2022北京房山區(qū)實驗中學 高一數(shù)學理月考試卷含解析

2022北京房山區(qū)實驗中學高一數(shù)學理月考試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

「兀兀,

KJ-TT*V?

1.己知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（”一x）,且當.22J時，f（x）=x+

sinx,

A.f(l)<f(2)<f(3)B.f(2)<f(3)<f(l)

C.f(3)<f(2)<f(l)D.f(3)<f(l)<f(2)

參考答案：

D

略

2.下列大小關系正確的是()

34304

A.0.4<3°-<log40.3B.0.4<log40.3<3-

30443

C.log40,3<0.4<3D.Iog40,3<30-<0.4

參考答案：

3.設1、m、n為不同的直線，a、￡為不同的平面，則正確的命題是（）

A.若a_L#,則1//^

B.若a_L#,，匚a,貝?。?±

C.若7±zz?,加_1_〃，則/〃〃

D.若勿，a,〃〃,且a〃￡,則mLn

參考答案：

D

4.一艘船上午9：30在A處，測得燈塔5在它的北偏東30"處，且與它相距8煨海里，之

后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午1000到達B處，此時又測得燈塔5在它的北偏東

75°,此船的航速是（）

A.8（V6+^）B,8（V6-V2）0,16（質+閡D.

16（病-⑼

參考答案：

D

f（X）=sin（3x+—）（3>0）—

5.若函數(shù)ex，sin'6'圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為2,且該

函數(shù)圖象關于點（x。，0）成中心對稱，'o'[0'T],則x產(chǎn)（）

715兀兀7T

A.12B.12C.VD.4

參考答案：

B

【考點】函數(shù)y二Asin（3x+6）的圖象變換.

【分析】利用函數(shù)尸Asin（3X+6）的圖象的對稱性，得出結論.

f（x）=sin（3x-H^-）（3>0）

【解答】解：??'函數(shù)'''6圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為

12K

工r兀

2-23=2,s=2,

/.f（x）=sin（2x+6）.

7T17T1

令2x+-T=kn,kez,求得x=Ekw-12,故該函數(shù)的圖象的對稱中心為（-

71

12,0),kez.

F「0

根據(jù)該函數(shù)圖象關于點（X。，0）成中心對稱，結合X。'L，2」，則X產(chǎn)12，

故選：B.

6.觀察下列數(shù)表規(guī)律

2-36-710-*ll14fl5

tIt；fitI

0-*l4f58f912—1316f

則發(fā)生在數(shù)2012附近的箭頭方向是（）

2012TT—2012I

A.TB.-2012C.ID.2012—

參考答案：

D

7.過點"(，°)作圓,廿=4的兩條切線必、皿43為切點，則=

()

A.6B.-6C.10D.6、萬

參考答案：

A

]ag+am

8.已知等比數(shù)列｛aj中，各項都是正數(shù)，且a,,2a3,2a?成等差數(shù)列，則a7+ag=

()

A.1+V2B.1-V2C.3+2V2D.3-2V2

參考答案：

C

【考點】等差數(shù)列的性質；等比數(shù)列的性質.

【分析】先根據(jù)等差中項的性質可知得2X(7a3)=ai+2a2,進而利用通項公式表示出

ag+a[0

M=l+2q,求得q,代入a7+a8中即可求得答案.

1_

【解答】解：依題意可得2X(^^3)=a+2a2,

即，a3=ai+2a2,整理得q'l+2q,

求得q=l土0，

???各項都是正數(shù)

.,.q>0,q=l+V2

89

ag+aioa1q+a-

...a7+a8=ajq+a1q=3+2后

故選C

9.在等差數(shù)列｛四｝中，,?,=12,.=3,則巧=

A.8B.9C.11D.12

參考答案：

B

【分析】

由已知結合等差數(shù)列的性質即可求解“7的值.

【詳解】在等差數(shù)列kJ中，由，?■9=12,得??叼=12,

乂a4=3,二＞7=12-3=9

故選B.

【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的性質，是基礎題.

10.點E,F,G,H分別為空間四邊形ABCD中AB,BC,CD,AD的中點,若AC=BD,且AC與

BD成90°,則四邊形EFGH是（）

A.菱形B.梯形C.正方形D.空間四邊形

參考答案：

c

【考點】空間中直線與直線之間的位置關系.

【分析】先根據(jù)三角形的中位線定理整出兩隊對邊平行且相等，是一個平行四邊形，再證

明四邊形EFGH為菱形，然后說明NEFG=90°,得到四邊形是一個正方形.

1

【解答】解：因為EH是AABD的中位線，所以EII〃BD,且EH=2BD

11

同理FG〃BD,EF〃AC,且FG=2BD,EF=5AC.

