求函數(shù)最值的幾種常見方法

求函數(shù)最值的幾種常見方法

函數(shù)更值是中醫(yī)學(xué)的一個(gè)重要課題。要解決函數(shù)最值問題，需要大量的知識。通常需要綜合應(yīng)用許多知識，需要強(qiáng)有力的解題技巧。因此,在高考或數(shù)學(xué)競賽中,求函數(shù)最值問題是出題的熱點(diǎn),它常用來考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力。本文介紹幾種常見的求函數(shù)最值的方法。1.簡化單個(gè)變元例1設(shè)x2+y2≤2,求f(x,y)=|x2-2xy-y2|的最大值。分析與解目標(biāo)函數(shù)f(x,y)含有兩個(gè)變元,不容易直接求解。不妨轉(zhuǎn)換一下思路,可以采取消元的方法,從而簡化問題。設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ,0≤θ<2π,由題設(shè)知|r|≤√2|r|≤2√.故由此例可知:在求某些條件函數(shù)最值問題時(shí),如果條件與目標(biāo)函數(shù)含有多個(gè)變元,不妨想辦法消元,使目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)或二個(gè)變元的最值問題,這樣就比較容易求解了。2.幾何直觀意義例2若實(shí)數(shù)x,y滿足|x|+|y|=5,試求t=x2+y2-2x的最值。分析與解從條件與目標(biāo)函數(shù)來看,兩者都可用函數(shù)的圖象表示,這樣代數(shù)問題就有比較清晰的幾何直觀意義,從而解決問題相對比較簡單。很容易畫出|x|+|y|=5的圖象如右圖所示,而目標(biāo)函數(shù)t=x2+y2-2x可寫為(x-1)2+y2=t+1,把t看作參數(shù),它表示一個(gè)同心圓簇,√t+1t+1????√表示圓的半徑,顯然t與√t+1t+1????√同時(shí)達(dá)到最值,即tmax=62-1=35,tmin=(2√2)2-1=7.tmax=62?1=35,tmin=(22√)2?1=7.由此例可以看出:在求某些條件函數(shù)最值時(shí),可以數(shù)形結(jié)合,利用幾何意義來求。3.生成解析函數(shù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式有如下的性質(zhì):設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R),則其模|z|=√x2+y2|z|=x2+y2??????√.在求函數(shù)最值時(shí),如果目標(biāo)函數(shù)含有復(fù)數(shù)模的代數(shù)形式,則可用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)問題來解決,而復(fù)數(shù)的模的不等式性質(zhì)為||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤||z1|+|z2||,很容易求出復(fù)數(shù)的模的最值,從而求出函數(shù)最值。例3已知x,y,z是不全為零的非負(fù)實(shí)數(shù),求u=的最小值。分析與解如果直接求函數(shù)的最小值,不容易求解。但仔細(xì)觀察函數(shù)u的結(jié)構(gòu)有一定規(guī)律,函數(shù)的分子接近于復(fù)數(shù)的模的代數(shù)意義。因此,可以將其轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)的模的不等式性質(zhì),問題就簡單了。構(gòu)造復(fù)數(shù)z1=x+y2+√32yi,z2=y+z2+√32zi,z3=z+x2+√32xi,則構(gòu)造復(fù)數(shù)z1=x+y2+3√2yi,z2=y+z2+3√2zi,z3=z+x2+3√2xi,則√x2+y2+xy+√y2+z2+yz+√z2+x2+zx=|z1|+|z2|+|z3|≥|z1+z2+z3|=|32(x+y+z)+√32(x+y+z)i|=√3|x+y+z|x2+y2+xy??????????√+y2+z2+yz??????????√+z2+x2+zx??????????√=|z1|+|z2|+|z3|≥|z1+z2+z3|=∣∣32(x+y+z)+3√2(x+y+z)i∣∣=3√|x+y+z|所以u≥√3u≥3√,當(dāng)且僅當(dāng)argz1=argz2=argz3即x=y=z>0時(shí)等號成立。在求函數(shù)的最值時(shí),如果函數(shù)能夠變形為平方和的形式,不妨引進(jìn)復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)的模來求解,利用復(fù)數(shù)的模的不等式性質(zhì),往往使問題迎刃而解。4.生成解析函數(shù)在初等數(shù)學(xué)中,常用的重要不等式有:(1)均值不等式:對于任意n個(gè)正數(shù)a1,a2,…an,令A(yù)n=a1+a2+?+ann,Gn=n√a1a2?anAn=a1+a2+?+ann,Gn=a1a2?an????????√n,則Gn≤An,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)等號成立;(2)柯西不等式:設(shè)a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn為任意實(shí)數(shù),則(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21b22+…+b2n),當(dāng)且僅當(dāng)a1b1=a2b2=?anbn時(shí)等號成立。