拓展專題3極值點(diǎn)偏移問題（教師版）

拓展專題3極值點(diǎn)偏移問題極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對稱性，極值點(diǎn)偏移問題常出現(xiàn)在高考壓軸題中，這類問題往往思維要求高，過程較為繁瑣，計算量較大，學(xué)生往往寫幾步就寫不下去了，實(shí)際上解決極值點(diǎn)偏移問題，有三大法寶：其一是：構(gòu)造極值對稱差函數(shù)法；其二是：消元構(gòu)造一元函數(shù)法；其三是：利用指數(shù)、對數(shù)平均不等式。三者各有千秋，獨(dú)具各色.極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對稱性，極值點(diǎn)偏移問題常出現(xiàn)在高考壓軸題中，這類問題往往思維要求高，過程較為繁瑣，計算量較大，學(xué)生往往寫幾步就寫不下去了，實(shí)際上解決極值點(diǎn)偏移問題，有三大法寶：其一是：構(gòu)造極值對稱差函數(shù)法；其二是：消元構(gòu)造一元函數(shù)法；其三是：利用指數(shù)、對數(shù)平均不等式。三者各有千秋，獨(dú)具各色.——江蘇省清江中學(xué)高級教師崔緒春探究1：構(gòu)造極值對稱差函數(shù)【典例剖析】例1.(2022·江蘇省連云港市期末)已知函數(shù)f(x)=lnx+2ax(1)若a=2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)有兩個不相等的零點(diǎn)x1，x2，證明：選題意圖:選題意圖:極值點(diǎn)偏移問題，以導(dǎo)數(shù)為背景，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，思維跨度大、問題多變的特點(diǎn).構(gòu)造對稱差函數(shù)是解決此類問題的常見方法，本題第（2）問采用該方法，幫助梳理思路并掌握解題方法.思維引導(dǎo)：第（2）問結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，得到零點(diǎn)x1,x2的范圍；分析要證不等式x1+x【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

當(dāng)a=2時，f(x)=lnx+4x-2，則f'(x)=1x-4x2=x-4x2，

令f'(x)>0，得x>4，令f'(x)<0，得0<x<4，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4)；

(2)f'(x)=1x-2ax2=x-2ax2，

當(dāng)a≤0時，f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立，故函數(shù)f(x)不可能有兩個不相等的零點(diǎn)，

當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2a)上單調(diào)遞減，

若函數(shù)f(x)有兩個不相等的零點(diǎn)x1，x2，則f(x1)=f(x2)，

不妨設(shè)0<x1<2a<x2，

設(shè)F(x)=f(x)-f(4a-x)，0<x<2a，

則F(x)=lnx+2ax-ln【變式訓(xùn)練】練11(2022·江西省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ln(1)證明：f(x+1)≤x.(2)若函數(shù)h(x)=2xf(x)，若存在x1<x2使【解析】(1)證明：令g(x)=f(x+1)-x=ln(x+1)-x，x>-1，g'(x)=-xx+1，

令g'(x)>0，解得：-1<x<0；令g'(x)<0，解得：x>0，

∴g(x)在-1,0上遞增，在(0,+∞)上遞減，則g(x)max=g(0)=0，

∴g(x)≤0恒成立，即ln(x+1)≤x．

(2)∵h(yuǎn)(x)=2xlnxx>0，∴h'(x)=2lnx+2，

令h'(x)>0，解得：x>1e；令h'(x)<0，解得：0<x<1e；

∴h(x)在(1e,+∞)上遞增，在0,1e上遞減．

又∵h(yuǎn)(1e)=-2e，h(1)=0，?x1<x2，h(x1)=h(x2)，且0<x1<1e練12(2022·山東省模擬)已知函數(shù)f(x)=2ex+ax-1．

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)從下列兩個選項(xiàng)中任選一個求解：

①當(dāng)a=3時，設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+x3-x2，若x1+x2【解析】(1)f'(x)=2ex+a，

當(dāng)a≥0時，f'(x)>0，f(x)在R上單調(diào)遞增;

當(dāng)a<0時，令f'(x)=0，解得x=ln(-a2)，

所以當(dāng)x∈(-∞,ln(-a2))時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(ln(-a2),+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

綜上：當(dāng)a≥0時，f(x)在R上單調(diào)遞增;

當(dāng)a<0時f(x)在(-∞,ln(-a2))上單調(diào)遞減，在(ln(-a2),+∞)單調(diào)遞增．

(2)選=1\*GB3①:由(1)知g(x)=2ex+x3-x2+3x-1，

所以g'(x)=2ex+3x2-2x+3=2ex+3(x-13)2+83>0，

所以g(x)在R上單調(diào)遞增．

令F(x)=g(x)+g(-x)=2(ex+e-x-x2-1)，

所以F'(x)=2(ex-e-x-2x)

