第二章1微分方程

第二章

控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型本章主要內(nèi)容:

2.I

2.2

2.3

2.42.5控制系統(tǒng)的微分方程非線性數(shù)學(xué)模型的線性化拉氏變換及其反變換典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)系統(tǒng)方框圖和信號(hào)流圖數(shù)學(xué)模型的定義數(shù)學(xué)模型： 靜態(tài)模型：參數(shù)對(duì)時(shí)間的變化可以忽略動(dòng)態(tài)模型：描述系統(tǒng)變量間相互關(guān)系的動(dòng)態(tài)性能的運(yùn)動(dòng)方程解析法

依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。建立數(shù)學(xué)模型的方法：實(shí)驗(yàn)法人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。數(shù)學(xué)模型的形式時(shí)間域： 微分方程 差分方程 狀態(tài)方程復(fù)數(shù)域： 傳遞函數(shù) 結(jié)構(gòu)圖頻率域： 頻率特性第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程一、建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟如下：

確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量根據(jù)系統(tǒng)所遵循的基本定律，依次列寫出各元件的運(yùn)動(dòng)方程消中間變量，得到只含輸入、輸出量的標(biāo)準(zhǔn)形式

二、微分方程式的建立

（一）彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)圖2-1表示一個(gè)彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)。當(dāng)外力f(t)作用時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生位移y(t)，

要求寫出系統(tǒng)在外力f(t)作用下的運(yùn)動(dòng)方程式。f(t)是系統(tǒng)的輸入，y(t)是系統(tǒng)的輸出。列出的步驟如下：

圖2-1彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)（1）運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量用M表示.（2）列出原始方程式。根據(jù)牛頓第二定律，有：式中

f

1(t)——阻尼器阻力；

f

2(t)——彈簧力。

(2.1)（3）f1(t)和f2(t)為中間變量，找出它們與其它因素的關(guān)系。阻尼器阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反，與運(yùn)動(dòng)速度成正比，故有：

(2.2)式中B——阻尼系數(shù)。設(shè)彈簧為線性彈簧，則有：f2(t)=Ky(t)式中

K——彈性系數(shù)。(2.3)（4）將式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系統(tǒng)的微分方程式

:

(2.4)式中M、B、K均為常數(shù)，此機(jī)械位移系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)。式(2.4)還可寫成:(2.4a)則有

(2.4b)令

TB和TM是圖2-1所示系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。1/K為該系統(tǒng)的傳遞系數(shù)，它的意義是：靜止時(shí)系統(tǒng)的輸出與輸入之比。

列寫微分方程式時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)列寫在方程式左端，輸入項(xiàng)列寫在右端。由于一般物理系統(tǒng)均有質(zhì)量、慣性或儲(chǔ)能元件，左端的導(dǎo)數(shù)階次總比右端的高。

圖2-2所示R-L-C電路中，R、L、C均為常值，ur(t)為輸入電壓，

uc(t)為輸出電壓，輸出端開路。

要求列出uc(t)與ur(t)的方程關(guān)系式。

圖2-2

R-L-C電路（二）R-L-C電路（1）根據(jù)基爾霍夫定律可寫出原始方程式：

(2.5)（2）式中i是中間變量，它與輸出uc(t)有如下關(guān)系：

(2.6)（3）消去式(2.5)、式(2.6)的中間變量i后，便得輸入輸出微分方程式：

則(2.8)(2.7）令T1=L/R，T2=RC為電路的兩個(gè)時(shí)間常數(shù)。當(dāng)t的單位為秒時(shí)，它們的單位也為秒。式(2.7)或式(2.8)是線性定常系統(tǒng)二階微分方程式，式中左端導(dǎo)數(shù)項(xiàng)最高階次為2。（三）直流電動(dòng)機(jī)

(a)線路原理圖

(b)結(jié)構(gòu)圖

圖2-3電樞電壓控制的直流電動(dòng)機(jī)

磁場(chǎng)固定不變（激磁電流If=常數(shù)），用電樞電壓來(lái)控制的直流電動(dòng)機(jī)。控制輸入為電樞電壓ua

，輸出軸角位移q或角速度w為輸出，負(fù)載轉(zhuǎn)矩ML變化為主要擾動(dòng)。求輸入與輸出關(guān)系微分方程式。（1）不計(jì)電樞反應(yīng)、渦流效應(yīng)和磁滯影響；當(dāng)If為常值時(shí)，磁場(chǎng)不變，電機(jī)繞組溫度在瞬變過(guò)程中不變。（2）列寫原始方程式。首先根據(jù)克?；舴蚨蓪懗鲭姌谢芈贩匠淌饺缦拢菏街?/p>

