專題2.11等邊三角形的性質與判定大題專練（重難點培優(yōu)）-【講練課堂】2022-2023學年八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【蘇科版】

【講練課堂】2022-2023學年八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】一、解答題1．如圖△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE＝CD．求證：DB＝DE．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據(jù)角之間的關系求得∠DBC=∠CED，根據(jù)等角對等邊即可得到DB=DE．【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∠DBC＝30°（等腰三角形三線合一）．又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED．又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．∴∠DBC＝∠DEC．∴DB＝DE（等角對等邊）．【點睛】此題主要考查學生對等邊三角形的性質及三角形外角的性質的理解及運用；利用三角形外角的性質得到∠CED=30°是正確解答本題的關鍵．2．如圖1，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M．(1)求證：：(2)當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC的大小變化嗎？若變化，請說明理由：若不變，求出它的度數(shù)．(3)如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP相交于點M，則∠QMC的大小變化嗎？若變化，請說明理由：若不變，則求出它的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)∠QMC的大小不變，∠QMC=60°(3)∠QMC的大小不變，∠QMC＝120°【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=120°．(1)證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵點P、Q運動速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與△CAP中，∵，∴（SAS）；(2)解：點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC的大小不變，∠QMC＝60°．理由：∵，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠ACP＋∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC＝60°(3)解：點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動時，∠QMC的大小不變．理由：同理可得，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠BAQ＋∠APM，∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°－∠PAC＝180°－60°＝120°．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．3．如圖，是等邊三角形，是中線，延長至，使．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】利用等腰三角形三線合一得出，再結合等腰三角形的底角相等和外角的性質得出，利用等角對等邊證明即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，．∵是中線，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質和等腰三角形的判定與性質，解題關鍵是熟練運用等腰三角形的性質和判定進行推理證明．4．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為直線BC上一動點（不與點B，C重合），在AD的右側作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）當D在線段BC上時，①求證：△BAD≌△CAE；②若AC⊥DE，求證：BD=DC；（2）當CE∥AB時，若△ABD中最小角為20°，試探究∠ADB的度數(shù)（直接寫出結果）【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）100°或40°或20°【解析】【分析】（1）①根據(jù)SAS即可證明；②利用等腰三角形的三線合一得到∠DAC=∠EAC，再根據(jù)全等三角形的性質得到∠BAD=∠EAC，利用等腰三角形的性質得到BD=DC；（2）分D在線段BC上、當點D在CB的延長線上、點D在BC的延長線上三種情形根據(jù)等邊三角形的性質、三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：（1）①∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE；②如圖，∵AE=AD，AC⊥DE，∴∠DAC=∠EAC，∵△BAD≌△CAE，∴∠BAD=∠EAC，∴∠DAC=∠BAD，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）如圖，當D在線段BC上時，∵CE∥AB，∴∠ACE=∠BAC，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ABD=∠BAC，又∠ABC=∠ACB，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ADB=180°-60°-20°=100°；如圖，當點D在CB的延長線上時，同理可得，∠ABC=60°，∴∠ADB=40°，當△ABD中的最小角是∠ADB時，∠ADB=20°，當點D在BC的延長線上時，只能∠ADB=20°，∴∠ADB的度數(shù)為100°或40°或20°．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題，學會用分類討論的首先思考問題．5．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點B，D，E在同一直線上，連接CE，容易發(fā)現(xiàn)：①∠BEC的度數(shù)為；②線段BD、CE之間的數(shù)量關系為；【類比探究】（2）如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接CE，試判斷∠BEC的度數(shù)及線段BE、CE、DE之間的數(shù)列關系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝6，AC＝BC，則OC2的值為．【答案】（1）60°，BD=CE；（2）∠BEC=90°，BE=CE+DE，理由見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質得到AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，得到∠BAD=∠CAE，證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質證明結論；（2）由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠AEC=∠ADB=135°，即可求解；（3）由“AAS”可證△ACF≌△CBE，可得BE=CF，AF=CE，可求OF=CF=，由勾股定理可求解．【詳解】解：（1）∵△ABC和△ADE為等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE；∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°，∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°，故答案為：60°，BD=CE；（2）∠BEC=90°，BE=CE+DE，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=135°，∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°，∵BE=BD+DE，∴BE=CE+DE；（3）如圖，過點C作CF⊥AO交AO延長線于F，過點B作BE⊥CF于E，∵∠ACB=90°=∠E=∠AFC，∴∠BCE+∠ACF=90°=∠BCE+∠CBE，∴∠ACF=∠CBE，又∵AC=BC，∠AFC=∠E，∴△ACF≌△CBE（AAS），∴BE=CF，AF=CE，∵OA=3，OB=6，∴EC+CF=BO=6，OA=AF-OF=CE-BE=CE-CF=3，∴EC=，CF==OF，∴OC2=CF2+OF2=()2+()2=．故答案為：．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．6．如圖，是等邊三角形，D是BC邊上一點，以AD為邊向右作等邊，連接CE．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）由三角形ADE與三角形ABC都為等邊三角形，得到兩對邊相等，一對角相等為60°，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS即可得證；（2）利用全等三角形的對應邊相等得到∠ACE=∠B=60°，再由∠BAC=60°，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行即可得證．【詳解】證明：（1）∵△ADE與△ABC都是等邊三角形，∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD，即∠CAE=∠BAD，在△CAE和△BAD中，，∴（SAS）；（2）∵△CAE≌△BAD，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．7．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊作等邊，連接DC，以DC為邊作等邊，使點B和點E在CD的同側，CE與BD交于點F，連接BE．（1）根據(jù)題中給定的條件，補全圖形；（2）求證：；（3）求證：BD垂直平分CE．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的定義作圖連線即可；（2）根據(jù)等邊三角形及等腰直角三角形的定義，利用SSS證明；（3）證明△BED≌△ACD，推出BE=BC，得到點B在CE的垂直平分線上，根據(jù)ED=CD，得到點D在CE的垂直平分線上，即可得到結論．【詳解】（1）解：補圖如下：（2）證明：∵△ABD和△DCE是等邊三角形，∴BD=AD，ED=CD，∠ADF=∠CDE=60°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC．在△ACD和△BCD中，∴△ACD≌△BCD（SSS）．（3）解：由（2）得△ACD≌△BCD，∴∠ADC=∠BDC=30°，∴∠BDE=60°-30°=30°．在△BED和△ACD中，∴△BED≌△ACD（SAS）．∴BE=AC．∴BE=BC．∴點B在CE的垂直平分線上．又ED=CD，∴點D在CE的垂直平分線上．∴BD垂直平分CE．【點睛】此題考查等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定及性質，線段垂直平分線的判定定理，作圖能力，掌握各知識點、邏輯推理能力是解題的關鍵．8．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結BE．（1）求∠CAM的度數(shù)；（2）若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；（3）當動D在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．