所以EH〃FG,且EH=FG

VAC=BD,

所以四邊形EFGH為菱形.

VAC與BD成90°

???菱形是一個正方形，

故選C.

【點評】本題考查簡單幾何體和公理四，本題解題的關鍵是要證明正方形常用方法是先證

明它是菱形再證明一個角是直角，本題是一個基礎題.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

=&-

11.在A3中，3邊上的高為3,則ZC+AC=

參考答案：

歷

兀1771

12.已知sin（a+正）而，則cos（a+,）=__

參考答案：

1

飛

【考點】GO：運用誘導公式化簡求值.

?n7i7冗

【分析】根據(jù)誘導公式可知c°s（a+玉-）=sin（T-a-IT）,進而整理后，把sin

兀

（。+正）的值代入即可求得答案.

7n兀7兀K1

【解答】解：coS'O+近)=sin(丁-a-五)=-sin(a+H)=

故答案為：-3

13.求值：cos75°cosl5°-sin75°sinl5°=.

參考答案：

0

【考點】兩角和與差的余弦函數(shù).

【分析】根據(jù)題意，利用余弦的和差公式可得cos75°cosl50-

sin75°sinl5°=cos90°,利用特殊角的三角函數(shù)值可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，原式二cos75°cosl5°-sin75°sinl5°=cos90°=0,

故答案為：0.

2~x,

14.函數(shù)f(x)4x2,x<l,則f(f(-3))=_.

參考答案：

-7

考點：函數(shù)的值.

專題：函數(shù)的性質及應用.

分析：由分段函數(shù)的性質得f(-3)=(-3):9,從而f=f(9)=2-9=-7.

‘2-x,x〉l

解答：解：>(x)=1X2,x<l,

Af(-3)=(-3)2=9,

f(f(-3))=f(9)=2-9=-7.

故答案為：-7.

點評：本題考查函數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運

用.

-1x-l(x>0)

15.設函數(shù)f(x)=7(X<0)若f(a)>a,則實數(shù)a的取值范圍是—.

參考答案：

(-8,-J)

【考點】其他不等式的解法.

【專題】計算題；分類討論.

【分析】先根據(jù)分段函數(shù)的定義域選擇好解析式，分a'O時，和a<0時兩種情況求解，

最后取并集.

f(a)=—a—l>a

【解答】解：當a20時，2，解得a<-2,

矛盾，無解

f(a)=—>a

當a<0時，aa<-1.

綜上：a<-1

實數(shù)a的取值范圍是(-8,-i).

故答案為：(-8,-1)

【點評】本題主要考查分段函數(shù)，一元一次不等式，分式不等式的解法，還考查了分類討

論思想和運算能力.

5

16.設函數(shù)f(x)=*'-3x2+2,則使得f(1)>f(log3x)成立的x取值范圍為.

參考答案：

0<x<3或x>3

【考點】奇偶性與單調性的綜合.

【分析】由題意，f(-X)=f(X),函數(shù)是偶函數(shù)，X>0遞減，f(1)>f(10g3X),1<

|10g3X|,即可得出結論.

【解答】解：由題意，f(-X)=f(x),函數(shù)是偶函數(shù)，x>0遞減

vf(1)>f(log3X)

???l<|10g3X|,

???0Vx<3或x>3,

???使得f(1)>f(log3x)成立的x取值范圍為0<x<3或x>3,

故答案為0<x<3或x>3.

17.（5分）如圖是一個正方體紙盒的展開圖，在原正方體紙盒中有下列結論:

①BM與ED平行；

②CN與BE是異面直線；

③CN與BM成60°角;

@DM與BN垂直.

其中，正確命題的序號是.

參考答案：

③④

考點：異面直線及其所成的角；空間中直線與直線之間的位置關系.

專題：證明題.

分析：先利用正方體紙盒的展開圖，畫出它的直觀圖，特別注意特殊點的位置，再在正方

體中證明線線位置關系以及求異面直線所成的角即可

解答：如圖為正方體紙盒的直觀圖：

由圖可知：BM與ED異面且垂直，①錯誤;

CN與BE平行，②錯誤;

異面直線CN與BM所成的角即NEBM,由于aEBM為等邊三角形，故NEBM=60°,③正確;

因為DM_LNC,DM1BC,NCABC=C,所以DM_L平面NCB,所以DMJ_BN,④正確

故答案為③④

點評：本題考查了空間幾何體的展開圖與直觀圖間的關系，空間的線線位置關系及其證

明，異面直線所成的角及其求法，將平面圖準確的轉化為直觀圖是解決本題的關鍵

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18已知函數(shù)/（x）=x+2，Sinxcosx+1.

