專題8.1復數的概念及運算(學生版)

專題8.1復數的概念及運算1.復數的有關概念名稱含義復數的定義形如a＋bi(a,b∈R)的數叫復數，復數的分類=1\*GB3①若b=0，則a＋bi為實數；=2\*GB3②若b≠0，則a＋bi為虛數；=3\*GB3③若a=0且b≠0，則a＋bi為純虛數．復數集全體復數所構成的集合，即C復數相等a復數間的關系復數不能比較大小，若復數z1>z2復數的模設OZ對應的復數為z=a+bi，則向量OZ的長度叫作復數即z復數z的共軛復數zz1=a+bi與z2=c+di2.復數的幾何意義(1)復平面:建立平面直角坐標系來表示復數的平面叫作復平面,x軸叫作實軸,y軸叫作虛軸.如圖所示：(2)復數概念的幾何意義復數集C和復平面內所有的點組成的集合是一一對應的，復數集C與復平面內所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應的.如圖所示：(2)復數運算的幾何意義若復數z1=a+bi,O為坐標原點,若OZ1,則復數z1+z2是以OZ復數z1-z2(3)從幾何意義理解復數的模若復數z1=a+bi,則z=a2+b2表示點Za,b到原點的距離，=4\*GB2⑷兩個復數的差的模z1-z2設復數z1=a+bi,=1\*GB3①z1-z2==2\*GB3②設復數z對應的點是點Z，=1\*ROMANI.若z-z1=r，則點Z的軌跡為圓；=2\*ROMANII.若r1<z-z1<r2=3\*ROMANIII.若z-z1=z-z2，則=4\*ROMANIV.若z-z1+z-z2=常數，則當常數大于AB時，點Z的軌跡為橢圓；當常數等于AB時，點Z的軌跡為線段；當常數小于AB=5\*ROMANV.若z-z1-z-z2=常數，則當常數大于AB3.復數的四則運算設z1運算法則運算公式復數的運算律加法z加法交換律:z加法結合律:z減法z乘法z乘法交換律:z乘法結合律:z乘法分配律:z除法z【重要結論】1.復數的模與共軛復數的關系：z?z2.i的乘方具有周期性：in3.利用復數相等a+bi=c+di列方程時，注意a,b,c,d∈R4.解決復數模問題常用結論：z=1.【人教A版必修二習題第8題P74】復數z∈C，在復平面內z對應的點Z，滿足1≤|z-11+i|≤2，則點Z所在區(qū)域的面積A.π B.2π C.3π D.4π2.【人教A版必修二復習參考題7第9題P95】復數z1=3-4i，z2=cos2x-isin2x，則A.2 B.3 C.4 D.5考點一考點一復數的基本概念【方法儲備】復數概念問題的解題方法：=1\*GB2⑴求一個復數的實部與虛部：將已知的復數化為代數形式z=a＋bi(a，b=2\*GB2⑵求一個復數的共軛復數：將已知的復數化為代數形式z=a＋bi(a=3\*GB2⑶復數的分類及對應點的位置問題：將已知的復數化為代數形式z=a＋bi(a，b∈R【典例精講】例1.(2023·上海市市轄區(qū)模擬)(sinθ-35)+(cosθ-45)i是純虛數，則例2.(2023·山東省青島市月考)復數z=a+i2-i(i為虛數單位)的共軛復數在復平面內對應的點在第三象限，則實數a的取值范圍是A.-∞,-2 B.-12,2 C.【拓展提升】練11(2023·陜西省西安市月考)已知復數z=1-2sin23+i?cos6?tan6，現有如下說法：①|z|=1;②復數zA.3 B.2 C.1 D.0練12(2023·廣東省肇慶市期中)（多選）已知復數z=(m2-1)+(m-A.若m=0，則共軛復數z=1-3i B.若復數z=2，則m=3

C.若復數z為純虛數，則考點二考點二復數的運算【方法儲備】1.復數代數形式運算問題的解題策略=1\*GB2⑴復數的加減法：在進行復數的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算即可.=2\*GB2⑵復數的乘法：復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.=3\*GB2⑶復數的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.2.復數相等：實部、虛部分別對應相等,列方程組求參數.3.常用結論①1±i2=±2i；②1+i1-i=i；③1-i1+i=-i；④a+bii4.復數范圍內解方程(1)在只含有z的方程中,z類似于代數方程中的x,可直接求解.(2)在含有z,z,|z|中至少兩個的復數方程中,可設z=a＋bi(【典例精講】