【答案】（1）30°；（2）見解析；（3）是定值，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質可以直接得出結論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質就可以得出，，，由等式的性質就可以，根據(jù)就可以得出；（3）分情況討論：當點在線段上時，如圖1，由（2）可知，就可以求出結論；當點在線段的延長線上時，如圖2，可以得出而有而得出結論；當點在線段的延長線上時，如圖3，通過得出同樣可以得出結論．【詳解】解：（1）是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．故答案為：30°；（2）與都是等邊三角形，，，，，．在和中，，；（3）是定值，，理由如下：①當點在線段上時，如圖1，由（2）可知，則，又，，是等邊三角形，線段為邊上的中線，平分，即，．②當點在線段的延長線上時，如圖2，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，．③當點在線段的延長線上時，如圖3，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，，，．綜上，當動點在直線上時，是定值，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質的運用，直角三角形的性質的運用，等式的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．9．在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC上，BD＝CE，BE＝CF，（1）求證：∠B＝∠DEF；（2）連接DF，當∠A的度數(shù)是多少時，△DEF是等邊三角形．【答案】（1）見解析；（2）當∠A＝60°時，△DEF是等邊三角形．【解析】【分析】（1）首先證明△DBE≌△ECF，推出∠BDE=∠CEF，由在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB=180°推出∠B=180°-∠BDE-∠DEB由∠CEF+∠DEF+∠DEB=180°推出∠DEF=180°-∠CEF-∠DEB可得∠B=∠DEF；（2）當∠A=60°時，△DEF是等邊三角形，利用全等三角形的性質即可解決問題；【詳解】解：（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE與△ECF中，∵BD＝CE，∠B＝∠C，BE＝CF，∴△DBE≌△ECF，∴∠BDE＝∠CEF，∵在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB＝180°∴∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠DEB∵∠CEF+∠DEF+∠DEB＝180°∴∠DEF＝180°﹣∠CEF﹣∠DEB∴∠B＝∠DEF．（2）當∠A＝60°時，△DEF是等邊三角形，理由如下∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，即∠DEF＝60°，∵△DBE≌△ECF∴ED＝EF，∵ED＝EF，∠DEF＝60°，∴△DEF是等邊三角形．【點睛】本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．10．如圖，已知在△ABC中，∠A＝60°，點D是BC的中點，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分別為E、F，連接DE、DF、EF．求證：△DEF為等邊三角形．【答案】證明見解析．【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半證明DF=DE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠ACB=120°，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠DEB=∠ABC，∠DFC=∠ACB，即可得出∠BDE+∠CDF=120°，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明結論．【詳解】證明：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BF⊥AC，CE⊥AB，點D是BC的中點，∴DB=DE，DC=DF，DE=BC，DF=BC，∴∠DEB=∠ABC，∠DFC=∠ACB，DF=DE，∴∠DEB+∠ABC+∠DFC+∠ACB=240°，∴∠BDE+∠CDF=120°，∴∠FDE=60°，又DF=DE，∴△DFE是等邊三角形．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質、等邊三角形的判定，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．11．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點D是邊BC上一點，DE⊥AB于點E，點F是線段AD的中點，連接EF，CF．（1）求證：EF＝CF；（2）若∠BAC=30°，連接EC，試判斷△EFC的形狀，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）△EFC是等邊三角形．理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)斜邊中線等于斜邊的一半證明即可；（2）利用外角的性質得出∠EFC=2∠BAC=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定證明即可．【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∵點F是斜邊AD的中點，∴EF＝AD，CF＝AD，∴EF＝CF；（2）△EFC是等邊三角形，由（1）得EF＝AF＝CF，∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，∴∠EFC=2∠BAC=60°，∵EF＝CF，∴△EFC是等邊三角形．