正余弦波形的幾種特殊表示方法

正余弦波形的幾種特殊表示方法

1dirc藥值270.的解算器顯示了這種情況。G(x)=∞∑n=1g(nx)?g(x)=∞∑n=1μ(n)G(nx)(1)G(x)=∑n=1∞g(nx)?g(x)=∑n=1∞μ(n)G(nx)(1)其中:μ(n)稱為M¨oo¨bius函數(shù),只取0,1,-1之中的一個。如:μ(1)=1,μ(2)=-1,μ(3)=-1,μ(4)=0,μ(5)=-1,μ(6)=1,μ(7)=-1,μ(8)=0,μ(9)=0,μ(10)=1等等。在數(shù)論的文獻(比如文獻)中還有該公式的多種變形。為了方便對電子學(xué)波形問題的討論,借助Dirichlet逆的概念,引入該定理的如下推廣:關(guān)系1G(x)=∞∑n=1c(n)g(nx)?g(x)=∞∑n=1c-1(n)G(nx)(2)G(x)=∑n=1∞c(n)g(nx)?g(x)=∑n=1∞c?1(n)G(nx)(2)其中:c(n)為g(nx)的系數(shù);c-1(n)為c(n)的Dirichlet逆。事實上反之亦然。如果c(n)是完全積性的,則c-1(n)可簡單表示為關(guān)于算術(shù)函數(shù)、M¨oo¨bius函數(shù)、Dirichlet乘積、Dirichlet逆、完全積性函數(shù)的概念,可參閱文獻。2傅立葉系數(shù)函數(shù)關(guān)系2假定X(x)和Y(x)分別是周期為2π的偶函數(shù)和奇函數(shù),其傅立葉級數(shù)為X(x)=∞∑n=1A(n)cos(nx)Y(x)=∞∑n=1B(n)sin(nx)}(4)X(x)=∑n=1∞A(n)cos(nx)Y(x)=∑n=1∞B(n)sin(nx)?????????????(4)其中:A(1)≠0,B(1)≠0,由式(2)可得cos(x)=∞∑n=1A-1(n)X(nx)sin(x)=∞∑n=1B-1(n)Y(nx)}(5)cos(x)=∑n=1∞A?1(n)X(nx)sin(x)=∑n=1∞B?1(n)Y(nx)?????????????(5)如果A(n)和B(n)是完全積性的,則式(5)又可寫為這時,函數(shù)X(x)和Y(x)被稱為具有完全積性傅立葉系數(shù)的函數(shù)。有趣的是,電子學(xué)中的許多常見波形都具有完全積性的傅立葉系數(shù),如鋸齒波、方波、三角波、梯形波(見圖1),根據(jù)式(6),可以方便地把正余弦波形表示為這些常見波形的疊加(見圖2)。(1)當(dāng)齒波周期為2時，可以表示為Ysa(x)={(π-x)/200<x<2πx=0(7)其傅立葉級數(shù)為由式(6)可得正弦波sinx用鋸齒波表示的表達式(2)正弦波與奇方波的匹配函數(shù)Xsq(x)=π4sgn(cosx)和Ysq(x)=π4sgn(sinx)分別稱為偶方波和奇方波,其中sgn為符號函數(shù)偶方波和奇方波的傅立葉級數(shù)為由式(6)可得正弦波sinx與余弦波cosx的方波展開(3)三角波周期為2的偶三角波和奇三角波的值為其傅立葉級數(shù)為由式(6)可得正弦波sinx與余弦cosx波的三角波展開(4)正弦波與余弦波cosx的梯形波疊加其傅立葉級數(shù)分別表示為由式(6)可得正弦波sinx與余弦波cosx的梯形波展開式(9)、式(12)、式(15)、式(18)的疊加過程如圖2所示。3般奇周期函數(shù)之間的關(guān)系為了揭示任意2種波形的聯(lián)系,要用到如下的關(guān)系3,它可以由關(guān)系2推出。關(guān)系3假定X1(x),X2(x)是2個周期為2π的偶函數(shù),A1(n),A2(n)是它們的傅立葉系數(shù)。函數(shù)X1(x),X2(x)之間有如下的關(guān)系X1(x)=∞∑n=1C(n)X2(nx)X2(x)=∞∑n=1C-1(n)X1(nx)}(19)其中:C(n)=(A1*A-12)(n)C-1(n)=(A2*A-11)(n)}(20)*表示兩個算術(shù)函數(shù)的Dirichlet乘積。事實上,X1(x),X2(x)的傅立葉級數(shù)為X1(x)=∞∑n=1A1(n)cos(nx)(21)X2(x)=∞∑n=1A2(n)cos(nx)(22)根據(jù)關(guān)系2得cos(x)=∞∑n=1A-11(n)X1(nx)(23)cos(x)=∞∑n=1A-12(n)X2(nx)(24)將式(23)代入式(22),式(24)代入式(21)即可得到式(19)的關(guān)系X1(x)=∞∑n=1A1(n)∞∑m=1A-12(m)X2(mnx)=∞∑n=1C(n)X2(nx)X2(x)=∞∑n=1A2(n)∞∑m=1A-11(m)X1(mnx)=∞∑n=1C-1(n)X1(nx)例如,偶三角波函數(shù)和偶梯形波函數(shù)的關(guān)系如下Xtri(x)=Xtra(x)+29Xtra(3x)+225Xtra(5x)+?+√2(2m+1)2∑d|(2m+1)cos(2m+1dπ4)?μ(2m+1d)Xtra((2m+1)x)+?Xtra(x)=Xtri(x)-29Xtri(3x)-225Xtri(5x)+?+√2(2m+1)2∑d|(2m+1)cos(dπ4)?μ(2m+1d)Xtri((2m+1)x)+?}(25)式(25)的疊加過程如圖3所示。兩個奇周期函數(shù)之間存在類似的關(guān)系,從略。例如,鋸齒波和奇方波之間有如下的聯(lián)系Ysq(x)=Ysa(x)-12Ysa(2x)Ysa(x)=Ysq(x)+12Y