例3.(2023·安徽省安慶市月考)設i為虛數單位，若(1+i)n=(1-i)n，則nA.2020 B.2022 C.2024 D.2026例4.(2023·湖南省婁底市模擬)已知復數z1，z2是方程x2+x+1=0的兩個根，則z2A.-1 B.1 C.-2 D.0例5.(2023·湖北省黃岡市模擬)設復數z滿足(1+2i)z+(1-2i)z=4(1-2i)z+(1+2i)z=6A.12 B.-12 C.【拓展提升】練21(2023·云南省昆明市模擬)已知z=7-4i(1-i)2+i2023A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限練22(2023·遼寧省沈陽市期末)（多選）已知復數z1=a2-1+ai，z2=1+a-1A.z1=13 B.z1z考點三考點三復數的幾何意義【方法儲備】復數的何意義體現數形結合思想,考查復數的坐標表示、復數在復平面內對應點的位置、復數運算及模的最值問題等；復數加法、減法的幾何意義可按平面向量加法、減法理解,利用平行四邊形法則或三角形法則解決問題.對復數幾何意義的考查往往以復數的運算為載體,解法如下：=1\*GB2⑴進行復數運算,將復數化為標準形式；=2\*GB2⑵把復數問題轉化為復平面內的點之間的關系問題,依據是復數z=a+bia,b∈R與復平面上的點a,b一一對應,建立復數的實部與虛部應滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解.【典例精講】例6.(2023·安徽省合肥市聯考)在復平面內，O是原點，已知復數z1=-1+2i，z2=1-i，z3=3-2i，它們所對應的點分別是A，B，C，若OC→例7.(2023·重慶市聯考)若復數z滿足z-2-3i=5，則復數z的共軛復數不可能為(

)A.2+8i B.-2-6i C.5+i D.5-7i例8.(2023·江蘇省徐州市月考)已知z1為復數，且z1=2，則|z1【拓展提升】練31(2023·江蘇省南通市模擬)已知復數z的實部和虛部均為整數，則滿足|z-1|≤|zz|的復數z的個數為(

)A.2 B.3 C.4 D.5練32(2023·北京市模擬)為求方程x5-1=0的虛根，可把原式變形為(x-1)(x2+ax+1)(x21.(2023·安徽省淮南市月考)（多選）已知a,b∈R，復數z1=(1-i)a，A.z1≥2，z2≥2

B.若a=2，b=3時，z1z2=422.(2023·河北省衡水市模擬)復數z=a+bia,b∈R且a,b≠0.若|1z-1|=2，則的值與aA.z+13 B.z+12【答案解析】1.【人教A版必修二習題第8題P74】解：11+i=1-i(1+i)(1-i)=1-i2=12-12i，

|z-11+i|=1，22.【人教A版必修二復習參考題7第9題P95】解：因為z1=3-4i，z2=cos2x-isin2x，

則z1z2例1.解：∵(sinθ-35)+(cosθ-45)i是純虛數，

則sinθ-35=0cosθ-45例2.解：由題意，復數

z=a+i2-i=a+i2+i2-i又由

z

在復平面內對應的點在第三象限，所以

2a-15<0,-2+a5<0

即實數

a

的取值范圍是

(-2,12)

練11.解：依題意，z=1-2sin23+i?cos6?tan6=cos6+i?sin6，

|z|=cos26+sin26=1，故①正確;

復數z的實部為cos6，為正數，練12.解：對于A，m=0時，z=-1+3i，則z對于B，若復數z=2，則滿足m2-1=2(m-3對于C，若復數z為純虛數，則滿足m2-1=0(m-3對于D，若m=0，則z=-1+3i，4+2z+z2=4+2(-1+

例3.解：∵(1+i)2=1+2i-1=2i，(1-i)2=1-2i-1=-2i，

∴(1+i)n=[(1+i)2]n例4.解：因為復數z1，z2是方程x2+x+1=0的兩個根，

所以z1+z2=-1例5.解：設z=a+bi(a,b∈R)，則z=a-bi，

由題意(1+2i)(a+bi)+(1-2i)(a-bi)=4(1-2i)(a+bi)+(1+2i)(a-bi)=6，

可得2a-4b=42a+4b=6?a=52b=練21.解：依題意，z=7-4i(1-i)2+i練22.解：因為z1=a2-1+ai，z2=1+(a-1)i(a∈R)，所以z1-2z2=a2-3+2-ai，

因為z1-2z2為實數，所以2-a=0，a=2，

所以z1=3+2i，z2=1+i，

所以|z1例6.解：∵復數z1=-1+2i，z2=1-i，z3=3-2i，

它們所對應的點分別為A，B，C，

∴A(-1,2)，B(1,-1)，C(3,-2)，

∵OC=xOA+yOB，

∴(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1)，

∴-x+y=3，2x-y=-2，例7.解：設z=a+bi，因為復數z滿足z-2-3i=5，則有a-22+b-32=25①，

對于A：若復數z的共軛復數為2+8i，則z=2-8i，故a=2，b=-8，不符合①式，故A錯；

對于B：若復數z的共軛復數為-2-6i，則z=-2+6i，故a=-2，b=6，符合①式，

對于C：若復數z的共軛復數為5+i，則z=5-i，故a=5，b=-1，符合①式，

對于D：若復數z的共軛復數為5-7i，則z=5+7i，故a=5，例8.解：設復數z1=x+yi(x,y∈R)，

則|z1|=x2+y2=2，

即x2+y2=4，

故復數z1練31.解：設z=a+bi(a,b∈Z)，則z=a-bi，|z-1|=所以(a-1)2+b2≤1.

法一：因為(a-1)2≥0，所以b2≤1，即-1≤b≤1.

當b=±1時，a-1=0，即a=1，有兩組滿足條件但a=0，b=0時z=0，不符合題意，

故選C．

法二：如圖，可轉化為研究圓面(a-1)2+b2≤1內(包括邊界)的整點個數.圓面包括的整點分別

為(0,0)，(1,0)，(2,0)，(1,1)，(1,-1)，而(0,0)不適合z≠0，則符合題意的整點共有練32.解：(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)

=(x-1)[x4+(a+b)x3+(2+