2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)題匯編03 圓錐曲線與方程（難點）（解析版）

專題03圓錐曲線與方程（難點）

一、單選題

1.（2021?玉林市育才中學(xué)高二期中（文））已知a>b>0,橢圓G的方程為1+耳=1,雙曲線C?的方程為

a"b~

G與c?的離心率之積為乎，則c?的漸近線方程為（）

A.x±&y=0B.y/2x+y=0C.x+2y=0D.2x±y=0

【答案】A

【分析】

求出橢圓與雙曲線的離心率，然后推出°、b關(guān)系，即可求解雙曲線的漸近線方程.

【解析】

因為a>6>0,橢圓G的方程為K記=1,

所以橢圓G的離心率為止三

22

因為雙曲線G的方程為"自，

所以雙曲線c?的離心率為也*i.

a

因為G與G的離心率之積為無，

2

所以5一萬.=3,解得：（2丫=_L,所以2=±也,

aa2ya）2a2

所以C2的漸近線方程為：x±V2y=0.

故選：A

2.（2020?渝中區(qū)?重慶巴蜀中學(xué)高三期中（理））已知拋物線。：￥2=2〃X（〃>0）的焦點為下，點

時（%,0）（司>9是拋物線（7上一點，以點M為圓心的圓與直線x=號交于E,G兩點，若sinNMFG=；,

則拋物線C的方程是（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y1=8x

【答案】B

【分析】

由點M在拋物線上及sin尸G=g建立方程組，解出p即可.

【解析】

如圖示：作M?；谽G,垂足為D,

加卜。,0),[%＞與)在拋物線上，則2=20/①

山拋物線定義知：DM=x「g

r-P

.八”1DM1n“/21

0sinZ.MFG=—,回----=-,l!J--------=-

3FM3.P3

XY0+5

解得：4=P②

①②聯(lián)立解得：。=%=1

故拋物線的方程為：r=2x

故選：B

【點睛】

解析幾何問題解題的關(guān)鍵：解析幾何歸根結(jié)底還是兒何，根據(jù)題意畫出圖形，借助于圖形尋找兒何關(guān)系可

以簡化運算.

3.(2020?四川省綿陽南山中學(xué)高二期中(理))設(shè)雙曲線，■-31(。＞0/＞0)的右焦點為尸，右頂點為A,

過尸作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C分別作AC,AB的垂線交于點尸.若尸到直線BC的距離

小于a+c,則該雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.(1,V2)B.(-oo,72)C.(1,揚D.(1,73)

【答案】A

【分析】

求出直線8P和直線CP的方程，聯(lián)立求出交點尸的坐標(biāo)，根據(jù)P到直線BC的距離小于a+c列式可解得結(jié)果.

【解析】

當(dāng)x=c時，4-4=1-解得y2=.(c；、)=4,

a~b~aa

所以不妨設(shè)B(C,Q),則C(C,-Q),又A3,0),

aa

從。從。

所以5:J,2一片c+a,3c丁-(?c+a,

c-aa(c-d)a'c-aa(c-a)a

所以直線5P：y--=a(x-c),直線CP：y+—=—(x-c),

ac+aac+a

b2

y一——(x-c)b2(c+a)

c+a

聯(lián)立，解得，，所以「（c-""："）,0）,

￡=_j_c)a

y+y=0

ac+〃

所以尸到直線3C：x=c的距離為|c-"辿-c|=,

craL

依題意可得嗎@<a+c,即從</,所以02一/</,所以C.2<2/,

a

所以￡<忘，即離心率ev&,又e>l.

a

所以離心率e=￡e（l,&）.

a

故選：A

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：求離心率的取值范圍的關(guān)鍵是得到a，4c的不等式，求出直線即和直線CP的方程，聯(lián)立求出

交點P的坐標(biāo)，根據(jù)P到直線BC的距離小于a+c可得到所要的不等式.

4.（2020?重慶市合川實驗中學(xué)高三期中（理））已知橢圓《+》2=1,4、乃分別是橢圓的左、右焦點，點

4

11

P為橢圓上的任意一點，則西廣府|的取值范圍為（）

A.[1.2]B.[應(yīng)，百]C.[72,4]D.[1,4]

【答案】D

【分析】

計算出|尸耳H時]的取值范圍，結(jié)合橢圓的定義可求得向+血的取值范圍.