令G(x)=ex-e-x-2x，

則G'(x)=ex+e-x-2≥2ex?e-x-2=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，

所以G(x)在R上單調(diào)遞增，而G(0)=0，

所以當(dāng)x<0時，F(xiàn)'(x)=2G(x)<0;

當(dāng)x>0時，F(xiàn)'(x)=2G(x)>0，

所以F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以F(x)min=F(0)=2，于是得?x∈R，g(x)+g(-x)≥2，

由x1+x2≥0得x1≥-x2，于是得g(x1)≥g(-x【規(guī)律方法】構(gòu)造對稱差函數(shù)是極值點(diǎn)偏移問題的一種通性解法,主要用來解決兩數(shù)和或者積與極值點(diǎn)相關(guān)的不等式證明問題.對于此類問題一般的求解思路是將兩個變量分到不等式的兩側(cè),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,通過兩個變量之間的關(guān)系“減元”,建立新函數(shù),最終將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性來求解.例：已知函數(shù)fx滿足fx1=fx2(x1<x2),求證:x1+x2>2x0

(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,求出極值點(diǎn),確定x1<x0<x2;

(2)構(gòu)造函gx=fx-f2x0-x,x<x0,注意gx0=0;

(3)求函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x),確定g(x)探究2：消元構(gòu)造一元函數(shù)【典例剖析】例2.(2022·遼寧省沈陽市月考)已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx在定義域內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)x=1\*GB3①求a的取值范圍；=2\*GB3②證明：x1+x2選題意圖：選題意圖：極值點(diǎn)偏移問題，有時構(gòu)造對稱差函數(shù)涉及極限問題，該題可考慮消參減元，其中比差值換元是另一常見的方法，構(gòu)造一元函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性.數(shù)，思維引導(dǎo)：第=2\*GB3②問，通過fx1=0,fx2=0消去待證不等式中的參數(shù)a，變形使不等式中出現(xiàn)x1x【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=2ax-1x=2ax2-1x，

當(dāng)a≤0時，f'(x)<0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)：

當(dāng)a>0時，令f'(x)=0，得x=2a2a，

x∈(0,2a2a)時，f'(x)<0，f(x)在(0,2a2a)上單調(diào)遞減;

x∈(2a2a,+∞)時，f'(x)>0，f(x)在(2a2a,+∞)上單調(diào)遞增，

故x=2a2a時，f(x)取得極小值，

綜上，當(dāng)a≤0時，f(x)無極值點(diǎn);當(dāng)a>0時，f(x)有一個極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn);

(2)=1\*GB3①由題意，方程ax2-lnx+1=0在(0,+∞)有兩個不等實(shí)根，

即a=lnx-1x2在(0,+∞)有兩個不等實(shí)根，

設(shè)g(x)=lnx-1x2，x∈(0,+∞)，過點(diǎn)(e,0)，則g'(x)=3-2lnx=2\*GB3②不妨設(shè)0<x1<x2，

由已知得，ax12-lnx1+1=0，ax22-lnx2+1=0，

兩式相減得，a=lnx1-lnx2x12-x22，

要證x1+x2>2aa，只需證(x1+x2)2>2【變式訓(xùn)練】練21(2022·廣東省聯(lián)考)已知f(x)=-12x(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為1，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知h(x)=f(x)-g(x)的兩個零點(diǎn)為x1，x2(x1<x【解析】(1)由f'(x)=-x+m，得f'(1)=-1+m=1，解得m=2，

所以g(x)=12x2+2x-2lnx，定義域?yàn)?0,+∞)，

則g'(x)=x+2-2x=x2+2x-2x，令g'(x)=0，則x=3-1或x=-3-1(舍)，

當(dāng)x∈(0,3-1)時，g'(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(3-1,+∞)時，g'(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3-1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(3-1,+∞).

