北京市通州區(qū)20232024學年九年級上學期期中數學試題

通州區(qū)2023—2024學年第一學期九年級期中質量檢測數學試卷2023年11月學校______班級______姓名______考生須知1.本試卷共8頁，共三道大題，28個小題，滿分為100分，考試時間為120分鐘.2.請在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名.3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.5.考試結束后，請將答題卡交回.一、選擇題（本題共8個小題，每小題2分，共16分）每題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.1.下列長度的四條線段中，是成比例線段的是（）A.3cm，5cm，6cm，9cm B.3cm，5cm，8cm，9cmC.3cm，9cm，10cm，30cm D.3cm，6cm，7cm，9cm2.拋物線的頂點坐標為（）A. B. C. D.3.如圖所示，點D、E分別在的AB，AC邊上，且，如果，那么等于（）第3題A. B. C. D.4.將拋物線向下平移3個單位，得到的拋物線為（）A. B. C. D.5.如圖，圖1是可折疊的熨衣架的實物圖，圖2是它的側面示意圖，AD與CB相交于點O，，根據圖2中的數據可得x的值為（）圖1圖2第5題A.0.4 B.0.8 C.1 D.1.66.如圖，已知D是的邊AC上一點，根據下列條件，不能判定的是（）第6題A. B. C. D.7.若二次函數的圖象與x軸有公共點，那么m的取值范圍是（）A. B. C. D.8.函數的自變量x的取值范圍為全體實數，其中部分的圖象如圖所示，對于此函數有下列結論：①函數圖象關于y軸對稱②函數既有最大值，也有最小值③當時，y隨x的增大而減?、墚敃r，關于x的方程有4個實數根其中正確的結論個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（本題共8個小題，每小題2分，共16分）9.已知，則______.10.請寫出一個開口向下，圖象經過原點的二次函數表達式______.11.兩個相似三角形的相似比為，則它們的面積之比為______.12.20世紀70年代初，我國著名的數學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法，所做EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，.已知AB為2米，則線段BE的長為______米.第12題13.如圖，拋物線的對稱軸為，點P，點Q是拋物線與x軸的兩個交點，若點P的坐標為，則點Q的坐標為______.第13題14.點，為拋物線上兩點，則______.（用“＜”或“＞”號連接）15.如圖，中，，，，，則CD的長為______.第15題16.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊OB，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點A的坐標為，點P在矩形ABOC的內部，點E在BO邊上，且滿足，當是等腰三角形時，點P的坐標為______.第16題三、解答題（本題共68分，第17-18題每題4分；第19-21題每題5分；第22-27題每題6分；第28題9分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.已知一條拋物線的頂點坐標為，且經過點，求拋物線的表達式.18.如圖，的高AD，BE相交于點O.（1）寫出一個與相似的三角形（不添加其他線段），這個三角形是______；（2）證明：19.已知拋物線.（1）求拋物線的頂點坐標及與坐標軸的交點坐標；（2）在平面直角坐標系xOy中畫出函數圖象.20.小華同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊，，測得邊DF離地面的高度，，求樹的高度.21.如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE交對角線AC于點F.（1）求證：；（2）若，，求CF的長.22.已知二次函數在和時的函數值相等.（1）求二次函數圖象的對稱軸；（2）過作x軸的平行線與二次函數的圖象交于不同的兩點M、N.當時，求b的值.23.已知：如圖，中，AD平分，E是AD上一點，且.判斷BE與BD的數量關系并證明.24.跳繩是大家喜愛的一項體育運動，當繩子甩到最高處時，其形狀視為拋物線.