【解析】

2

對于橢圓匕+y2=i,?=2,b=l,c=6，

4

根據(jù)橢圓的定義可得|尸￡|+歸段=2〃=4,

設(shè)|p制=x,則|p閭=4-x,且a-cK%Ka+c,即2-百4x?2+百,

則歸用?歸周=%（4一同二一￡+4冗二一（工一2）2+4￡[1,4],

11+4

所以I-l^ll^l-C[141

以‘畫幽附上|尸司陶?阿L'」.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用橢圓的定義求解代數(shù)式的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題.

5.（2020?浙江）已知雙曲線￡-1=1（。>0/>0）的左右焦點分別為6，K，過點6且垂直于x軸的直線與

CTb~

該雙曲線的左支交于A,B兩點，AF2,Bg.分別交y軸于P,Q兩點，若AP。工的周長為12,則取得最

大值時,，該雙曲線的離心率為

A.叵B.業(yè)C.姮D.6

322

【答案】B

【分析】

2b2

根據(jù)軸且過左焦點居可得AB=竺，由題意知AABg的周長為APQB周長的2倍，可得

a

|陰+|明|+忸閭=24,化簡得42+從=6〃=-轉(zhuǎn)化加=〃（6”/）,利用導(dǎo)數(shù)確定取最值時“，即可求

解.

【解析】

因為E（-c,0）,

所以把X=H代入雙曲線方程可得：y=±j

2b2

故|AB|=J,

因為PQ〃A8,PQ=^AB,AP。工周長為12,

所以6的周長為24,

即|明+|明|+忸同=24,

2b2A2/

所以絲+2。+幺+2。+幺=24,

化簡得：a2+h2=6a=c2,

.".ah2=a^6a—a2^=—a3+6a2,

令/（?）=-a3+6,/（4>0）,

2

則f\a）=-3a+\2a=-3a（a-4）,

二當(dāng)0<a<4時，r（?）>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)。>4時,尸（。）<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

二。=4時函數(shù)有唯一極大值也是最大值，

此時C?=6X4=24,c=2限,

所以e=￡=",

a2

故選：B

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的定義、離心率等,還涉及利用導(dǎo)數(shù)求具體函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生的邏輯推理能

力和運算能力，屬中檔題.

6.（2019?中央民族大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）已知直線4：〃優(yōu)-），+2機(jī)=0與直線/2：x+/ny-2=0的交點為。，

橢圓片+亡=1的焦點為馬，則IQKI+IQ初的取值范圍是（）

94

A.[4,+oo）B.[4,6]C.[2百,+oo）D.[2逐,6|

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意，由直線的方程分析可得直線4恒過點（-2,0）,直線與恒過點（2,0）,且直線％與直線6相互垂直，Q

為兩直線的交點，進(jìn)而分析可得。的軌跡，設(shè)。（見"），求出橢圓的焦點坐標(biāo)，分析可得用機(jī)表示I。々「和

I。耳產(chǎn)的值，據(jù)此分析可得答案.

【解析】

山條件可知4恒過點M（-2,0）,4恒過點N（2,0）,且心4垂直，所以點。在以。為圓心，為直徑的圓

上運動，

設(shè)。（m,w）,則川+〃2=4,

根據(jù)橢圓方程可知焦點坐標(biāo)分別為耳（-石，0）,瑪（石，0）,

則當(dāng)。與6和鳥共線時，1。41+1。61最短為|/：；6|=26，

又因為I。由2=（m+&）2+/=9+26/n,IQ巴f=（m―逐）2+=9—2石團(tuán),

而IQ耳I+1Q6區(qū)J2（|Q=T+|QF|2）=反話=6,

當(dāng)且僅當(dāng)初=0,”=?2時等號成立，

故1。甲+1?，擨的取值范圍是［2市,6J.

故選：D.

【點睛】

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及軌跡方程的計算，分析出點。的軌跡是關(guān)鍵，屬于中檔題.