【點睛】本題考查了直角三角形的性質和等邊三角形的判定，解題關鍵是熟練運用相關性質進行證明．12．如圖，在中，點D為邊BC的中點，過點A作射線AE，過點C作CF⊥AE于點F，過點B作BG⊥AE于點G，連接FD并延長，交BG于點H（1）求證：；（2）若∠CFD=120°，求證：為等邊三角形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)，，可證，利用點為邊的中點，根據(jù)ASA可證明；（2）首先根據(jù)角的和差關系可以計算出，再由可得，再根據(jù)直角三角形的性質可得，，進而得到結論．【詳解】證明：（1）如圖示，，，，，，，點為邊的中點，，在和中，，；（2），，，，，是直角三角形，，，為等邊三角形．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，關鍵是掌握全等三角形的判定定理．13．如圖，在中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）若點D為線段EC的中點，求證：是等邊三角形．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質可得，，再根據(jù)角的和差即可得；（2）先根據(jù)三角形的外角性質可得，再根據(jù)直角三角形的性質可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定即可得證．【詳解】（1）在中，，，，，；（2）由（1）可知，，，點D為線段EC的中點，即AD為斜邊EC上的中線，，是等邊三角形．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、三角形的外角性質、直角三角形的性質、等邊三角形的判定等知識點，較難的是題（2），熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題關鍵．14．已知點C和點F在線段BE上，且AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC和DF相交于點G．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）當∠AGF＝120°，猜想△GFC的形狀，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）△GFC是等邊三角形，理由見解析【解析】【分析】（1）由“SAS”可證△ABC≌△DEF；（2）由全等三角形的性質可得∠GFC=∠GCF，由外角性質可得∠GFC=∠GCF=60°，可證△GFC是等邊三角形．【詳解】證明：（1）∵AB=DE，且∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）△GFC是等邊三角形，理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠GFC=∠GCF，∵∠AGF=∠GFC+∠GCF=120°，∴∠GFC=∠GCF=60°，∴△GFC是等邊三角形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定，證明△ABC≌△DEF是本題的關鍵．15．已知是等邊三角形，．（1）如圖1，點在線段上從點出發(fā)沿射線以的速度運動，過點作交線段于點，同時點從點出發(fā)沿的延長線以的速度運動，連接、．設點的運動時間為秒．①求證：是等邊三角形；②當點不與點、重合時，求證：．（2）如圖2，點為的中點，作直線，點為直線上一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到，則點在直線上運動的過程中，的最小值是多少？請說明理由．【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）的最小值為4，理由見解析．【解析】【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質證明兩個角是，可得結論；②根據(jù)條件得，由證明，根據(jù)全等三角形的性質可得結論；（2）以AC為邊作等邊三角形ACD，連接SD，如圖2所示．證明△ACT≌△DCS，可得AT=DS，可得AT的最小值為4．連接，證得，證明，可得，即點在直線上，的最小值為4．【詳解】解：（1）①是等邊三角形，．，．．是等邊三角形．②如圖1，是等邊三角形，，．是等邊三角形，，．，．．，．．．（2）解：以AC為邊作等邊三角形ACD，連接SD，如圖2所示．∵△ABC為等邊三角形，且AK為△ABC的對稱軸，∴∠ACK=60°，∠CAK=30°，∴∠DAS=90°，∵∠SCT=60°，∴∠SCD=∠ACT．∵AC＝CD，∠ACT＝∠SCD，CT＝CS，∴△ACT≌△DCS（SAS），∴AT=SD，∴AT的最小值為AD的長=4．【點睛】本題是運動型幾何綜合題，考查了等邊三角形、等腰三角形的性質、全等三角形的性質和判定及分類討論的數(shù)學思想，解題關鍵是深刻理解圖形的運動過程，熟練掌握等邊三角形的性質．16．如圖,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,現(xiàn)有兩點M、N分別從點A．點B同時出發(fā),沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s.當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動.(1)點M、N運動_________秒后，△AMN是等邊三角形?(2)點M、N在BC邊上運動時，運動_______秒后得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN?(3)M、N同時運動幾秒后，△AMN是直角三角形？請說明理由.【答案】（1）4；（2）16；（3）M、N同時運動3，，15，18秒后，△AMN是直角三角形，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；（2）由△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設出運動時間，表示出CM，NB，NM的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值；（3）分點N在AB，AC，BC上運動的三種情況，再分別就∠AMN=90°和∠ANM=90°列方程求解可得．