2022廣東省高三數(shù)學(xué)一模模擬試題（含答案解析）

廣東城名三照等一饃錯(cuò)送被您

一、單選題（60分）

1.已知集合4={小2-61+540},8=]卜=J—},4n3=（）

A.[1,+8）B.[1,3]C.（3,5]D.[3,5]

2.若復(fù)數(shù)z滿足Z（l-i）=|l-i|+i,則z的實(shí)部為（）

A.B.V2-1C.1D.

22

3.某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平

均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最

高氣溫約為15℃,B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述

不正確的是（）

??一平均?低氣H-▼均?*氣*

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè)

4.以下四個(gè)命題中，真命題的是（）

A.玉e（O,7T）,sinx=tanx

B.“對任意的無eR,f+x+l>0”的否定是“存在x°eR,x02+x°+i<（），，

C.V6eR,函數(shù)/（x）=sin（2x+。）都不是偶函數(shù)

JT

D.AABC中，"sinA+sinB=cosA+cos3”是“C=m”的充要條件

x-3j+4>0

5.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件<3x-y-4M0,則z=3x+2y的最大值是（）

x+.y>0

A.-1B.1

C.10D.12

6.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，

紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一

座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)

的2倍，則塔的頂層共有燈

A.1盞B.3盞

C.5盞D.9盞

7.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)”，，蚱啕1+5儂比且戶口的圖

象可能是（）

8.如圖是某個(gè)四面體的三視圖，若在該四面體的外接球內(nèi)任取一點(diǎn),

則點(diǎn)落在四面體內(nèi)的概率為（）

A.工B.與C.通D.近

13〃13萬169萬169乃

9.“柯西不等式”是由數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)

得到的，但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為柯西--布尼亞科夫

斯基--施瓦茨不等式，因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)

中推而廣之，才將這一不等式推廣到完善的地步，在高中數(shù)學(xué)選修教

材4-5中給出了二維形式的柯西不等式：。2+/72）&2+淤）“如+即）

2當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc（即0c=a時(shí)等號成立.該不等式在數(shù)學(xué)中證明不

等式和求函數(shù)最值等方面都有廣泛的應(yīng)用.根據(jù)柯西不等式可知函數(shù)

f（x）=2F7+>/r4的最大值及取得最大值時(shí)％的值分別為（）

A.區(qū)B.舊C.危獸D.炳義

25251313

10.如圖在正方體ABC。-A4CQ中，點(diǎn)。為線段8。的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在

線段C￡上，直線OP與平面48。所成的角為a,則sina的取值范圍是

A

A.[乎,1]B.[半內(nèi)

C.g,乎]D.[乎,1]

11.設(shè)直線1與拋物線尸=4%相交于A,B兩點(diǎn)，與圓

(x-5)2+/=/(〃>0)相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直

線1恰有4條，貝h的取值范圍是()

A.(1,3)B.。，4)C.(2,3)D.(2,4)

jr_

12.若Vxe0,—,不等式x+sinxNmxcosx恒成立，則正實(shí)數(shù)優(yōu)的取值

范圍是()

'3'

A.(0,1]B.(0,2]C.-,2D.(3,+oo)

二、填空題(20分)

13.已知向量。=(1,6),5=(3,6),則石在￡方向上的投影是___.

14.為了提高命題質(zhì)量，命題組指派5名教師對數(shù)學(xué)卷的選擇題、填

空題和解答題這3種題型進(jìn)行改編，則每種題型至少指派一名教師的

不同分派方法種數(shù)為種.

15.在平面直角坐標(biāo)系喊琳中，譽(yù)為雙曲線然-./=：1右支上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn).若點(diǎn)孽到直線案-則n=他的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值

為_________

16.在/ABC中，AB=BC=42,AC=2,「是內(nèi)部一點(diǎn)，且

滿足斗±=上*~江一丁丁，則|%|+|尸3|+|尸。|=_.

PB-PCPC-PAPA-PB+PB-PC+PC-PA

三、解答題(70分)

17.已矢口數(shù)歹!J｛%｝滿足q+2%+34+■??+〃《,=〃(〃eN*)

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式％;

(2)令方=64+2(〃eN*),7=4+由+…+2,求證：(，＜1?

rr

18.如圖1,在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZBAD=-,AB=BC=1,

AD=2,E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將AABE沿BE折起到

△A|BE的位置，如圖2.