7.（2020?四川省成都市鹽道街中學(xué)）已知￡，鳥是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且

2e

伊用＞歸圖，線段尸耳的垂直平分線過已若橢圓的離心率為竹，雙曲線的離心率為與，則1+號的最小

值為（）

A.76B.3C.6D.y/3

【答案】C

【分析】

2e,

利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表小一+U，再利用均值不等式得到答案.

eI2

【解析】

設(shè)橢圓長軸為,雙曲線實軸24,由題意可知：|耳閭=|6H=2C,

又,.M"+優(yōu)R=2q,但"一怩”=.?.忻R+2c=2q,\F{F\-2c=la2,

廿33心-r/nc2e,2a.c4a,a^+c2

兩式相減，可得：a]-a2=2cf—-----=—丁------，

e}2c2a22coi

2+6_4（2。+“2）。2+/_8必+4a；+02_4+2/+c

e}22coi2ca2c2a2

???2色+《一22隹二一=2,當(dāng)且僅當(dāng)%=六時取等號，

c2a2\c2a?c2a2

2e0

二一+萬的最小值為6.

e,2

故選：C.

【點睛】

2e

本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示一+U?是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計

d2

算能力.

8.(2020?天津市第五十五中學(xué)高二期中)已知雙曲線C：—-/=1,。為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，

3

過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若AOMN為直角三角形，貝！J|MN|=

A.-B.3C.25/3D.4

2

【答案】B

【解析】

分析：首先根據(jù)雙曲線的方程求得其漸近線的斜率，并求得其右焦點的坐標(biāo)，從而得到NFON=30°,根據(jù)

直角角形的條件，可以確定直線MN的傾斜角為60或12(1,根據(jù)相關(guān)圖形的對稱性，得知兩種情況求得

的結(jié)果是相等的，從而設(shè)其傾斜角為60"利用點斜式寫出直線的方程，之后分別與兩條漸近線方程聯(lián)立，

求得用(3,百),N(|,-等)，利用兩點間距離公式求得|根用的值.

詳解：根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為±且，且右焦點為尸(2,0),

3

從而得到NFCW=30°,所以直線MN的傾斜角為60,或120,

根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為60。，

可以得出直線MN的方程為)，=g(x-2),

分別與兩條漸近線y=和y=-日x聯(lián)立，

求得A7(3,6),?

所以=J(3_|y+(6+*)2=3，故選B.

點睛：該題考查的是有關(guān)線段長度的問題，在解題的過程中，需要先確定哪兩個點之間的距離，再分析點

是怎么來的，從而得到是直線的交點，這樣需要先求直線的方程，利用雙曲線的方程，可以確定其漸近線

方程,利用直角三角形的條件得到直線MN的斜率,結(jié)合過右焦點的條件,利用點斜式方程寫出直線的方程,

之后聯(lián)立求得對應(yīng)點的坐標(biāo)，之后應(yīng)用兩點間距離公式求得結(jié)果.

9.(2018?四川棠湖中學(xué)高二期中(文))設(shè)A(-3,-逅)為拋物線C:y2=2px(x>0)的準(zhǔn)線上一點，F(xiàn)為C的

2

焦點，點P在C上且滿足|PP|="|PA|,若當(dāng)m取得最小值時，點P恰好在以原點為中心，F(xiàn)為焦點的雙

曲線上，則該雙曲線的離心率為

A.-B.3C.72+1D.

22

【答案】B

【解析】

分析：由題意首先確定拋物線的方程，然后結(jié)合幾何關(guān)系將原問題轉(zhuǎn)化為直線與拋物線相切的問題，最后

求解雙曲線的離心率即可.

詳解：A-3,-三為拋物線C:y2=2px(x>0)的準(zhǔn)線上一點,

則4=-3,解得p=6；

田拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為必=i2x,焦點為F(3,0),準(zhǔn)線方程為x=-3；

過點P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|,

四

^\PF\=m\PA\,(3|PN|=m|RA|,0=m；

照

設(shè)PA的傾斜角為a,則cosa=機(jī)，

當(dāng)m取得最小值時，cosa最小，此時直線以與拋物線相切；

設(shè)直線外的方程為y+曰=%（x+3），代入尸=12乂，

可得_Ly2-y+30逅=0.

