點(diǎn)的意義最慣用的兩個(gè)代數(shù)性質(zhì)1、等量代換2、等式性質(zhì)三角形內(nèi)角和及其推論1、三角形內(nèi)角和等于180o2、直角三角形兩銳角互余3、三角形的一種外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和4、三角形的一種外角不不大于任何一種和它不相鄰的內(nèi)角5、三角形的外角和等于360o全等三角形的鑒定辦法1、S·A·S；2、A·S·A；3、A·A·S；4、S·S·S全等三角形的性質(zhì)1、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等2、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等等腰三角形1、等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）2、等腰三角形的三線合一3、等角對(duì)等邊4、等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60o5、三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形6、有一種內(nèi)角等于60o的等腰三角形是等邊三角形二．常見(jiàn)輔助線添置辦法訓(xùn)練【例1】如圖1，已知AB∥CD，求證：∠BED＝∠B＋∠D．ABEC圖1D分析：題中有平行條件，由此聯(lián)想到平行線的性質(zhì)，想到它所對(duì)應(yīng)的圖形．經(jīng)對(duì)照發(fā)現(xiàn)，圖中沒(méi)有截AB、CD的線，因此我們要添置輔助線．辦法1：延長(zhǎng)BE交CD于F，如圖2所示．辦法2：延長(zhǎng)DE交AB于F，如圖3所示．辦法3：連結(jié)BD，如圖4所示．辦法4：過(guò)E點(diǎn)任作一線交AB于M、交CD于N，如圖5所示．辦法5：以EB為一邊在∠BED內(nèi)部作∠BEF＝∠B，或過(guò)E點(diǎn)作EF∥AB，如圖6所示．有些幾何題目條件比較分散，條件與結(jié)論難于聯(lián)系，這時(shí)往往需要巧妙地添置輔助線，將條件加以集中，便于運(yùn)用．【例2】如圖，等腰△ABC中，取腰AC上一點(diǎn)E，取AB的反向延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)D，使AE=AD，連結(jié)DE交BC于F．求證：DF⊥BC．分析：辦法一：運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及推論證法1：如圖1，∵AB=AC，AE=AD，∴∠B=∠C，∠D=∠1=∠2．∵∠DFC=∠B+∠D，∠DFB=∠C+∠2，∴∠DFC=∠DFB．∴∠DFC=90°，即DF⊥BC．辦法二：運(yùn)用平行線的性質(zhì)證法2：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AM∥DF交BC于點(diǎn)M．則∠3=∠D，∠2=∠1．∵AE=AD，∴∠D=∠1．∴∠3=∠2．又∵AB=AC，∴AM⊥BC，∴∠AMC=90°．又∵AM∥DF，∴∠DFC=∠AMC=90°．∴DF⊥BC．圖2辦法三：運(yùn)用等腰三角形的“三線合一”證法3：如圖4，過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則∠4=∠M，∠2=∠3．又∵AB=AC，AE=AD，∴∠B=∠4，∠1=∠3．∴∠B=∠M，∠1=∠2．∴DB=DM，∴DF⊥BC．圖4證法4：如圖5，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB交AB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠4=∠B，∠2=∠D．又∵AB=AC，AE=AD，∴∠B=∠C，∠D=∠1．∴∠4=∠C，∠1=∠2．∴EM=EC．而∠1=∠3，∴∠2=∠3．圖5∴DF⊥BC．倍長(zhǎng)中線法：【例3】已知：在?ABC中，AD是中線，BE交AD于點(diǎn)F，AE=EF.求證：AC=BF“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法：截長(zhǎng)：在線段上截取一段等于另兩條線段中的一條，再證余下的部分等于另一條線段補(bǔ)短：延長(zhǎng)兩條線段中的一條，使其等于兩條線段之和【例4】已知：?ABC中，AD是∠BAC的角平分線，∠B=2∠C，求證：AB＋BD=AC辦法1：截長(zhǎng)法：在AC上截取AF=AB聯(lián)結(jié)DF辦法2：補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AB至E，使AE=AC，聯(lián)結(jié)DE【課堂練習(xí)】己知：△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足為D，P是BC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC垂足分別為E、F，求證：①當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上，PE+PF=CD；②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC的延長(zhǎng)線上，PE–PF=CD.FFEDCABGPFEDCABGP三．線段的垂直平分線和角平分線1、互逆命題：2、互逆定理：3、垂直平分線定理：線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。簡(jiǎn)言之：已知垂直平分，求證距離相等。4、垂直平分線的逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。簡(jiǎn)言之：已知距離相等，求證垂直平分。【例5】如圖，已知在中，，，的垂直平分線交于D，交于E，求證：ED=ECBDCEA【例6】如圖，已知等腰三角形中，是的中垂線，如果，且的周長(zhǎng)是17cm，求的長(zhǎng)。AEDBC【例7】如圖，中，，是的中垂線。如果，求的度數(shù)。ADE1CB5、角的平分線定理：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。6、角的平分線逆定理：在一種角的內(nèi)部（涉及頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。【例7】如圖，已知點(diǎn)P到BE、BD、AC的距離正好相等，則點(diǎn)P的位置：①在∠B的平分線上；②在∠DAC的平分線上；③在∠ECA的平分線上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三條角平分線的交點(diǎn)，上述結(jié)論中，對(duì)的結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)（例7圖）（例8圖）【例8】如圖所示，O為△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，∠BOC=120°，則∠A=【例9】已知：如圖所示，PA，PC分別是△ABC外角∠MAC，∠NCA的平分線，它們交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，則BP是∠MBN的平分線嗎？闡明理由．7、軌跡軌跡：符合某些條件的全部點(diǎn)的集合。三種基本的軌跡：（1）到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線。（2）在一種角的內(nèi)部（涉及頂點(diǎn)）且到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是角的平分線。（3）到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓。【例10】如圖，已知∠AOB和邊OB上一點(diǎn)E，求作：一點(diǎn)P，使P到∠AOB兩邊的距離相等且OP=EP。四．課后作業(yè)1、如圖所示，到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是△ABC的（）A．三條中線的交點(diǎn)B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)2、如圖，已知AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE與CF交于點(diǎn)D，則①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，以上結(jié)論對(duì)的的是（）A．①②③B．②③C．①③D．①3、如圖,△ABC中,P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn),作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分別是R、S,若AQ=PQ,PR=PS,下面三個(gè)結(jié)論:①AS=AR②QP∥AR③△BRP≌△CSP對(duì)的