(2)h(x)=f(x)-g(x)=-x2+mlnx，定義域?yàn)?0,+∞)，則h'(x)=-2x+mx=m-2x2x，

若m≤0時，則h'(x)<0，所以h(x)單調(diào)遞減，無極值，不滿足題意．

當(dāng)m>0時，

令h'(x)=m-2x2x=0，得x0=m2，

當(dāng)x∈(0,m2)，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(m2,+∞)，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，

要使h(x)有兩個零點(diǎn)，需滿足h(m練22(2022·重慶市模擬)x1和x2是關(guān)于x(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若x2-x【解析】(1)當(dāng)x-aex+2=0，即a=x+2ex，

設(shè)f(x)=x+2ex，則f'(x)=-(x+1)ex，

當(dāng)x<-1時，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,-1)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>-1時，f'(x)<0，所以f(x)在(-1,+∞)單調(diào)遞減，

故x=-1時，f(x)取得最大值f(-1)=e，

又x→-∞時，f(x)→-∞，

當(dāng)x>-1時，f(x)>0，且當(dāng)x→+∞時，f(x)=x+2ex→0，

所以由關(guān)于x的方程x-aex+2=0有兩個不同的實(shí)數(shù)根，可得0<a<e．

(2)設(shè)x=lnt，則lnt-at+2=0．

∵x2-x1≥ln2?lnt2-lnt1≥ln2?lnt2【規(guī)律方法】消元構(gòu)造一元函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移的另一種簡單快捷的方法.利用兩數(shù)之比(差)作為變量t,繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)問題求解,將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題,從而實(shí)現(xiàn)消元的目的.例：已知函數(shù)fx=ex-ax有兩個零點(diǎn)分別為x1,x2,若a∈e,+∞,定關(guān)系：利用方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)消去參數(shù)，建立x1,x換元：引入新變量t=x2x1,證明x1+x2構(gòu)造函數(shù)求解：構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)，ht=lnt-2t-1t+1探究3：利用對數(shù)平均不等式【典例剖析】例3.(2021·江西省南昌市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ln2x-x+mlnx有兩個極值點(diǎn)x1，x2.

(1)選題意圖：選題意圖：應(yīng)用對數(shù)平均不等式鏈來證明雙變量不等式，思路簡捷，但要注意先證后用，根據(jù)證明需要合理選取其中一個，完成證明.思維引導(dǎo)：第（2）問給出了2種解法，方法一證明不等式x1-x2【解析】(1)f'(x)=2xlnx-1+mx=2lnx-x+mx(x>0)，

函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)，就是f'(x)有兩個零點(diǎn)，

令g(x)=2lnx-x+m(x>0)，f'(x)有兩個零點(diǎn)等價于g(x)(x>0)有兩個零點(diǎn)，

而g'(x)=2x-1=2-xx，

故g(x)在(0,2)上遞增，在(2,+∞)上遞減，

所以g(x)max=g(2)=2ln2+m-2>0，

所以m>2-2ln2，又當(dāng)x趨向于0或x趨向于正無窮時，g(x)趨向于負(fù)無窮，符合g(x)有兩個零點(diǎn)，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈(2-2ln2,+∞)；

(2)法一：先證：x1-x2lnx1-lnx2>x1x2，

不妨令x1>x2，即證：lnx1-lnx2<x1-x2x1x2=x1x2-x2x1，

再令x【變式訓(xùn)練】練31(2021·四川省成都市模擬)已知函數(shù)f(x)=2x-alnx+4a，(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)令g(x)=f(x)-sinx，若存在x1,x2∈(0,+∞)【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，則f'(x)=2-ax=2x-ax，當(dāng)a>0時，由f'(x)>0得x>a2，

由f'(x)<0得∴當(dāng)a≤0時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，f(x)在(0,a2)上單調(diào)遞減，在(a2,+∞)∵g(x1)=g(∴a(ln令h(x)=x-sinx，則h'(x)=1-cosx≥0，不妨設(shè)x1>x2>0∴-(sinx1∴a(lnx1-下面證明x1即證明x1x2-1lnx1x2>x1x2，令t=x1所以x1x2∴a>x1x2

即練32(2021·廣東省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=(a+2)lnx+2x-ax(a∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a<-2時，若x1，x2【解析】(1)f'(x)=a+2=1\*GB3①當(dāng)a≤0時，ax-2<0，由f'(x)<0，得0<x<1；由f'(x)>0，得x>1，

f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞)；=2\*GB3②當(dāng)0<a<2時，由f'(x)<0，得0<x<1或x>2a；由f'(x)>0，得1<x<2a，

f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1),(2a=3\*GB3③當(dāng)a=2時，f'(x)=-2(x-1)2x2≤0，

f(x)=4\*GB3④當(dāng)a>2時，由f'(x)<0，得0<x<2a或x>1，由f'(x)>0，得2a<x<1，

f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,2a),(1,+∞)，單調(diào)增區(qū)間為(2a,1)．

綜上：當(dāng)a≤0時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞)；

當(dāng)0<a<2時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1),(2a,+∞)，單調(diào)增區(qū)間為(1,2a)；

當(dāng)a=2時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+∞)，無單調(diào)增區(qū)間；

當(dāng)a>2時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,2a),(1,+∞)，單調(diào)增區(qū)間為(2a,1)