122

0A=l-4x^x3左一

解得k="或憶=-理（不合題意，舍去），

23

可得切點「（2,2"）；

由題意可得雙曲線的焦點為（-3,0）,（3,0）,

團(tuán)雙曲線的實軸長為%=1（2+3）2+（2@_?2一3『+（2府=2.

Or9x3

團(tuán)雙曲線的離心率為e===—=3.

2a2

本題選擇8選項.

點睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種

方法：

①求出a,c,代入公式6=上；

a

②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，結(jié)合b2=c2一/轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后等式（不等

式）兩邊分別除以a或標(biāo)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

22

10.（2017?河北唐山市?高二期中（理））設(shè)雙曲線C：，-2=1（"0,6>0）的左右焦點分別為耳,6,若在曲

ab

線C的右支上存在點P,使得APGK的內(nèi)切圓半徑為。，圓心記為M，又△尸石鳥的重心為G,滿足MG〃a

則雙曲線C的離心率為.

A.72B.6C.2D.75

【答案】C

【解析】

由MG//x軸得：yc=yM=a,yp=3yG=3a,所以％帶弓=g.2c-3a=g-(|PK|+|P4+2c>a,又

222

附卜陶=2%由|P制=2c+a"周=2c—a,|Pf；|~(xp+c)=\PF2f-(c-xp),得：xp=2a,因此

P（2a,3a）,代入橢圓方程得:

【點睛】列出一個關(guān)于。，瓦c的等式，就可以求出雙曲線的離心率；列出一個關(guān)于。，加c的不等式，就可以

求出雙曲線的離心率的取值范圍；本題借助于三角形的內(nèi)切圓半徑表示出三角形的面積，利用面積相等列

出等量關(guān)系，在借助于雙曲線的定義，求出點P的坐標(biāo)滿足雙曲線方程，求出離心率.

11.（2016?河南高一期中）設(shè)耳，鳥分別是橢圓方+方=1（。>〃>0）的左、右焦點，已知點屏卜其

中。為橢圓的半焦距），若線段P耳的中垂線恰好過點工，則橢圓離心率的值為（）

A百R1r1c

A?D.—C.~U.

3322

【答案】D

【解析】

試題分析：設(shè)尸在x軸上的射影點為D,可得?！?0,13線段PF、的中垂線恰好過點尸2,回歸瑪|=|4聞=2c,

即f-c[+（、&丁=公2,山此建立關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，化簡可得。=缶，回該橢圓的離心率e=?=*,

故選D.

考點：1、橢圓的幾何性質(zhì)；2、橢圓的離心率.

（2\

【方法點睛】設(shè)P在X軸上的射影點為￡）,可得?！?0，團(tuán)線段叫的中垂線恰好過點鳥閭尸用=|￡凡I=2c,

k.CJ

由此建立關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，再根據(jù)橢圓中從=〃一°2這個式子，把6用a、c表示出來，聯(lián)立方程，得

到關(guān)于公c的齊次方程，化簡可得〃=夜C,利用橢圓離心率的定義即可得到該橢圓的離心率.

12.（2021?重慶北儲?西南大學(xué)附中高三開學(xué)考試）已知雙曲線4*2-匯=1的左右焦點分別為8,F2,點、M

3

是雙曲線右支上一點，滿足砒?血耳=0,點N是F1F2線段上一點，滿足取=%五耳.現(xiàn)將回MF/2沿M/V

折成直二面角耳-MN-6，若使折疊后點Fi,Fz距離最小，則力為（)

【答案】B

【分析】

由已知條件及雙曲線的定義可得l￡M|=3,|%Vf|=2,將回MF1F2沿MN折成直二面角耳-MiV一6后，過「

作應(yīng)用直角三角形邊角關(guān)系、余弦定理及勾股定理求可居最小時〃如片的大小，進(jìn)而求4值.

【解析】

alZ-MI-l/sM|=2a=l,IEM『+1用"『=|耳8/=13,

將回MF1F2沿MN折成直二面角片-MN-K，過"作兄MN,易知片〃_L面HM用，

設(shè)4M/￡=a,在RfziMH片中有“6=3sina,MH=3cosa,

團(tuán)在回心中，ZHMF2=^-a,相HF；=MF；+MH?-2MFyMHcosZHMF],

團(tuán)HF；=4+9cos2a-12cosacos(^-a)=4+9cos2ct-6sin2a,

jr

團(tuán)耳工2="月2+〃片2=4+98S2a_6sin2a+9sin2a=13—6sin2a27,當(dāng)且僅當(dāng)sin2a=1,a=一時等號成

4

立.