(I)證明：C"平面AQC；

(II)若平面ABE_L平面BCDE,求平面AJ3C與平面A0D夾角的余弦

值.

19.已知橢圓C：￡+A=l(。＞匕＞。)的離心率為E，A3，°)，B?b),

a-b~2

0(0,0),AOAB的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與丁軸交于點(diǎn)直線所與％軸

交于點(diǎn)N,求證：|4V|.|BM|為定值.

20.某生鮮批發(fā)店每天從蔬菜生產(chǎn)基地以5元/千克購進(jìn)某種綠色蔬

菜，售價(jià)8元/千克，若每天下午4點(diǎn)以前所購進(jìn)的綠色蔬菜沒有售

完，則對未售出的綠色蔬菜降價(jià)處理，以3元/千克出售.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，

降價(jià)后能夠把剩余蔬菜全部處理完畢，且當(dāng)天不再進(jìn)貨.該生鮮批發(fā)

店整理了過往30天（每天下午4點(diǎn)以前）這種綠色蔬菜的日銷售量

（單位：千克）得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（視頻率為概率）（注：x,yeN*）

每天下午4點(diǎn)前

350400450500550

銷售量

天數(shù)39Xy2

（1）求在未來3天中，至少有1天下午4點(diǎn)前的銷售量不少于450

千克的概率.

（2）若該生鮮批發(fā)店以當(dāng)天利潤期望值為決策依據(jù)，當(dāng)購進(jìn)450千

克比購進(jìn)500千克的利潤期望值大時(shí)，求x的取值范圍.

21.已知函數(shù)/（x）=f+乃COSX

（1）求函數(shù)/（X）的最小值；

（2）若函數(shù)g（x）=/（x）-a在（0,+e）上有兩個(gè)零點(diǎn)為，x2,且玉＜%,求

2%+工2冗

證:<

3-2

22.已知平面直角坐標(biāo)系％。y中，以。為極點(diǎn)，％軸的正半軸為極軸,

建立極坐標(biāo)系，曲線G方程為p=2sin6.C2的參數(shù)方程為

r1

x=—1+-t

?62(t為參數(shù)).

Iy-t

(1)寫出曲線C］的直角坐標(biāo)方程和C2的普通方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P為曲線加上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到曲線距離的取值范圍?

23.已知關(guān)于x的不等式加一|x一2巨1,其解集為［0,4J.

⑴求"7的值；

(2)若Q,。均為正實(shí)數(shù)，且滿足。+。=加，求〃的最小值.

答案

1.D

【分析】

分別求出集合4、B,從而求出APIB即可.

【詳解】

由已知可得A={耳/-6x+5W0}={x[l<x<51,

B={x[y=4_3）=1x|x-3>01={x|xN3},

則AIB=[3,5].

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的運(yùn)算，考查二次不等式的求解以及二次根式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

【詳解】

???Z（-）=|—I+i=&+i,Z=也擔(dān)=在皿L也匚+也巴?，則Z的

v711l-i（l-z）（l+O22

實(shí)部為史二1,故選A.

2

3.D

【詳解】

試題分析：由圖可知各月的平均最低氣溫都在0℃以上，A正確：由圖可知在七月的平均溫

差大于7.5℃,而一月的平均溫差小于7.5℃,所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，

B正確；由圖可知三月和十一月的平均最高氣溫都大約在10℃,基本相同，C正確；由圖

可知平均最高氣溫高于20℃的月份有7,8兩個(gè)月，所以不正確.故選D.

【考點(diǎn)】

統(tǒng)計(jì)圖

【易錯(cuò)警示】

解答本題時(shí)易錯(cuò)可能有兩種：（1）對圖形中的線條認(rèn)識(shí)不明確，不知所措，只覺得是兩把雨

傘重疊在一起，找不到解決問題的方法；（2）估計(jì)平均溫差時(shí)易出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)選B.

