《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第40課 微分方程的應(yīng)用

第40課微分方程的應(yīng)用課題微分方程的應(yīng)用課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：1．掌握用微分方程解決實(shí)際問題的方法2．掌握用MATLAB求解微分方程的方法思政育人目標(biāo)：通過利用微分方程解決實(shí)際問題，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是源于生活的，是對實(shí)際問題的抽象產(chǎn)生的，不是脫離實(shí)際生活的；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識，達(dá)到學(xué)以致用的目的教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：微分方程的建立教學(xué)難點(diǎn)：微分方程的建立教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→復(fù)習(xí)（10min）→講授新課（33min）第二節(jié)課：講授新課（15min）→課堂測驗(yàn)（15min）→數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（12min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問答題：用微分方程能夠解決哪些實(shí)際問題？【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況復(fù)習(xí)（10min）【教師】提前設(shè)計(jì)好復(fù)習(xí)題目，并針對學(xué)生存在的問題及時(shí)講解【學(xué)生】做復(fù)習(xí)題目復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，為講授新課打好基礎(chǔ)講授新課（33min）【教師】講解數(shù)學(xué)建模的概念和作用數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段．?dāng)?shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程．這里的“實(shí)際現(xiàn)象”既包含具體的自然現(xiàn)象（如自由落體現(xiàn)象），也包含抽象的現(xiàn)象（如顧客對某種商品所取的價(jià)值傾向）．這里的“描述”不但包括外在形態(tài)和內(nèi)在機(jī)制的描述，也包括預(yù)測、試驗(yàn)和解釋實(shí)際現(xiàn)象等內(nèi)容的描述．?dāng)?shù)學(xué)模型就是對實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)表述．【教師】通過案例，講解微分方程在冷卻模型中的應(yīng)用例1假設(shè)一高溫物體在冷卻劑中均勻冷卻，其介質(zhì)（冷卻劑）溫度始終保持為10℃，物體的初始溫度為200℃，且由200℃冷卻到100℃需要40s．已知冷卻定律：冷卻速率與物體和介質(zhì)的溫度差成正比．試建立物體溫度變化的數(shù)學(xué)模型，并求出物體溫度降到20℃所需的時(shí)間例1解設(shè)物體溫度為，它是時(shí)間t的函數(shù)，則物體的冷卻速率就是溫度對時(shí)間t的變化率，即．因此，由冷卻定律可得應(yīng)滿足的微分方程為，其中比例系數(shù)．由于物體在冷卻中降溫，因此溫度變化率為負(fù)，上式右端有負(fù)號．此外，由題意知所滿足的初始條件為，于是，初值問題為解此初值問題，得特解．下面由題意確定比例系數(shù)k．因?yàn)樵撐矬w由200℃冷卻到100℃需要40s，即，解得，從而得物體溫度θ變化的數(shù)學(xué)模型為．由上式可見，物體的冷卻是按指數(shù)規(guī)律變化的．當(dāng)t增加時(shí)，溫度開始時(shí)下降得比較快，以后逐漸變慢而趨于環(huán)境溫度．將代入上式得，即物體溫度降到20℃大約需要2分38秒．【教師】通過案例，講解微分方程在振動模型中的應(yīng)用振動是生活與工程中的常見現(xiàn)象，研究振動規(guī)律有著極其重要的意義．在自然界中，許多振動現(xiàn)象都可以抽象為下述振動問題．例2設(shè)有一個(gè)彈簧，它的上端固定，下端掛一個(gè)質(zhì)量為m例2圖7-2解當(dāng)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，作用在物體上的重力與彈性力的大小相等、方向相反，這個(gè)位置就是物體的平衡位置，如圖7-2所示，取x軸垂直向下，并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)．圖7-2如果使物體具有一個(gè)初速度，那么物體便離開平衡位置，并在平衡位置附近上下振動．在振動過程中，物體的位置x隨時(shí)間t變化，即x是t的函數(shù)．要確定物體的振動規(guī)律，就是要求出函數(shù)．由力學(xué)知道，彈簧使物體回到平衡位置的彈性恢復(fù)力f和物體離開平衡位置的位移x成正比，即有．其中，c為彈簧的彈性系數(shù)，負(fù)號表示彈性恢復(fù)力的方向和物體的位移方向相反．另外，物體在運(yùn)動過程中還受到阻尼介質(zhì)（如空氣、油等）的阻力作用，以致振動逐漸趨于停止．由實(shí)驗(yàn)知道，阻力R總與運(yùn)動方向相反，當(dāng)振動不大時(shí)，其大小與物體運(yùn)動的速度成正比，設(shè)比例系數(shù)為，則有．根據(jù)上述關(guān)于物體受力情況的分析，由牛頓第二定律得，移項(xiàng)，并設(shè)，，則上式化為．這就是在有阻尼的情況下物體自由振動的微分方程．若物體在振動過程中還受到垂直阻力的作用，則，其中．這就是強(qiáng)迫振動的微分方程．【學(xué)生】掌握微分方程在物體冷卻和物體振動問題中的應(yīng)用學(xué)習(xí)微分方程在物體冷卻和物體振動問題中的應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課講授新課（15min）【教師】通過案例，講解微分方程在人口模型中的應(yīng)用例318世紀(jì)末，英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯在研究了百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料后例3解設(shè)時(shí)刻t的人口為，凈相對增長率為r，把當(dāng)作連續(xù)變量考慮，按照馬爾薩斯的假設(shè)，在t到時(shí)間內(nèi)人口的增長量為．設(shè)時(shí)的人口為，于是即為馬爾薩斯的人口模型，用分離變量法求出其解為．若，則此式表明人口將以指數(shù)規(guī)律增長．特別地，當(dāng)時(shí)，，這似乎不太可能．這個(gè)模型與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)恰好吻合，但是當(dāng)后來人們用它與19世紀(jì)的美國人口資料比較時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)了相當(dāng)大的差異．分析表明，上述現(xiàn)象的主要原因是隨著人口的增長，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著．人口較少時(shí)，人口的自然增長率基本上是常數(shù)，而當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后，這個(gè)增長率就會隨著人口的增長而減少，因此應(yīng)對指數(shù)模型中關(guān)于凈相對增長率為常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改．【學(xué)生】掌握微分方程在人口問題中的應(yīng)用學(xué)習(xí)微分方程在人口問題中的應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)（15min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試。【教師】從教材配套題庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目的正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（12min）?使用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)【教師】演示用MATLAB求解微分方程在MATLAB中使用dsolve函數(shù)求解微分方程，其調(diào)用格式為y=dsolve('微分方程','初始條件','自變量')注：（1）利用dsolve函數(shù)求解微分方程只能用字符串方式表示，自變量缺省值為t；（2）一階導(dǎo)數(shù)用D表示，二階導(dǎo)數(shù)用D2表示，以此類推；（3）所求的是方例1求微分方程．例1解在命令窗口輸入：>>y=dsolve('Dy=2*y+3','x')按回車，輸出結(jié)果為y=-3/2+exp(2*x)*C1%無初始條件時(shí)得到的是通解，即例2求微分方程，．例2解在命令窗口輸入：>>y=dsolve('Dy=y-2*t/y','y(0)=1')按回車，輸出結(jié)果為y=(2*t+1)^(1/2)%有初始條件時(shí)得到的是特解，即【學(xué)生】觀看、聆聽、記錄、思考通過演示使用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家掌握了利用數(shù)學(xué)建模，用微分方程解決實(shí)際問題的方法，以及用MATLAB求解微分方程的方法，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題7-4、復(fù)習(xí)題七、用MATLAB求解微分方程總結(jié)知識點(diǎn)，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺上