波函數(shù)的性質(zhì)

波函數(shù)的性質(zhì)波函數(shù)的性質(zhì)11/14/2023111粒子圖像對(duì)波粒二象性的理解曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)激烈的爭(zhēng)論。與光的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)的情況一樣，可以對(duì)電子的雙縫干涉進(jìn)行多時(shí)間段實(shí)驗(yàn)。結(jié)果顯示，可以將實(shí)物波理解成大量粒子形成的疏密波。然而，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。只有承認(rèn)這一點(diǎn)，才能理解氫原子的量子特性。也可以將實(shí)物波理解成空間中連續(xù)分布的波包。粒子圖像：波包圖像：11/14/2023211波包圖像把波包的想法用到非相對(duì)論性自由粒子：波包的群速度正是粒子的運(yùn)動(dòng)速度。波包中不同波長(zhǎng)的成分速度不一樣！結(jié)果發(fā)現(xiàn)，波包的寬度即粒子的線度將隨時(shí)間改變。這與實(shí)際觀測(cè)到的結(jié)果明顯矛盾?？磥?lái)，無(wú)論把實(shí)物波理解成疏密波還是波包，都帶有片面性，不能完整地反映實(shí)物的量子特性。電子究竟是什么？11/14/2023311波粒二象性在經(jīng)典力學(xué)的觀念中，一個(gè)粒子有確定的質(zhì)量和電荷，并有確切的位置和運(yùn)動(dòng)軌道；一個(gè)波則對(duì)應(yīng)某種實(shí)在的物理量的變化，并呈現(xiàn)出相干疊加性。根據(jù)經(jīng)典的粒子觀，如果電子是粒子，它在雙縫實(shí)驗(yàn)中必定只穿過(guò)一條縫，因此不可能生成干涉圖樣。根據(jù)經(jīng)典的波動(dòng)觀，如果電子是波，就不可能在屏幕上打出一個(gè)一個(gè)分立的光點(diǎn)。因此，電子在穿越雙縫時(shí)必定表現(xiàn)出波的行為，而在接觸屏幕時(shí)則表現(xiàn)出粒子的行為。這意味著電子所呈現(xiàn)的粒子性，只是經(jīng)典粒子概念中的顆粒性，并不與確切的軌道相聯(lián)系。而它所呈現(xiàn)的波動(dòng)性，只是波動(dòng)中最本質(zhì)的疊加性。并不與實(shí)在的物理量的變化相關(guān)聯(lián)。11/14/2023411薛定諤方程電子干涉實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，單次撞擊是不可預(yù)言的。盡管如此，由于每次做實(shí)驗(yàn)都得到相同的干涉圖樣，因此，干涉的總體圖樣是可以預(yù)言的。統(tǒng)計(jì)圖樣的可預(yù)言性表明，德布羅意波也是可預(yù)言的。1926年，奧地利物理學(xué)家歐文·薛定諤找到了預(yù)言德布羅意波的數(shù)學(xué)方程，叫做薛定諤方程。這是一個(gè)二階的線性偏微分方程：波函數(shù)代表粒子的總能量代表粒子的動(dòng)能外力的作用改變粒子能量的方式拉普拉斯算符11/14/2023511波函數(shù)疑難薛定諤方程是牛頓運(yùn)動(dòng)方程在量子理論中的等價(jià)物，是量子理論中的基本方程，也是量子力學(xué)的基本假定，其正確性只能靠實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。牛頓運(yùn)動(dòng)定律預(yù)言了粒子在外力作用下的精確行為，與牛頓運(yùn)動(dòng)定律相似，薛定諤方程也預(yù)言了實(shí)物粒子在外力作用下的行為方式(波函數(shù))。薛定諤方程有助于闡明和預(yù)言大自然的行為，但是，它并沒(méi)有解決量子疑難：一個(gè)電子通過(guò)雙縫干涉儀時(shí)究竟發(fā)生了什么？電子走的路徑實(shí)際上是哪一條？電子的干涉圖樣的本質(zhì)是什么？波函數(shù)到底代表了什么？……11/14/2023611干涉圖樣的概率性1926年，玻恩提出：干涉圖樣必定代表了每一個(gè)電子的概率圖樣：概率是對(duì)事物的可能性程度的度量。凡是一個(gè)特定實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不確定，但多次重復(fù)的總的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以預(yù)言時(shí)，概率就起作用；對(duì)于一次無(wú)欺詐的投幣實(shí)驗(yàn)，正面或反面朝上的概率都等于50%；投幣實(shí)驗(yàn)是宏觀的實(shí)驗(yàn)，它的概率遵從牛頓定律到很高的近似程度。一個(gè)電子在多次相同的實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果；許多電子在一次實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果；波函數(shù)實(shí)際上代表了電子在空間中出現(xiàn)的概率。11/14/2023711波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋更確切地說(shuō)，電子的波函數(shù)一旦給定，則表示在r點(diǎn)附近的體積元中找到粒子的概率。其中叫做概率密度，在實(shí)驗(yàn)中代表干涉圖樣的強(qiáng)度分布。波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋因此，實(shí)驗(yàn)給出的干涉圖樣代表電子在屏幕上出現(xiàn)的概率分布。沿著這條思路，玻恩得出結(jié)論：伴隨著每個(gè)電子的德布羅意波實(shí)際上是該電子出現(xiàn)的概率波。原則上說(shuō)，投幣實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是可以預(yù)言的。每次投幣的不確定性只是由于對(duì)實(shí)驗(yàn)細(xì)節(jié)的無(wú)知引起的；量子事件甚至原則上就不可預(yù)言。11/14/2023811波函數(shù)的歸一性波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋賦予波函數(shù)明確的物理意義，從而在物理上對(duì)波函數(shù)提出了若干要求：1.在任何有限體積中找到粒子的概率是有限的。有限值一般情況下，這意味著波函數(shù)本身必須是有限的。2.由于粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率總和為1，因此，波函數(shù)滿(mǎn)足歸一化條件：如果波函數(shù)尚未歸一化，即在這個(gè)尚未歸一化的波函數(shù)前面乘上一個(gè)常數(shù)因子，構(gòu)造出一個(gè)新的波函數(shù)：11/14/2023911構(gòu)造歸一化波函數(shù)于是，在全空間找到粒子的概率讓這個(gè)新的波函數(shù)滿(mǎn)足歸一化條件歸一化因子由此得到了一個(gè)新的、滿(mǎn)足歸一化條件的波函數(shù)。由于量子理論只討論粒子在空間中各點(diǎn)出現(xiàn)的相對(duì)概率，因此，波函數(shù)有一個(gè)常數(shù)因子的不確定性。這意味著與描寫(xiě)粒子的同一個(gè)量子態(tài)。這一點(diǎn)與經(jīng)典力學(xué)中的波函數(shù)有顯著的區(qū)別。粒子在作一維運(yùn)動(dòng)時(shí)處于如下的狀態(tài)，計(jì)算歸一化因子，求出找到粒子的可能性最大的位置？11/14/20231011波函數(shù)是單值的3.為了保證概率密度的確定性，要求波函數(shù)是單值的和連續(xù)的。對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋表明，只能給出在一定范圍內(nèi)找到粒子的概率，不能確定粒子一定在某個(gè)位置。除了統(tǒng)計(jì)解釋對(duì)波函數(shù)提出的一般要求外，具體的物理情況如勢(shì)能的性質(zhì)和邊界條件等，對(duì)波函數(shù)也提出一些特別的要求。1.當(dāng)勢(shì)能是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)時(shí)