4.D

【詳解】

解：A.若sinx=tan;v,則sinx=tanx=)”匕，

COSX

VxC(0,7t),/.sia#0,則1=---,即cosx=l,

cosx

VxG(0,兀)，；.cosx=l不成立，故(0,兀)，使sinx=tanx錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤，

3.“對任意的x￡R,/+犬+1>0，，的否定是“存在x°￡R,次2+出+七0，，，故3錯(cuò)誤，

7T71

C.當(dāng)。=一時(shí)，f(x)=sin(2x+0)=sin(2x+—)=cos2x為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤，

22

D.在△ABC中，C=一,則A+8=一,

22

TC71

則由sinA+sin8=sin(---B)+sin(----A)=cosB+cosA,則必要性成立；

22

VsirL4+sinB=cosA+cosB,

sinA-cosA=cosB-sinB,

兩邊平方得sin2A-2sinAcos/l+cos2A=sin2^-2sin^cosB+cos2B,

/.1-2sinAcosA=1-2sinBcosB,

/.sin2A=sin2B,

則2A=23或2A=兀-23,

71

即A=B或A+8=一,

2

當(dāng)A=B時(shí)、sinA+sinB=cos4+cos8等價(jià)為2sirL4=2cosA,

jl兀

tan^A=1,B|JA=B=—,此時(shí)C=—,

42

7T

綜上恒有。二一，即充分性成立，

2

綜上△ABC中，"sinA+sinB=cosA+cos8"是"C=—”的充要條件，故。正確，

2

故選D.

考點(diǎn)：全稱命題的否定，充要條件等

5.C

【分析】

本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大題,

注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查.

【詳解】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橐?-1,1),(1,-D,(2,2)為頂點(diǎn)的

三角形區(qū)域(包含邊界)，由圖易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y經(jīng)過平面區(qū)域的點(diǎn)(2,2)時(shí)，

z=3x+2y取最大值z1rax=3x2+2x2=10.

解答此類問題，要求作圖要準(zhǔn)確，觀察要仔細(xì).往往由于由于作圖欠準(zhǔn)確而影響答案的準(zhǔn)確

程度，也有可能在解方程組的過程中出錯(cuò).

6.B

【詳解】

設(shè)塔頂?shù)腶i盞燈，

由題意｛癡｝是公比為2的等比數(shù)列，

.?*7=%(I"2’)=381,

1-2

解得ai=3.

故選B.

7.D

【分析】

本題通過討論。的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項(xiàng),

判斷得出正確結(jié)論.題目不難，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.

【詳解】

當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù),=優(yōu)過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞減，則函數(shù)y=4過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞

a

增，函數(shù)y=log“(x+g)過定點(diǎn)(g,0)且單調(diào)遞減，D選項(xiàng)符合；當(dāng)。＞1時(shí)，函數(shù)y=a*

過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞增，則函數(shù)y過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞減，函數(shù)y=log“(x+g)過

定點(diǎn)(g,0)且單調(diào)遞增，各選項(xiàng)均不符合.綜上，選D.

【點(diǎn)睛】

易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不

能通過討論。的不同取值范圍，認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性.

8.C

【詳解】

試題分析：由題意可知三棱錐的底面是一個(gè)直角邊為3亞等腰直角三角形，所以三棱錐的

體積為12.球的直徑2r為以三棱錐的三個(gè)兩兩垂直的棱為長方體長寬高的體對角線，即

2r=也2+(3揚(yáng)2+?后=2岳.所以球的體積為52儼.所以點(diǎn)落在四面體內(nèi)的概

129713

率為52岳兀一169萬?故選C.

13

考點(diǎn)：1.三視圖的知識(shí).2.球的內(nèi)接幾何體.3.概率問題.4.空間想象力.

9.A

【分析】

將2+又代入二維形式的柯西不等式的公式中，進(jìn)行化簡即可得到答案。

【詳解】

由柯西不等式可知：(2,5-x+Jx-(22+r)[(j5—x)-+(Jx—4)-]=5

2]

所以+4石，當(dāng)且僅當(dāng)2?^1=后二即*=匚時(shí)取等號，

故函數(shù)/(x)=2+工』的最大值及取得最大值時(shí)x的值分別為亞[,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查二維形式柯西不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。

10.B

【詳解】

設(shè)正方體的棱長為1,則AG=J5，AC=J3,A1O=OG=Ji+(=jT，oc=所

33c

—1---212*/2

以cosZAjOC1=——勺一=一,sinNA10G=---

2x-33

2

3+1-3

cosZAjOC=—―2二一^^,sinZA10c=-^~.

c>/333

2x——

2

又直線與平面所成的角小于等于90°，而NAOC為鈍角，所以sin1的范圍為［如川，選

3

B.