對于均值不等式:如果目標(biāo)函數(shù)是和的形式,往往利用均值不等式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為積的形式,而積恰好是常數(shù),從而得到目標(biāo)函數(shù)最小值;如果目標(biāo)函數(shù)式是積的形式,可利用均值不等式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為和的形式,而和是常數(shù),得出目標(biāo)函數(shù)最大值?？挛鞑坏仁絼t對于解決各項(xiàng)的平方和與各項(xiàng)和的關(guān)系問題非常有用。例4求函數(shù)y=x2(1-3x)在時(shí)的最大值。分析與解此題可以對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),得到函數(shù)的極值點(diǎn),從而求出函數(shù)的最值。也可以利用均值不等式,將原函數(shù)進(jìn)行變形,有y=x2(1-3x)=32[x?x?(23-2x)],因?yàn)閤∈,故x≥0,23-2x≥0,由A3≥G3,得y≤32[x+x+(23-2x)3]3=32?(29)3=4243.當(dāng)且僅當(dāng)x=23-2x時(shí)等號成立,即x=29∈時(shí)取最大值4243.例5設(shè)m,n,p為正實(shí)數(shù),且m2+n2-p2=0,求pm+n的最小值。分析與解此題的目標(biāo)函數(shù)的變元的指數(shù)均為一次,而條件的變元的指數(shù)均為二次,可利用柯西不等式對指數(shù)進(jìn)行降次。2p2=2(m2+n2)=(12+12)(m2+n2)≥(m+n)2,p2(m+n)2≥12,pm+n≥√22,從而pm+n的最小值為√22,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號成立。利用不等式求函數(shù)最值的關(guān)鍵是根據(jù)條件與目標(biāo)之間的聯(lián)系將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形,使條件與目標(biāo)達(dá)成一致從而解決問題。同時(shí)也要考慮到等號成立的條件。5.琴生正則函數(shù)琴生不等式是運(yùn)用凸函數(shù)性質(zhì)的重要定理之一。琴生不等式:設(shè)qi(i=1,2…,n)是正實(shí)數(shù),∑qi=1,f(x)是[a,b]上的嚴(yán)格下凸函數(shù),則對任意x1,x2,…,xn∈[a,b],有f(q1x1+q2x2+…+qnxn)≤q1f(x1)+q2(x2)+…+qnf(xn)當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)等號成立。若f(x)是[a,b]上的嚴(yán)格上凸函數(shù),則不等號反向。琴生不等式是利用凸函數(shù)的性質(zhì),將同名函數(shù)的和轉(zhuǎn)化為該函數(shù)某個(gè)特定的值,從而求得函數(shù)的最值。例6證明:在圓內(nèi)接n邊形中,以正n邊形的面積為最大。分析與證明由題意,設(shè)圓的半徑為r,內(nèi)接n邊形的面積為S,各邊所對的圓心角分別為θ1,θ2,…,θn則S=12r2(sinθ1+sinθ2+?+sinθn),這時(shí),正弦函數(shù)的和采用積化和差的辦法顯然很難進(jìn)行下去。但構(gòu)造函數(shù)f(x)=sinx,利用琴生不等式,將其化簡,則容易得解。因?yàn)閒(x)=sinx在(0,π)內(nèi)是上凸函數(shù),所以sinθ1+sinθ2+?+sinθn≤nsinθ1+θ2+?+θnn=nsin2πn,當(dāng)且僅當(dāng)θ1=θ2=…=θn時(shí)等號成立,即S取得最大值,也就是以正n邊形的面積為最大。在求函數(shù)的最值時(shí),目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)同名函數(shù)的和的形式,可以構(gòu)造函數(shù),利用琴生不等式將其化簡。6.求函數(shù)最值的范圍和形式函數(shù)的單調(diào)性可表示為:如果函數(shù)f(x)在區(qū)域D內(nèi)單調(diào)遞增,x1,x2∈D則當(dāng)x1<x2時(shí),有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0.若函數(shù)f(x)在區(qū)域D內(nèi)單調(diào)遞減,則不等號反向。例7已知x1,x2,?,x2005∈(-π2,π2),x1+x2+?+x2005=2005π6,求y=2005∑i=16xisinxi-πsinxi3+2sinxi的最小值。分析與解目標(biāo)函數(shù)相對比較復(fù)雜,但目標(biāo)函數(shù)的項(xiàng)6xisinxi-πsinxi3+2sinxi可以變形為(6xi-π)sinxi3+2sinxi,因此,可以構(gòu)造函數(shù)g(t)=sint3+2sint,設(shè)-π2＜t1＜t2＜π2,則g(t1)-g(t2)=sint13+2sint1-sint23+2sint2=3(sint1-sint2)(3+2sint1)(3+2sint2)＜0,所以g(t1)<g(t2),所以g(t)是在(-π2,π2)上的增函數(shù)。令x1∈(-π2,π2),則(x1-π6)(sinx13+2sinx1-123+2?12)≥0,即6x1-π6?sinx13+2sinx1≥18?6x1-π6,從而6x1sinx1-πsinx13+2sinx1≥6x1-π8.(1)同理6x2sinx2-πsinx23+2sinx2≥6x2-π8(2),??6x2005sinx2005-πsinx20053+2sinx2005≥6x2005-π8.