（I）求函數(shù)/（X）的單調遞增區(qū)間，最小正周期；

（II）畫出了（X）的圖象.（要求：列表，要有超過一個周期的圖象，并標注關鍵點）

參考答案：

kn—,kn+—

（I）/白）的單調遞增區(qū)間L36」（上wZ）,最小正周期為開；（H）詳見

解析.

試題分析：（I）首先需將函數(shù)/（X）的解析式轉化到月,然后運

7_至

用正弦函數(shù)的單調性研究，最小正周期套用周期公式mi即可；（II）運用描點作圖

法，具體地講就是“五點作圖法”，一個最高點，一個最低點，三個平衡點.

試題解析：(I)

/(x)=-73an2x+cos2x+2=2sin|2x+—|+2

\6/3分

2kfr——i2x+—￡2k7T+—kir—Sx$k“+一

由262,解得36（無eZ）

n,”

kn—,kn-\"一

所以函數(shù)“X）的單調遞增區(qū)間36

(ieZ)5分

最小正周期為

6分

(II)

力57r%

X

127法T12

CIX7T

2x+一0%史2萬

62~2

y2A202

只要關鍵點數(shù)值正確即可9分

圖象正確12分

圖象正確但沒標明關鍵點數(shù)值扣1分

考點：三角恒等變換及三角函數(shù)圖象與性質.

19.（本題滿分16分）已知函數(shù)/a）=x|勿-x|+2x,awR.

（i）若a=o,判斷函數(shù)y=/（x）的奇偶性，并加以證明；

（2）若函數(shù)/（X）在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）若存在實數(shù)“€卜2,2],使得關于x的方程/8）-1（%）=。有三個不相等的實數(shù)

根，求實數(shù)上的取值范圍.

參考答案：

（1）函數(shù)）'=/（X）為奇函數(shù).

當a=0時，/a）=x|x|+2r,xeR>A/（-x）=-x|-x|-2x=-x|x|-2x=-/（X）

函數(shù)y=/a）為奇函

數(shù)；..........

,?,3分

//p3+（2-2a）x（x52a）

/（X）=，2"\

（2）[一/+（2+2a）x（x<2a）t當xN2a時，了的對稱軸為：

x=a-\,

當x<2a時，y=/《力的對稱軸為：x=a+l；.?.當a-lM2aWa+l時，在R

上是增函數(shù)，即時，函數(shù)尸=/（力在R上是增函

數(shù)；............7分

（3）方程/8A1（勿）=°的解即為方程/口）=f（勿）的解.

①當-IgaWl時，函數(shù)y=/a）在R上是增函數(shù)，.??關于x的方程//）=奴勿）不可能

有三個不相等的實數(shù)

根；............9分

②當a>1時，即2a>a+l>a-l,.?J=/3在上單調增，在（a+l,2a）上

單調減，在（勿,向上單調增，.?.當/Qa）W3</（a+D時，關于x的方程

/8）=y（勿）有三個不相等的實數(shù)根；即4a"4a<（a+l）J,

,I</<-（a+-+2）

?：a>1：.Aa

設⑷-.3+￡+）,...存在“e[_2,2],使得關于x的方程八%）=以勿）有三個不相等

的實數(shù)根，（嘰~又可證'⑷-彳0+）+，在0,2）上單調增

A(a)a?=|.l<f<!

12分

③當4<-1時，即.??>=/（力在（-8,㈤上單調增，在（%,a-D上單

調減，在（a-1，*°）上單調增，

.?.當（㈤</（勿）時，關于x的方程/伏）=叭勿）有三個不相等的實數(shù)根；

（.1<Z<~—（a+--2）g（a）=--（a+-—2）

gp-（a-l）<t4a<4at-:a<-iA4a，設4a

...存在“使得關于x的方程/（X）=[（22）有三個不相等的實數(shù)根，

119

...】C<g（a）x,又可證,3）■一彳°+）一2）在[-2,-1）上單調減二「-g

...8；

15分

綜上：

,9

1</<-

8.

........................16分

20.成等差數(shù)列的四個數(shù)的和為26,第二數(shù)與第三數(shù)之積為40,求這四個數(shù)。

參考答案:

解：設四數(shù)為。-叼,。-4。+4。+立，則4a=26,a'-d'=40

一或二

即222,

d=3

當一5時，四數(shù)為2,5,8,11

d=N

當一5時，四數(shù)為11854.

略

21.已知函數(shù)/(?=(/一勿+3"是指數(shù)函數(shù).

(1)求/3)的表達式：

⑵判斷儀?=A^-/(-x)的奇偶性，并加以證明:

⑶解不等式：S.Q^＞!og?(x+2)

參考答案：

(1)加々(2)見證明；(3)2＜，C＜寸

【分析】

(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義得到，"3