【考點(diǎn)定位】

空間直線與平面所成的角.

11.D

【解析】

試題分析：設(shè)A(*,y),Be%,%)，M(%()，%)，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為％，則

V.2=4x,,x-y,42y1

{'?，相減得：%=工~==-------=一，因?yàn)橹本€與圓相切，所以3n三=一7,

%=4/%-工2%%-5k

即%=3,

M的軌跡是直線x=3,代入拋物線得：/=12,所以一2、Qw%?2jL又M在圓上，

代入得：

222

(x0-5)+y0=r(r>0)，所以產(chǎn)=%2+4?i6,因?yàn)橹本€恰好有四條，所以%HO,

所以4<廠2<16，

即2<廠<4時(shí)直線恰好有兩條，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線有兩條，所以直線恰有4條時(shí)

2<r<4,故選D.

考點(diǎn)：1.直線和圓的位置關(guān)系；2.直線和拋物線的位置關(guān)系.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及直線與圓的相切問題，屬

于中檔題.解題時(shí)一定要注意分析條件，根據(jù)條件首先求出中點(diǎn)的軌跡方程x=3,這里主

要考查的是點(diǎn)差法，問題轉(zhuǎn)化為％=3與圓有交點(diǎn)，從而當(dāng)直線斜率存在時(shí)，半徑大于2且

小于4有兩條，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，也有兩條符合條件，故需要2<r<4.

12.B

【分析】

當(dāng)x=0和x=T時(shí)結(jié)論顯然成立，當(dāng)分離參數(shù)x+sinx2〃zxcosx恒成

yJ_ciri丫y-LcinvI7T\

立等價(jià)于，〃W,令函數(shù)/(x)=,xe0,-,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(X)在

xcosxxcosxI2)

上的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)/(x)在上的最小值，即可求出”.

【詳解】

當(dāng)尤=()時(shí)，顯然不等式％+5皿兀之如C：05尤恒成立,

TT

當(dāng)X=7時(shí)，顯然不等式1+$皿12如以九1恒成立

2

,不、.,,%+sinx

當(dāng)XE0,不，由不等式x+sinxNmxcosx恒成立,有m<-，---%--￡--°，不在恒

xcosx\2)

成立,

人、x+sinx7i\x+x2sinx-sinxcosx

令/(x)=-------，°，彳貝Ij/(x)=

xcosxI2)(xcosx)2

令g(x)=x+x2sinx-sinxcosx,xe則

g'(x)=l+2xsinx+x2cosx-cos2x>0,

...g(x)在xe(o,1^上單調(diào)遞增，.??g(x)>g(0)=0,即/'(x)>0,

.?./(x)在上單調(diào)遞增，?.?當(dāng)xf0時(shí)，f(x)i2,

.?.當(dāng)時(shí)，/(x)>2恒成立，m<X+SinA,在恒成立,

I2)xcosxI2)

m<2,

因此正實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（0,2].

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立的問題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，得到新函數(shù)，利

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值，有一定綜合性，屬于基礎(chǔ)題.

13.3

【分析】

求出|司，以及二]，再利用向量投影的公式即可得到答案.

【詳解】

由題可得：同=2,21=3+3=6；

、＜——一G?ba?b

...3在:方向上的投影是：1口＜。5＜。,》＞=|》|——^=--=3.

ba|利|。|\a\

故答案為3.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量投影的定義以及計(jì)算，熟練掌握向量投影的公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14.150

【分析】

采用分步計(jì)數(shù)原理，首先將5人分成三組，計(jì)算出分組的方法，然后將三組進(jìn)行全排，即可

得到答案。

【詳解】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5人分成3組,

C'C'C^

若分為1、1、3的三組，有5尸=10種分組方法;

c；c：c二

若分為1、2、2的三組,15種分組方法；則有10+15=25種分組方法;

②，將分好的三組全排列，對應(yīng)選擇題、填空題和解答題3種題型，有A；=6種情況,

則有25x6=150種分派方法;