F.NF.M323

團(tuán)Fi,F2距離最小時，MN為角平分線，故*=苗7=孑=二7,可得義=>

/2「2’以乙1/LD

H

故選：B

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：由雙曲線的定義求l「M|、\F2M\,結(jié)合直角三角形邊角關(guān)系、余弦定理、勾股定理求K或與

的〃;的函數(shù)關(guān)系，再求最小值，最后即可求參數(shù)值.

二、多選題

13.(2021?雙峰縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試)拋物線C：9=2*(0>0)的焦點為「，準(zhǔn)線/交x軸于點Q(—

2,0),過焦點的直線m與拋物線C交于A,8兩點，則()

A.p=2

B.IABI..8

C.直線AQ與BQ的斜率之和為0

D.準(zhǔn)線/上存在點M,若I3MAB為等邊三角形，可得直線AB的斜率為土也

2

【答案】BCD

【分析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，利用斜率關(guān)系以及弦長和距離公式，

逐項分析判斷即可得解.

【解析】

對A,由準(zhǔn)線/交X軸于點Q(—2,0),

所以-5=-2,p=4,故A錯誤，

對B,拋物線過焦點的弦通徑最短，即垂直于x軸時，

令x=2,可得y=±4,|Afi|=8,

所以IA3I..8,故B正確;

對C,設(shè)直線m的方程為*="丫+2,

代入拋物線方程可得：丁-8町，-16=0,

設(shè)4（0y）,8（9,必），則有:X+%=8〃,乂必=T6,

M?必芻)-1+2%+%)'2+2%

所以原o+4B。=

Xj+2w+2(占+2)(*2+2)

=2?工：(甘,)；2米3誅=0,故c正確;

(%+2)(X2+2)(%|+2)(/+2)

對D,若團(tuán)MA8為等邊三角形，設(shè)48中點為M?b）,

則叫號=皿a=4〃、2,什晉山，

4"一t

設(shè)S）,所以訴=-〃，所以心、8〃，則依-2,4/+8〃）,

,即4+8n2+4|

則點用(-2,4/+8〃)到直線m的距離d=J~.1

而[AB|=X|+々+p=n（yt+%）+4+4=8/+8,

由d-3|AB|可得|4〃/4]=烏,

211777T2

解得y/n2+1=￡,，力以〃=土C,

此時AB的斜率為土近，故D正確.

2

故選：BCD

22

14.（2021?全國高二專題練習(xí)）已知F為橢圓C：5+5=1的左焦點，直線八y=H（&w°）與橢圓C交

于A,B兩點，AE^x軸，垂足為E,能與橢圓C的另一個交點為「，則（）

14「

A.府|+麻|的最小值為2B.△A8E面積的最大值為近

C.直線8E的斜率為;&D.NR48為鈍角

【答案】BC

【分析】

A項，先由橢圓與過原點直線的對稱性知，|"|+忸尸|=4,再利用1的代換利用基本不等式可得最小值，

A項錯誤；B項，由直線與橢圓方程聯(lián)立，解得交點坐標(biāo)，得出面積關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)最值；

C項，由對稱性，可設(shè)A?,%）,則以一%,一%）,E（%,0）,則可得直線BE的斜率與k的關(guān)系；D項，先

由A.B對稱且與點P均在橢圓上，可得人%=_<=」，又由C項可知kPB=kBE=-k,得心g=-1,

a22

即NR4B=90°,排除D項.