如圖是甲，乙兩人將繩子甩到最高處時的示意圖，已知兩人拿繩子的手離地面的高度都為1m，并且相距4m，現(xiàn)以兩人的站立點所在的直線為x軸，過甲拿繩子的手作x軸的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，且繩子所對應的拋物線表達式為.（1）求繩子所對應的拋物線表達式；（2）身高1.70m的小明，能否站在繩子的正下方，讓繩子通過他的頭頂？25.如圖，在等腰三角形ABC中，，，D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），在AC上取一點E，使.（1）求證：；（2）設，，求y關于x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍.26.某水果經銷商以每公斤8元的價格購進一批葡萄，若按每公斤20元的價格銷售，平均每天可售出60公斤.結合銷售記錄發(fā)現(xiàn)，若售價每降低1元，平均每天的銷售量增加10公斤，為了盡快減少庫存，該水果商決定降價銷售.（1）若每公斤降價2元，則每天的銷售利潤為______元；（2）銷售單價定為每公斤多少元時，每天銷售該品種葡萄獲得的利潤w最大？最大利潤是多少元？27.已知拋物線.（1）求拋物線的頂點坐標（用含a的代數式表示）；（2）點，在該拋物線上，若，求a的取值范圍.28.定義：兩個相似三角形共邊且位于一個角的平分線兩側，則稱這樣的兩個相似三角形為疊似三角形.圖1圖2圖3（1）如圖1，四邊形ABCD中，對角線AC平分，，求證：和為疊似三角形；（2）如圖2，和為疊似三角形，若，，，求四邊形ABCD的周長；（3）如圖3，在中，D是BC上一點，連結AD，點E在AD上，且，F(xiàn)為AC中點，且，若，，求的值.通州區(qū)2023—2024學年第一學期九年級期中質量檢測數學參考答案2023年11月一、選擇題（本題共8個小題，每小題2分，共16分）題號12345678答案CBDBADAC二、填空題（本題共8個小題，每小題2分，共16分）9.10.（答案不唯一）11.12.13.14.＜15.16.或三、解答題（本題共68分，第17—18題每題4分；第19—21題每題5分；第22—27題每題6分；第28題9分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.解：∵拋物線的頂點坐標為，∴設拋物線表達式為……1分∵拋物線經過點，∴將代入得：……2分∴……3分∴.……4分18.（1）解：，，（寫出一個即可）……1分（2）證明：∵的高AD，BE相交于點O，∴……2分∵……3分∴……4分19.（1）解：∵，∴，∴拋物線的頂點坐標為……1分令，則，拋物線與y軸交點為……2分令，則，，拋物線與x軸交點為和.……4分（2）……5分20.解：∵，又∵，∴……2分∴……3分∵，，，∴，∴……4分∴.答：樹的高度是5.5米.……5分21.（1）證明：∵矩形ABCD，∴，∴……1分又∵，∴……2分（2）∵矩形ABCD，∴，，在中，，，∴……3分∵E是邊AB的中點，∴，∵，∴，∴……4分∴，∴，∴.……5分22.解：（1）∵二次函數在和時函數值相等，∴對稱軸為直線.……2分（2）∵過作x軸的平行線與二次函數的圖象交于不同的兩點M、N，設點M在點N的左側，∵對稱軸為直線，，∴點M的坐標為，點N的坐標為……4分∴，，∴，.……6分23.猜想：……1分證明：∵AD平分，∴……2分∵，∴……3分∴，……4分∴……5分∴……6分24.解：（1）根據題意，拋物線經過點，.∴……1分解得……2分∴繩子所對應的拋物線表達式為：……3分（2）身高1.70m的小明，不能站在繩子的正下方讓繩子通過他的頭頂.理由如下：∵，當時，……5分∵，∴繩子能碰到小明，小明不能站在繩子的正下方讓繩子通過他的頭頂.……6分25.（1）證明：∵等腰三角形ABC中，，，∴，，∵，∴……1分∵，又∵，∴……2分∴……3分（2）解：∵，∴……4分∵，，∴……5分∴……6分26.（1）800元；……1分（2）解：設銷售單價定為每公斤x元，據題意可得，……3分當時，利潤w最大，此時，……5分答：銷售單價定為每公斤17元時，每天銷售該品種葡萄獲得的利潤最大，最大利潤是810元.……6分27.解：（1）∵拋物線，∴，∴拋物線的頂點坐標為.……2分（2）當時，拋物線開口向上，①若點P、Q在對稱軸異側∵，∴點P到對稱軸的距離大于點Q到對稱軸的距離，∴，∴，又∵，∴此情況不成立……3分②若點P、Q在對稱軸同側當時，y隨x的增大而增大∵，∴……4分當時，拋物線開口向下，①若點P、Q在對稱軸異側∵，∴點P到對稱軸的距離小于點Q到對稱軸的距離∴，∴，∴……5分②若點P、Q在對稱軸同側當時，y隨x的增大而減小，∵，∴與矛盾，∵此情況不成立……