故答案為：150.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。

V2

ID.----

2

【解析】

設(shè)P(x,y),(x21),因?yàn)橹本€x-y+l=0平行于漸近線x-y=0,所以點(diǎn)隼到直線

案-，承樸』=服的距離恒大于直線％-y+1=0與漸近線x-y=0之間距離，因此c的最大值

1

為直線x—y+l=0與漸近線x-y=O之間距離,為7T=T-

考點(diǎn)：雙曲線漸近線，恒成立轉(zhuǎn)化

16.1+73

【分析】

sSS

根據(jù)等比的性質(zhì)可得-:管［==［型上,利用三角形的面積公式以及向量的乘

PB-PCPC-PAPA-PB

27r

法公式化簡，即可得到NAPB=NAPC=NBPC=y由此可得AR4B與APBC各個(gè)內(nèi)角

大小，利用正弦定理即可求得|^4|+|PB|+|PCj.

【詳解】

根據(jù)題意，AA8C中，AB=BC=6，AC=2,則AABC為等腰直角三角形；如圖:

SAPBC_S"CA__________S^BC____________n,.S"BC_S"CA_為孫久

->—>-->->——>—>TTfT，刻—>T—T—>—T—>

PB-PCPC-PAPA-PB+PB-PC+PC-PAPB-PCPC-PAPA-PB

即gIPAI-IPBIsinNAPBg|PA|?|PC|sinZAPC_11PC|?|PB|sinZCPB

\PA\-\PB\cosZAPB~\PA\-\PC\cosZAPC|PC||PB|cosZCPB

變形可得：tanZAPB=tanZAPC=tanZBPC,即NAPB:NAPONBPC,

又由NAPB+NAPC+ZBPC=2?，則ZAPB=ZAPC=ZBPC=一，

3

易得：APBC="BA,則PA=PC,

27rTC

在AE4c中，PA=PC且NAPC=*，AC=2,則NC4P=NAC尸=々，

36

APCPACc

則.乃=.乃=.2萬，解可得：|AP|=|PC|=2,

sin—sin—sin--1111?

663,

|PB||BC|

717171Tl-----------=-------------

在APBC,NPBC=—,NPCB=-------=一，則有.乃.2"，解可得:

44612sin——sin——

123

附=1一冬

則1PAi+|PB|+|Pq=1--+2x^=

1+G；

I3J3

故答案為1+J5

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積公式以及正弦定理在三角形中的應(yīng)用，有一定綜合性，屬于中檔題.

17.(1)a=-(“eN*)(2)證明見解析；

nn

【分析】

(1)2時(shí)，。］+勿2+3。3~*----F(n—1)an_x=H-1,相減驗(yàn)證得到答案.

(2)一一二］，根據(jù)裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到答案.

【詳解】

(1)數(shù)列｛〃〃｝滿足4+2%+3。3+…時(shí)廣〃①，

當(dāng)幾22時(shí)，4+2%+3/+???+(九-=九一1②，

①一②得：4?=’，當(dāng)〃=1時(shí)，q=l(首項(xiàng)符合通項(xiàng))，故：an=—(HGN*).

nn

1入1If11｝

(2)%=一，所以：2=為限=/C------7^，

n〃(九+2)2\nn+2y

T?=-1-----1---------1-----1------------

“2(324nn+2J

lfl_J___LLlf2_J___L

=2v1+2〃+ln+2)2(2n+1〃+2

由于|-113sl(311)1333

-----<-,n則］=-------------------<-x-=-<-

〃+1〃+222(2n+1n+2)2242

3

即4<]?

【點(diǎn)睛】

本題考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)

用.

18.（I）證明見解析；（II）逅

3

【解析】

試題分析：（I）先證BE_LOA|,BELOC,再可證BE_L平面A|OC,進(jìn)而可證CD_L

平面A|OC；（H）先建立空間直角坐標(biāo)系，再算出平面A|BC和平面AQD的法向量，進(jìn)

而可得平面A,BC與平面A,CD夾角的余弦值.

試題解析：（I）在圖1中，

71

因?yàn)锳B=BC=1,AD=2，E是AD的中點(diǎn)，ZBAD=-,所以BELAC

2

即在圖2中，BE10A,,BE10C

從而BE_L平面4。。

XCD//BE,所以CD_L平面A。。.

z

U)(A)

圖

x2?y

（II）由已知，平面ABE_L平面BCDE,又由（I）知，BE±0At,BE±OC

TT

所以NA。。為二面角A-BE-C的平面角，所以N4OC=5.