La——電樞回路總電感（亨）；

Ra——電樞回路總電阻（歐）；

Ke——電勢(shì)系數(shù)（伏/弧度/秒）；

w——電動(dòng)機(jī)角速度（弧度/秒），；

ua——電樞電壓（伏）；

ia

——電樞電流（安)。

(2.9)又根據(jù)剛體旋轉(zhuǎn)定律，可寫運(yùn)動(dòng)方程式

(2.10)式中

J——轉(zhuǎn)動(dòng)部分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（公斤·米2）；

ML——電動(dòng)機(jī)軸上負(fù)載轉(zhuǎn)矩（牛頓·米）；

Md——電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩（牛頓·米）。

（3）Md和ia是中間變量。電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩與電樞電流和氣隙磁通的乘積成正比，磁通恒定，有:

(2.11)式中

Km——電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)（牛頓·米/安）。（4）將式(2.11)代入式(2.10)，并與式(2.9)聯(lián)立求解，整理后得：或

(2.12)

(2.13)式中

Tm——機(jī)電時(shí)間常數(shù)，（秒）；

Ta——電動(dòng)機(jī)電樞回路時(shí)間常數(shù)，一般要比Tm小，（秒）。式(2.13)是電樞電壓控制的直流電動(dòng)機(jī)微分方程式。其輸入為電樞電壓ua，輸出為角速度w，負(fù)載轉(zhuǎn)矩ML擾動(dòng)輸入。ML變化會(huì)使w隨之變化，對(duì)電動(dòng)機(jī)的正常工作產(chǎn)生影響。若輸出為電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角q，則按式(2.13)有:

式(2.14)是一個(gè)3階線性定常微分方程。（2.14）許多表面上不同的物理系統(tǒng)：機(jī)械系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)可能會(huì)有完全相同的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型表達(dá)了系統(tǒng)的共性，研究數(shù)學(xué)模型的特性時(shí)，不再涉及原來(lái)系統(tǒng)的物理性質(zhì)和具體的特點(diǎn)。建立合理數(shù)學(xué)模型的方法數(shù)學(xué)模型越精確就越復(fù)雜，從工程的角度出發(fā)：在要求的精度下，以最簡(jiǎn)化的形式反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和系統(tǒng)要滿足的技術(shù)指標(biāo)，忽略一些次要因素，使模型準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的本質(zhì)，又能簡(jiǎn)化分析計(jì)算工作。第二節(jié)、非線性方程的線性化一、常見非線性模型數(shù)學(xué)物理方程中的線性方程：未知函數(shù)項(xiàng)或未知函數(shù)的（偏）導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)依賴于自變量針對(duì)時(shí)間變量的常微分方程：

線性方程指滿足疊加原理疊加原理：可加性齊次性不滿足以上條件的方程，就成為非線性方程。第二節(jié)、非線性方程的線性化針對(duì)時(shí)間變量的常微分方程：

線性方程指滿足疊加原理疊加原理：可加性齊次性不滿足以上條件的方程，就成為非線性方程。常見非線性情況飽和非線性死區(qū)非線性間隙非線性繼電器非線性盡管線性系統(tǒng)的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，但非線性系統(tǒng)的理論還遠(yuǎn)不完善。另外，迭加原理不適用于非線性系統(tǒng)，這給解非線性系統(tǒng)帶來(lái)很大不便。故我們盡量對(duì)所研究的系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，然后用線性理論進(jìn)行分析。嚴(yán)格講：所有系統(tǒng)都是非線性的二、線性化問(wèn)題的提出線性系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)：可以應(yīng)用疊加原理，以及應(yīng)用線性理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。非線性系統(tǒng)缺點(diǎn)：有條件存在，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的。線性化定義

將一些非線性方程在一定的工作范圍內(nèi)用近似的線性方程來(lái)代替，使之成為線性定常微分方程。三

線性化方法1、忽略弱的非線型因素2、小偏差法（切線法、增量線型化法）增量方程的數(shù)學(xué)含義將參考坐標(biāo)的原點(diǎn)移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點(diǎn)上，對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的起始點(diǎn)，這時(shí)，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。注：導(dǎo)數(shù)根據(jù)其定義是一線性映射，滿足疊加原理。線性化定義

將一些非線性方程在一定的工作范圍內(nèi)用近似的線性方程來(lái)代替，使之成為線性定常微分方程。將非線性函數(shù)y=f(x)在工作點(diǎn)（x0,y0)處展成泰勒級(jí)數(shù)忽略二次以上的高次項(xiàng)，得到的線型函數(shù)來(lái)代替原來(lái)的非線性函數(shù)線性化步驟：例3寫出加熱爐的微分方程解：輸入量是電壓

u

(t)輸出量是爐溫Tq是單位時(shí)間產(chǎn)生的熱量，qs是單位時(shí)間散失的熱量，