【解析】

對于A,設(shè)橢圓C的右焦點為尸，連接AF',BF',

則四邊形AF'BF為平行四邊形，

.-.|AF|+|BF|=|A尸|+|A尸1=2〃=4,

?扁+向力網(wǎng)+陽）［向+向卜#+耦+鬻苗,

當(dāng)且僅當(dāng)|BF|=2|A耳時等號成立,A錯誤;

±2

得》=V1+2F

?,?回一詞=7坐1,，

,1+2公

“ABE的面積S=5kMy'_）'/=1+2I2=J_

同■

當(dāng)且僅當(dāng)&=±也時等號成立，B正確;

2

對于C,設(shè)4（%,%），則3（-%,-%）,E（毛,0）,

故直線BE的斜率kBE=空&?=——=1/：,C正確;

X。十玉）Z演）,

為「D,設(shè)?（九〃），直線R4的斜率額為如，直線PB的斜率為%,

"%〃+%〃n

則kpA.kPB=

m-xi）m-\-x0tt1~—XQ

2222

又點尸和點A在橢圓C匕.?.巴+史=1①，乩+苑=1②,

4242

①一②得）°,=_q,易知kpB=kBE=gk,

nV—XQ22

則吐、=-/得原A"），

22k

.k-k

?,^PA^ABM=T,:.ZPAB=900fD錯誤.

故選：BC.

金

【點睛】

橢圓常用結(jié)論:

2

已知橢圓點/+方v=1（。>匕>0），AB為橢圓經(jīng)過原點的一條弦，P是橢圓上異于A、B的任意一點，若如/

都存在，則即A,怎8￡

a"

15.（2021?全國高二單元測試）已知點F是拋物線丫？=2px（p>0）的焦點，AB.CD是經(jīng)過點F的弦且AB回CD,

AB的斜率為A,且k>0,C/兩點在x軸上方.則下列結(jié)論中一定成立的是（）

A.OCOD=--p2B.四邊形ACB。面積最小值為16/

4

1-11

r---——D.若|AF|?忸尸|=4p，則直線C。的斜率為-石

|AB||CD|2P

【答案】ACD

【分析】

利用拋物線的極坐標(biāo)方程求出|AF|,忸尸明,|CD|,然后即可計算求解，判斷出各選項的真假.

【解析】

|AB|=-^-,|CD|=2P111

設(shè)AB的傾斜角為。，則有?si/。sin2f0+ycos8,所以畫+畫=/，C正確;

2二』，歷擊,若忸叫網(wǎng)=4pz,則sin*,tan。邛

直線8的斜率為-6，D正確；

S=-1/IIcol=..Sp2，所以B不正確；

2ABCD21111sin26?cos2(9sin220

2

設(shè)C(XQJ,￡>(盯為)，由拋物線過焦點弦的性質(zhì)可知，x丙=5j%=-p2,

_.3e

2

OCOD=xlx2+yly2=--p,所以A正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線的簡單性質(zhì)應(yīng)用，拋物線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考

查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于較難題.

16.（2021?山東濟(jì)南?高三月考）已知直線/過拋物線C:/=_4y的焦點F,且直線/與拋物線C交于AB兩

點，過AB兩點分別作拋物線C的切線，兩切線交于點G,設(shè)A（4,以），G（%,九）?則下列選

項正確的是（）

4

A.yA-yB=

3

B.以線段AB為直徑的圓與直線y=j相離

Q

C.當(dāng)而=2萬時，|陰=5

D./XGAB面積的取值范圍為4,+co）

【答案】BCD

【分析】

求出拋物線的焦點及準(zhǔn)線，設(shè)直線/的方程為丫=丘-1,與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，計算可判斷A；

利用定義及直線與圓的位置可判斷B；由向量共線求出弦長判斷C：求出點G的坐標(biāo)及面積的函數(shù)

式即可判斷作答.

【解析】

拋物線C:/=Ty的焦點產(chǎn)（0,-1）,準(zhǔn)線方程為y=l,設(shè)直線/的方程為y=

y=kx-\

',.消去y得：X2+4AJC-4=0,于是得/+/=-42,尤EB=-4,

{廠=-Ay

力?為=[-[=1，A不正確；

以線段A8為直線的圓的圓心（毛,%）,則%:&1絲="區(qū)）-2=_2小_1,點

（%,%）到直線y=]距離d=2二+（

由拋物線定義得|48|=|4或+|8尸|=2-(力+%)=43+4,顯然〃，^4例，即以線段AB為直徑的圓與直

3

線y=5相離，B正確；

當(dāng)4戶=2戶豆時，有=2(4-0),即4=-2/，而=-4%,乙乙=一4，于是得二=:，

O

09

|AB|=4&2+4=—,C正確;

2

由尸-卜2求導(dǎo)得y，=_%于是得拋物線c在A處切線方程為：丫-以=-3(》-4),即y=/x+93

同理，拋物線c在8處切線方程為：y=-^-x+^xj,聯(lián)立兩切線方程解得匕=；(%+/)=-2后，

1.

