MATLAB分型植物的模擬

目錄TOC\o"1-2"\h\z\u1引言 12迭代函數(shù)系統(tǒng)和L-系統(tǒng) 12.1迭代函數(shù)系統(tǒng)原理 12.2L-系統(tǒng)原理 13分形植物模擬 23.1在MATLAB中的模擬 23.2L系統(tǒng)的模擬 53.3迭代函數(shù)系統(tǒng)與L系統(tǒng)的結(jié)合 7參考文獻 81引言隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，分形幾何成了計算機圖形學(xué)的一個分支，它以分形幾何學(xué)為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)構(gòu)造自相似的幾何結(jié)構(gòu)，借助于計算機圖形學(xué)的支持模擬山脈、河流、地貌、云彩、植物等，產(chǎn)生人力所無法繪制的絢麗圖形，達到對自然景物的逼真模擬。自然場景的模擬在工程設(shè)計，如道路橋梁設(shè)計、城市規(guī)劃、多媒體電影以及電子游戲中越來越受到重視。植物，尤其是樹木，作為自然場景中必不可少的元素，是計算機模擬的重要對象。自然界中樹的種類繁多，形態(tài)各異，計算機要模擬出逼真的圖像具有一定的難度，這也給計算機圖像模擬帶來了新的研究課題。當前典型的分形植物模擬方法有兩種：L-系統(tǒng)和迭代函數(shù)系統(tǒng)，但L-系統(tǒng)需先確定生成規(guī)則，簡潔但不夠靈活，且難于編程控制；迭代函數(shù)系統(tǒng)中仿射變換的確定較復(fù)雜，而且不能描繪細節(jié)。因此，單獨使用這兩種算法并不是最好的選擇。而將L-系統(tǒng)的字符串替換思想和遞歸算法相結(jié)合，從而找到一種能生動逼真地模擬植物形態(tài)的編程方法。2迭代函數(shù)系統(tǒng)和L-系統(tǒng)2.1迭代函數(shù)系統(tǒng)原理迭代函數(shù)系統(tǒng)（IteratedFunctionSystem）是分形繪制的典型重要方法。其采用確定性算法與隨機性算法相結(jié)合的辦法生成植物桿莖或葉片等分形圖。“確定性”指用以迭代的規(guī)則是確定性的，它們由一組仿射變換(如R1，R2，R3等)構(gòu)成；“隨機性”指迭代過程是不確定的，即每一次究竟迭代哪一個規(guī)則是隨機性的，設(shè)最終要生成的圖形（植物形態(tài)圖）為M，它要滿足集合方程：M=R1∪R2∪…∪RN。公式的含義是，隨機地從Ri（i=1，…，N）中挑選一個迭代規(guī)則迭代一次，然后再隨機地在Ri（i=1，…，N）中選一個規(guī)則迭代一次，不斷重復(fù)此過程，最后生成的極限圖形M就是欲求的植物形態(tài)圖。2.2L-系統(tǒng)原理L系統(tǒng)是指美國生物學(xué)家Lindenmayerl提出的植物生長的數(shù)學(xué)模型。一個串L系統(tǒng)是一個有序的三元素集合G=<V,ω,P>,這里ω是一個非空單詞,稱作公理,P是所謂產(chǎn)生式的有限集合,產(chǎn)生式寫作a->x,字母a和單詞x分別稱作產(chǎn)生式的前驅(qū)和后繼。令V表示字母表,V3表示V上的所有單詞的集合,規(guī)定對任何V中的字母a,至少存在一個非空單詞x,使得a->x。若對給定的前驅(qū)無明確解釋的產(chǎn)生式,則規(guī)定a->a這個特殊的產(chǎn)生式屬于P。對于L系統(tǒng)可以用較復(fù)雜的圖形解釋，在除了模擬植物分支拓撲結(jié)構(gòu)外，還要加上線段長度和轉(zhuǎn)角等幾何形狀。L系統(tǒng)的符號串也稱“龜行圖”（turtle）,即設(shè)想一只烏龜在平面上爬行，烏龜?shù)臓顟B(tài)用三元組（X，Y，D）表示，其中X和Y分別代表橫坐標和縱坐標，D代表當前的朝向。令δ是角度增量，h是步長。文中所用L系統(tǒng)的符號規(guī)定與解釋：F——從當前位置向前移一步，步長為h，同時畫線；G——從當前位置向前移一步，步長為h，但不畫線；+——從當前方向逆時針轉(zhuǎn)一個給定的角度δ；-——從當前方向順時針轉(zhuǎn)一個給定的角度δ；|——原地轉(zhuǎn)向180°；[——Push，將龜行圖當前狀態(tài)壓進棧（stack）；]——Pop，將圖形狀態(tài)重置為棧頂?shù)臓顟B(tài)，并去掉該棧中的內(nèi)容；A——記錄狀態(tài)的方向；Z——記錄當前的位置。3分形植物模擬3.1在MATLAB中的模擬將迭代函數(shù)系統(tǒng)運用在MATLAB模擬軟件中可得出簡單的分形樹，根據(jù)迭代的次數(shù)不同，得到的圖形也不相同。程序代碼設(shè)計如下：functiontree(n,a,b)%tree(8,pi/8,pi/8),n為分形樹迭代次數(shù)%a,b為分枝與豎直方向夾角%x1,y1,x2,y2為初始線段兩端點坐標,nn為迭代次數(shù)x1=0;y1=0;x2=0;y2=1;plot([x1,x2],[y1,y2])holdon[X,Y]=tree1(x1,y1,x2,y2,a,b);holdonW=tree2(X,Y);w1=W(:,1:4);w2=W(:,5:8);%w為2^k*4維矩陣,存儲第k次迭代產(chǎn)生的分枝兩端點的坐標,%w的第i(i=1,2,…,2^k)行數(shù)字對應(yīng)第i個分枝兩端點的坐標w=[w1;w2];fork=1:nfori=1:2^k[X,Y]=tree1(w(i,1),w(i,2),w(i,3),w(i,4),a,b);W(i,:)=tree2(X,Y);endw1=W(:,1:4);w2=W(:,5:8);w=[w1;w2];end%由每個分枝兩端點坐標(x1,y1),(x2,y2)產(chǎn)生兩新點的坐標(x3,y3),(x4,y4),畫兩分枝圖形,并把%(x2,y2)連同新點橫、縱坐標分別存儲在數(shù)組X,Y中function[X,Y]=tree1(x1,y1,x2,y2,a,b)L=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);if(x2-x1)==0a=pi/2;elseif(x2-x1)<0a=pi+atan((y2-y1)/(x2-x1));elsea=atan((y2-y1)/(x2-x1));endendx3=x2+L*2/3*cos(a+b);y3=y2+L*2/3*sin(a+b);x4=x2+L*2/3*cos(a-b);y4=y2+L*2/3*sin(a-b);a=[x3,x2,x4];b=[y3,y2,y4];plot(a,b)axisequalholdonX=[x2,x3,x4];Y=[y2,y3,y4];%把由函數(shù)tree1生成的X,Y順次劃分為兩組,分別對應(yīng)兩分枝兩個端點的坐標,并存儲在一維%數(shù)組w中functionw=tree2(X,Y)a1=X(1);b1=Y(1);a2=X(2);b2=Y(2);a3=X(1);b3=Y(1);a4=X(3);b4=Y(3);w=[a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4];在MATLAB命令窗口中輸入：tree(4)可得到如圖：在MATLAB命令窗口中輸入：tree(6)可得到如圖：在MATLAB命令窗口中輸入：tree(8)可得到如圖：3.2L系統(tǒng)的模擬L系統(tǒng)用于植物結(jié)構(gòu)繪制，比如一棵樹，它是分支結(jié)構(gòu)，即一根樹干帶大量的分枝，每個分枝都有一個終點，是一種一個起點多個終點的圖形。這就意味著在某一運算中，當畫到一個分枝的盡頭時畫筆必須退回來再畫其它結(jié)構(gòu)，即產(chǎn)生一種所謂進退操作。該操作符號是一對方括號[·]，方括號中是3個簡單符號，即F,+,-。當執(zhí)行完方括號中的指令后，畫筆回到方括號“[”前的位置并保持原方向不變。設(shè)公理W：F；生成規(guī)則P：F→FF+[+F-F-F]-[-F+F+F]；角度增量a：22.5°。在公理中，從起點往上兩步后，先后作出兩個分枝，而每個分枝又分別右凸左凸，最后形成一棵風吹動著樹的模樣。其Ltree.m.程序代碼設(shè)計如下；在命令窗口運行Ltree(n)，結(jié)果如圖。functionLtree(n)S='F';a=pi/8;A=pi/2;z=0;zA=[0,pi/2];p='FF+[+F-F-F]-[-F+F+F]';fork=2:n;S=strrep(S,'F',p);endfigure;holdon;fork=1:length(S);switchS(k);case'F'plot([z,z+exp(i*A)],'linewidth',2);z=z+exp(i*A);case'+'A=A+a;case'-'A=A-a;case'['zA=[zA;[z,A]];case']'z=zA(end,1);A=zA(end,2);zA(end,:)=[];otherwiseendend在MATLAB命令窗口中輸入：Ltree(3)可得到如圖：在MATLAB命令窗口中輸入：Ltree(4)可得到如圖：在MATLAB命令窗口中輸入：Ltree(5)可得到如圖：3.3迭代函數(shù)系統(tǒng)與L系統(tǒng)的結(jié)合在生成規(guī)則中，通過遞歸過程的設(shè)計，即能產(chǎn)生預(yù)期的分形植物圖形。根據(jù)生成規(guī)則P，當前n代的字符串語言描述可用表1說明。表1代字符串語言描述表迭代次數(shù)nL生產(chǎn)的字符串1F2F[+F]F[-F]3F[+F]F[-F][+F][+F[+F]F[-F]]F[+F]F[-F]F[+F]F[-F][-F][-F[+F]F[-F]]……將L系統(tǒng)的m文件代碼中的P用迭代函數(shù)系統(tǒng)進行迭代，得到新的字符串，并取而代之，在MATLAB命令窗口中輸入：Ltree(3)可得到如圖：經(jīng)過對比，很明顯可以看出第三種方法做出的圖更自然于迭代函數(shù)系統(tǒng)和L系統(tǒng)做出的圖。參考文獻[1]李水根．分形[M]．北京：高等教育出版社，2004.[2]清源計算機工作室．MATLAB基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M]．北京：機械工業(yè)出版社，2