【詳解】解：（1）設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖1，AM=t，AN=12-2t，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠A=60°，當AM=AN時，△AMN是等邊三角形∴t=12-2t，解得t=4，∴點M、N運動4秒后，△AMN是等邊三角形；（2）設當點M、N在BC邊上運動時，運動t秒后得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN，由題意知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處，如圖2，假設△AMN是等腰三角形，∴AM=AN，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵∠AMC=∠ANB，∠C=∠B，AC=AB∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM=BN，∴t-12=36-2t，解得t=16，符合題意．所以點M、N在BC邊上運動時，運動16秒后能得到以MN為底的等腰三角形；（3）①當點N在AB上運動時，如圖3，若∠AMN=90°，∵BN=2t，AM=t，∴AN=12-2t，∵∠A=60°，∴2AM=AN，即2t=12-2t，解得t=3；如圖4，若∠ANM=90°，由2AN=AM得2（12-2t）=t，解得t=；②當點N在AC上運動時，點M也在AC上，此時A，M，N不能構成三角形；③當點N在BC上運動時，如圖5，當點N位于BC中點處時，由△ABC時等邊三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，則2t-24=6，解得t=15；如圖6，當點M位于BC中點處時，由△ABC時等邊三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，則t-12=6解得t=18；綜上，M、N同時運動3，，15，18秒后，△AMN是直角三角形；故答案為3，，15，18．【點睛】本題考查等邊三角形的性質及判定和直角三角形的定義與性質，關鍵是根據(jù)題意設出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量關系．17．如圖1所示，在邊長為6cm的等邊△ABC中，動點P以1cm/s的速度從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動設點P的運動時間為t（s），t＞0(1)當t＝時，△PAC是直角三角形；(2)如圖2，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，且動點P，Q均以1cm/s的速度同時出發(fā)，那么當t取何值時，△PAQ是直角三角形？請說明理由；(3)如圖3，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動，且動點P，Q均以1cm/s的速度同時出發(fā)．當點P到達終點B時，點Q也隨之停止運動，連接PQ交AC于點D，過點P作PE⊥AC于E，試問線段DE的長度是否變化？若変化，請說明如何變化；若不變，請求出DE的長度．【答案】(1)3(2)2或4，理由見解析(3)不變化，【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質，當，即為的中點時，△PAC是直角三角形，據(jù)此分析即可；（2）分①當時，②當時，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質，建立一元一次方程解方求解即可；（3）過作，進而證明，可得(1)解：依題意，當△PAC是直角三角形時，，是等邊三角形則此時為的中點時，故答案為：3(2)解：①當時，如圖，是等邊三角形，則在中，,即解得②當時，如圖，同理可得即解得綜上所述，當t為或時，△PAQ是直角三角形(3)如圖，過點作，是等邊三角形是等邊三角形∴，的速度相等∴，【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，全等三角形的性質與判定，掌握等邊三角形的性質與判定是解題的關鍵．18．如圖，已知點D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求證：BD＝CE；（2）若點D在線段AB的垂直平分線上，BD＝DE，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠B＝30°．【解析】【分析】（1）作AF⊥BC于點F，利用等腰三角形三線合一的性質得到BF＝CF，DF＝EF，相減后即可得到正確的結論．（2）證明DA＝DE＝AE，得出△ADE是等邊三角形，由等邊三角形的性質得出∠ADE＝60°，由三角形外角的性質則可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，過點A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）解：∵點D在線段AB的垂直平分線上，DA＝DB，∵DB＝DE，∴DA＝DE，∵AD＝EA，