%=一產(chǎn)/=1,

點G(—2k,1)到直線/：依-y-1=0的距離介='-昔［:'=2而7,

于是得4GAB面積邑c"=-\AB\h=-(4k2+4)-2收+1=4(A:2+1)2＞4,當(dāng)且僅當(dāng)％=0時取"=",

△G4B面積的取值范圍為［4,+oo),D正確.

故選：BCD

:'優(yōu)選提升題

三、填空題

22

17.(2021?河北滄州市?高三月考)已知F為雙曲線C：5-《=1(。＞0，人＞0)的右焦點，。為坐標(biāo)原

a2b2

點，點A是以。尸為直徑的圓與雙曲線C的一個公共點.若點尸關(guān)于點A的對稱點也在雙曲線C上，則雙曲

線C的漸近線的斜率為.

【答案】±26

【分析】

由題設(shè)探求出AM戶與△班2都是以8為直角頂點的直角三角形，令|AF|=/n,并表示相關(guān)量，再借助勾股

定理建立方程組，求出a,b的關(guān)系即可.

【解析】

因點A是以。尸為直徑的圓與雙曲線C的一個公共點，則。4_LAF,

設(shè)點廠關(guān)于點A的對稱點為8,雙曲線C的左焦點為F，則。4//尸3,有BF'1BF，如圖，

\BF'\=2m-2a,又|0月=c,

在Rt^BF'F中，|8F『+18F『=|F'F|2,即（2根-2a）2+4>=4c2,

在R&BE4中，|8尸即僅利一？々）？+療=（m+2Q『

（2加一2〃1+4",=4c2

于是得（2機(jī)-24）2+■=（機(jī)+2。『，解得6=2折，即4=2百，

c2=a2+b2a

所以雙曲線C的漸近線的斜率為±26.

故答案為：±25/3

18.（2021?江西景德鎮(zhèn)市?景德鎮(zhèn)一中高三月考（理））已知點產(chǎn)（2,0）,動點Q滿足以P。為直徑的圓與》軸

相切，過點？作直線x+（a-l）y+2m-5=0的垂線，垂足為R,則|。"+|。用的最小值為.

【答案】上叵

2

【分析】

由拋物線定義可知Q的軌跡方程，直線x+（〃-l）y+2〃L5=0過定點，結(jié)合圓的性質(zhì)，可知R點的軌跡為

圓，再結(jié)合拋物線與圓的性質(zhì)即可得到最小值.

【解析】

由動點。滿足以QP為直徑的圓與y軸相切可知：動點。到定點P的距離等于動點Q到直線x=-2的距離,

故動點。的軌跡為V=8x,

由》+（，〃-1）^+2m-5=0可得》一丁一5+01（^+2）=0,

x-y-5=0/、/、/、

：=_2解得D（3，-2）,即直線x+（/n-l）y+2/n-5=0過定點D（3,-2）,

又過P作直線x+（加―1））葉2，"-5=0的垂線，垂足為R,

所以R點在以PO為直徑的圓匕直徑式方程為（x—2）（x—3）+y（y+2）=0,

化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：1—Tj+（y+l）2=；,圓心半彳仝

過。做2M垂直準(zhǔn)線，垂足為M,過E做EG垂直準(zhǔn)線，垂足為G

則|。尸|+|州|2|。切+|。目-42|￡；6|-乎=：-曰=與叵

故答案為：上音

19.（2014?浙江（理））設(shè)拋物線、/=豌堿副/蛾:的焦點為熏，已知燃摩為拋物線上的兩個動點，且滿足

|?

