泰勒展開式經(jīng)典

泰勒展開式1.在這里面Rn(x)叫做拉格朗日余項(xiàng).其實(shí)這里面泰勒公式的本質(zhì)就是近似，也就是對于任意一個函數(shù)F(x)在x=x0處都可以近似于一個常數(shù)乘以冪函數(shù)作和來表示，但只要是近似就一定會有誤差，泰勒展開項(xiàng)越多，誤差就越小，而拉格朗日余項(xiàng)又表示泰勒展開與原式之間的誤差，所以誤差越小，拉格朗日余項(xiàng)就越趨近于0。

2.當(dāng)F(x)在x=0處展開泰勒公式時得到麥克勞林公式：

當(dāng)x→0時，Rn(x)是關(guān)于x^n的高階無窮小，所以當(dāng)｜x｜特別特別小的時候，拉格朗日余項(xiàng)又可以表示為：Rn(x)=o(x＾n)，我們把o(x＾n)稱為佩亞諾余項(xiàng)

3.那么到底如何去求一個函數(shù)的泰勒展開式呢？我們以題為例：

①首先要求出函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).②再把x=0代入進(jìn)去.注：不同函數(shù)有不同的規(guī)律，在這里面當(dāng)sinx導(dǎo)數(shù)為偶次階導(dǎo)數(shù)時，結(jié)果都為零。所以只需找出奇次階導(dǎo)數(shù)規(guī)律即可，由于正常情況下的最后一個導(dǎo)數(shù)是n階的，無法確定奇偶性，為了體現(xiàn)規(guī)律性，我們一般最后一個取到2m＋1或2m-1，具體用哪個只要和項(xiàng)數(shù)對應(yīng)起來即可.我這里面是取到2m-1，因?yàn)椴凰鉬(0)這項(xiàng)的話m=1時正好是第一項(xiàng)，x的冪數(shù)也是一又正好對應(yīng)著一階導(dǎo)數(shù)，分母又正好是1的階乘.③最后把這些導(dǎo)數(shù)帶入到麥克勞林公式中.

這里面最后sin中的θx看作一個銳角而(2m+1)/2一定是奇數(shù)，所以一定能變成cosθx，而系數(shù)取前幾項(xiàng)即可找出規(guī)律.

到此一個函數(shù)的泰勒展開過程結(jié)束

4.下面給出常用的泰勒公式

——圖片來自數(shù)分老師的學(xué)習(xí)通ppt

通過觀察你會發(fā)現(xiàn)，他們各自的前幾項(xiàng)不就是我們之前學(xué)過的等價無窮小嗎？他和泰勒公式展開有什么聯(lián)系呢？5.等價無窮小與泰勒展開的關(guān)系：①等價無窮小相比泰勒公式計算更簡單一些，同樣是近似于f(x)但相比泰勒公式展開誤差會更大一些.②高階＋低階~低階什么意思呢？我們以e＾x的泰勒展開為例：首先要看等號右邊，除了1以外都是無窮小，這里面x是最低階的無窮小，剩下都可以看作高階無窮小，所以高階加低階就等價于低階，也就是e＾x~1+x(前提是x→0)

6.利用泰勒公式求極限：(用帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式)這類題的規(guī)律就是，把分子除了冪函數(shù)以外的地方分別泰勒展開，看他的分母中x的冪的次數(shù)，次數(shù)是n就把泰勒展開到第n＋1項(xiàng)，因?yàn)樽钋斑呌幸豁?xiàng)是f(0)

①分別求出e＾x和sinx的一到三階導(dǎo)數(shù)②因?yàn)閤→0，即在x=0處的泰勒展開，所以