∴DA＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∵∠ADE是△ADB的外角，∴∠ADE＝∠B+∠BAD，∵DA＝DB，∴∠B＝∠BAD＝30°．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，三角形的外角的性質，垂直平分線的性質，綜合運用以上知識是解題的關鍵．19．如圖，△ABC為等邊三角形，直線l過點C，在l上位于C點右側的點D滿足∠BDC＝60°（1）如圖1，在l上位于C點左側取一點E，使∠AEC＝60°，求證：△AEC≌△CDB；（2）如圖2，點F、G在直線l上，連AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求證：HG+BD＝CF；（3）在（2）的條件下，當A、B位于直線l兩側，其余條件不變時（如圖3），線段HG、CF、BD的數(shù)量關系為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CF=EF-BD．【解析】【分析】（1）先證明∠ACE=∠CBD，即可利用AAS證明△AEC≌△CDB；（2）在直線l上位于C點左側去一點E，使得∠AEC=60°，連接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，CE=BD，然后證明△FAE≌△HFG得到GH=EF，則CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3）在直線l上位于C點右側取一點E使得∠AED=60°，連接AE，在直線l上位于D點左側取一點M使得BM=BD，設AB與直線l交于N，先證明△BDM是等邊三角形，得到∠DBM=∠DMB=60°，然后證明∠ACE=∠ABD=∠CBM，即可利用AAS證明△AEC≌△CMB得到CE=BM=BD；最后證明△AEF≌△FGH得到HG=EF，則EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°，∵∠BDC=60°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，∴∠ACE=∠CBD，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）（2）如圖所示，在直線l上位于C點左側取一點E，使得∠AEC=60°，連接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，∴CE=BD，∵∠ACE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEF=∠AFH=120°，∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，∴∠FAE=∠HFG，在△FAE和△HFG中，，∴△FAE≌△HFG（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3）如圖所示，在直線l上位于C點右側取一點E使得∠AED=60°，連接AE，在直線l上位于D點左側取一點M使得BM=BD，設AB與直線l交于N∵∠BDC=60°，BM=BD，∴△BDM是等邊三角形，∴∠DBM=∠DMB=60°，∵三角形ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，∴∠ABD=∠CBM，∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，∴∠ACE=∠ABD=∠CBM，∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，∴∠CMB=∠AEC，在△AEC和△CMB中，，∴△AEC≌△CMB（AAS），∴CE=BM=BD；∵∠AFH=120°，∴∠AFC+∠GFH=60°，∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，∴∠AFC=∠FHG，在△AEF和△FGH中，，∴△AEF≌△FGH（AAS），∴HG=EF，∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．故答案為：CF=EF-BD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質與判定條件．20．在△ABC中，AB＝AC，將線段BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BD．（1）如圖1，若∠BAC＝40°，則∠ABD＝；（2）如圖2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連接DE，若∠DEC＝45°，設∠BAC＝α（0°＜α＜60°），求α的值．【答案】（1）∠ABD＝10°；（2）△ABE是等邊三角形，見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質求出∠ABC，根據(jù)∠ABD＝∠ABC?∠DBC計算即可．（2）于△ABD≌△ACD（SSS），推出∠ADB＝∠ADC＝150°，再證明△ABD≌△EBC（AAS），推出AB＝BE即可解決問題．（3）只要證明△DEC是等腰直角三角形，即可推出BC＝CE，∠CBE＝∠CEB＝15°，即可求解．【詳解】（1）如圖1中，∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣60°＝10°．（2）結論：△ABE是等邊三角形，理由：連接AD，CD，ED，∵線段BC繞B逆時針旋轉60°得到線段BD，則BC＝BD，∠DBC＝60°，∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，且△BCD為等邊三角形，∴BD=CD，∵∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB＝∠ADC＝150°，∵∠BCE＝150°，∴∠ADB＝∠BCE，∵∠ABD＝∠EBC，BD＝BC，∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB＝BE，∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等邊三角形．（3）如圖2中，由（2）可知，∠BCD＝60°，∵∠BCE＝150°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝45°，∴∠CDE＝∠DEC＝45°，∴CD＝CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB＝15°，∵∠BAD＝∠DAC＝∠BEC，∴∠BAD＝∠DAC＝15°，∴∠BAC＝30°．