婚瞬n畫吃過弦■?的中點影作拋物線準(zhǔn)線的垂線.嬤?，垂足為腰，則三?的最大值為

|,幽

【答案】1

【解析】

試題分析：過通，.■作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,翼盛，由圖可知，豳螂=土（/部帶瞬），根據(jù)拋物線的定義可知

公=/然.瞬=嬲,所以趣螂=」（，於普婢’）.在盛搬聲中，根據(jù)余弦定理可知

:"匡t所以上.式可化為士儂重樸激噌<扇豌，即正搬息士.就跳,

根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，用:獻(xiàn)三I

所以刎口

考點：拋物線定義，余弦定理,基本不等式.

20.（2019?安徽高三月考（理））如圖所示，斗行為橢圓的左右焦點，過入的直線交橢圓于8.。兩點且

怛國=2|用9|,E為線段叫上靠近《的四等分點.若對于線段叫上的任意點P,都有麗?麗2麗?麗成

立，則橢圓的離心率為.

【答案】昱

3

【分析】

取尸Q的中點Q,連EQ.PQ.根據(jù)向量的加法和減法轉(zhuǎn)化對?而=麗-：研，

同理麗?麗=EQ2-：Ok，等價于|而歸詼|,由點尸的任意性判斷成2,8不得到|。耳|=|。3|,根據(jù)

幾何關(guān)系和橢圓定義得到邊長，根據(jù)余弦定理建立方程求橢圓的離心率.

【解析】

解：取兄。的中點Q,連EQ.PQ.

西.麗=；[（西+西2_（西一所）2]

=；（4喈-時卜陪_；時，

同理西?加=西-；方7，西.麗2麗.麗恒成立等價于I而歸詼I，

因為點P是線段m上的任意一點，故EQLB耳，得到。耳|=|。8|,

設(shè)|網(wǎng)=*,則忸周=2x,\DF\=2a-x,

由"x=3x,得x=],\BFt\=\BF2\=a,\DFt\=^a,

2aC2

在AFIB苞中，cosZFtBF2=~^-=\-2e,

在中,2

3

所以1—2/=:，解得e=3.

33

故答案為：昱

3

【點睛】

本題考查求橢圓的離心率，平面向量和幾何圖形的應(yīng)用，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，數(shù)形結(jié)合分析問題

的能力，推理能力，屬于中高檔題型，本題的關(guān)鍵是把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為邊長關(guān)系，再根據(jù)點尸的任意性,

進(jìn)一步得到幾何關(guān)系.

四、解答題

21.（2020?江蘇海門中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:了/一；+憶川的焦點在x軸

—一1）

上.

（1）求實數(shù)k的取值范圍；

（2）設(shè)橢圓C的焦點6（-1,0）,82是橢圓c的上頂點，直線員耳與橢圓C的另一交點為M.

①求橢圓C的方程;

②求焦半徑阿用的長.

22x

【答案】（1）Q1+應(yīng)；（2）①土+21=1；②二

435

【分析】

I,

-a2-i)>o

（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得k>0,即可得解;

12

（2）①由橢圓的半焦距c=l,結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可得解:

②求出直線員”的方程，聯(lián)立方程組可得點M的坐標(biāo)，即可得解.

【解

X2/,

（1）因為橢圓c：的焦點在x軸匕

g(&2-l)>0

所以k>0,解得人>1+0,

^(k2-\)>k

所以實數(shù)A的取值范圍為k>l+亞:

（2）①由題意，橢圓的半焦距c=l,所以：耐_1）乂=1,解得欠=3或%=-1（舍去）,

22

所以橢圓c的方程%+P；

②由題意，層（0,6）,則須直線名片：y=J費+G，

%2V?

-----1=18

由，43化簡可得5f+8x=0,解得x=0或工二一二,

y=Gx+6

所以點”的橫坐標(biāo)為為=-|,則點”的縱坐標(biāo)加=-竽,

所以|岫|=

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是對橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的正確理解.

工2丫24

22.（2019?上海普陀區(qū)?曹楊二中高二期中）雙曲線C:之一與=1經(jīng)過點（2,3）,兩條漸近線的夾角為g,直

ab~3

線/交雙曲線于A、B.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若/過原點，P為雙曲線上異于A、5的一點，且直線24、尸8的斜率為即八k,,B,證明：1^人心帽為

定值；

（3）若/過雙曲線的右焦點5,是否存在x軸上的點M（見0）,使得直線/繞點耳無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有

麗.麗=0成立？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）/