如圖，以0為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳B=4E=BC=ED=1,BC//ED

所以B(-^-,0,0),E｛——,0,0),A(0,0,C(0,,0),

得麻（-走，正,0）,AC（0,—.CD=BE=（-72,0,0）.

2222

設(shè)平面ABC的法向量1=（和y,zj,平面ACD的法向量后=（%,必*2），平面48（2與

平面4CD夾角為

n.■BC=0—x.+y.=0_

則｛二—,，得｛“八，取"=(1,1,1)，

々?年=0乂-4=0

?CD=0x=0-

2.，得｛2-八，取?=(o,u),

〃2工=0%-Z2=0

從而COS0=卜。5〈《,，%〉|=五=乎,

即平面ABC與平面ACD夾角的余弦值為旦.

3

考點(diǎn)：1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標(biāo)系；4、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.

r2

19.(1)—+/=1；(2)證明見解析.

4-

【分析】

（I）根據(jù)離心率為正，即9=走，AOAB的面積為1,即2嫡=：1,橢圓中#=球#/

2a2公

列方程組進(jìn)行求解；（H）根據(jù)已知條件分別求出忸困北|豳胤的值，求其乘積為定值.

【詳解】

(I)由題意得,￡通=］解得腐=式&=3..

所以橢圓q的方程為三口鏟=工

碟,

(H)由(I)知，魂用眼麴賦,

設(shè)翅物3；,則W丹聯(lián)=4

當(dāng)法?砥時(shí)，直線期的方程為解=解一⑨.

鼻_罷

令案=領(lǐng)，得般?=一一^,從而網(wǎng)蚪=|1一席1=1條

鼻一/

謬一工

直線要毓的方程為承=——富曙3.

令，=期,得5-Tj,從而網(wǎng)鄧F=4普

雄一工*—4

所以陶.［翻=怎為三^

展：7

町感:一町:一鷺鶴:外翳町』片_町：-第昨:年整

當(dāng)艱=醺時(shí),腮=T,隧卜滋忸闕=鬣

所以忸腳網(wǎng)典=4.

綜上，忸鯽悔您|為定值.

【考點(diǎn)】

橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、運(yùn)算求解能力.

【名師點(diǎn)睛】

解決定值、定點(diǎn)的方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、

定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過程中消去變量，從而得

到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思

想和消元思想的運(yùn)用可有效地簡化運(yùn)算.

117

20.(1)(2){XGTV*|6<x<16}

【分析】

(1)根據(jù)題意首先計(jì)算1天下午4點(diǎn)前的銷售量不少于450千克的概率，利用排列組合即

可計(jì)算未來3天中，至少有1天下午4點(diǎn)前的銷售量不少于450千克的概率；

(2)分別計(jì)算出購進(jìn)450千克與購進(jìn)500千克的利潤期望值，即可計(jì)算出X的范圍

【詳解】

3

(1)由題可得：1天下午4點(diǎn)前的銷售量不少于450千克的概率：P(x.450)=j

所以未來3天中，至少有1天下午4點(diǎn)前的銷售量不少于450千克的概率為：

117

T25

(2)購進(jìn)450千克時(shí)利潤期望為：

331

450x3x1+(400x3-50x2)x-^+(350x3-100x2)x—=1225,

購進(jìn)500千克時(shí)利潤期望為：

1Q_x3125X

500x3x-^—X^+(450x3-50x2)x—+(400x3-100x2)x—+(350x3-150x2)x—=1275--

303010103

1225>1275-----,解得x〉6,又x+y=16,x,yGN*,6<x<16,xeN*.

3

.??X的取值范圍是{xeN*16Vx<16}.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的計(jì)算以及期望的計(jì)算，考查學(xué)生的邏輯思維能力、計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

乃2

21.(1)Jfi\x'/}mm.=—4(2)證明見解析；

【分析】

⑴判斷函數(shù)為偶函數(shù)，求導(dǎo)得到_f(x)=2x—乃sinx,計(jì)算得到“X)單

減，xe/(x)單增，得到最小值.

(2)只需證明七強(qiáng)<1,構(gòu)造函數(shù)/(力=/(%)-/(萬一1),確定函數(shù)單調(diào)遞增，故

/(玉)</(乃一玉)，即/(w)<