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，等腰直角三角形的判定和性質的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質是全等三角形的對應邊相等，對應角相等，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造全等三角形解決問題．21．問題：如圖1，在等邊三角形△ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，ED＝EC，回答下列問題：（1）與AE相等的線段是．（2）請證明（1）中得到的結論，證明思路如下：①小聰思路：如圖2，過E作EF//BC，交AC于點F，請你完成剩下解答過程；②小明思路：如圖3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，連接CF，請你完成剩下解答過程．【答案】（1）BD；（2）①見解析；②見解析【解析】【分析】（1）思路見（2）（2）①過E作EF//BC，證明△AEF為等邊三角形，再證明△DBE≌△EFC，即可得到BD=EF=AE；②把△EBD沿BE翻折得到△EBF，連接CF，得到△EBD≌△EBF，再證明△ACE≌△BCF，即可得到AE＝BF＝BD；【詳解】（1）BD（2）①小聰思路：過點E作EF//BC，交AC于F∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝AC∵EF//BC

∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∠FEC＝∠ECB∵又∠A＝60°

∴△AEF是等邊三角形∴AE＝AF＝EF，∠EFC＝∠DBE＝120°，∴CF＝BE∵ED＝EC∴∠D＝∠ECB∴∠D＝∠FEC∴∠FCE＝∠BED在△DBE和△EFC中，∴△DBE≌△EFC（SAS）∴BD＝EF∴BD＝AE②小明思路：∵DE＝EC

∴∠ECB＝∠D∵∠ABC＝∠DEB+∠D，∠ACB＝∠ACE+∠ECB∴∠DEB＝∠ACE∵△EBD翻折到△EBF∴△EBD≌△EBF

∴∠DEB＝∠FEB，DE＝EF∴∠DEB＝∠ACE＝∠FEB∵∠CEB＝∠CEF+∠FEB＝∠A+∠ACE∴∠CEF＝∠A＝60°∵DE＝EF＝CE∴△ECF為等邊三角形∴CE＝CF，∠ECF＝60°∴∠ACE+∠ECB＝∠ECB+∠BCF∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中∴△ACE≌△BCF（SAS）∴AE＝BF＝BD【點睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的判定與性質是解本題的關鍵．22．已知是邊長為4，面積是的等邊三角形，點起線上的一個動點，向的右側作，且，連接．（1）在圖2中畫出點在延長線上時的圖形，并證明：；（2）①當時，；（直接寫出結果）②點在運動過程中，的周長是否存在最小值？若存在，請直接寫出周長的最小值：若不存在，請說明理由．【答案】（1）見詳解；（2）2或8；（3）存在4+【解析】【分析】（1）證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質得到BD＝CE．（2）①分點D在線段BC上和點D在線段BC的延長線上兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質解答；②根據(jù)△ABD≌△ACE得到CE＝BD，根據(jù)垂線段最短解答．【詳解】（1）點D在BC延長線上時的圖形如圖所示：證明：∵，且∴△ADE與△ABC都是等邊三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°．∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD．即∠CAE＝∠BAD．∴△CAE≌△BAD．∴EC＝DB．（2）①BD為2或8時，∠DEC＝30°，當點D在線段BC上，BD＝2時，如圖2﹣1中，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC＝2，∠B＝∠ACE＝60°∵BC＝4，∴CD＝EC＝2，∵∠ACB＝∠ACE＝60°，∴∠DCE＝120°，∴∠DEC＝∠CDE＝30°．當點D在線段BC的延長線上，BD＝8時，如圖2﹣2中，∵CA＝CB＝CD＝4，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACB＝∠CAD+∠CDA＝60°，∴∠ADC＝30°，∵∠B＝∠ACE＝60°∴∠ADE＝∠ECD＝60°，∴∠CDE＝90°，∴∠DEC＝30°，∴BD為2或8時，∠DEC＝30°．故答案為：2或8．②點D在運動過程中，△DEC的周長存在最小值，最小值為4+2，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴CE＝BD，則△DEC的周長＝DE+CE+DC＝BD+CD+DE，當點D在線段BC上時，△DEC的周長＝BC+DE，當點D在線段BC的延長線上時，△DEC的周長＝BD+CD+DE＞BC+DE，∴△DEC的周長≥BC+DE，∴當D在線段BC上，且DE最小時，△DEC的周長最小，∵△ADE為等邊三角形，∴DE＝AD，∴當AD⊥BC時，AD的值最小，∵三角形面積是∴AD=∴△DEC的周長的最小值為4+2．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．23．已知，如圖，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP＝OC，連接OB．證明：（1）∠APO+∠DCO＝30°；（2）△OPC是等邊三角形；（3）AB＝AO+AP．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）利用等邊對等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據(jù)此即可求解；（2）證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形；（3）首先證明△OPA≌△CPE，則AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．【詳解】證明：（1）∵AB=AC，AD