安徽省黃山市白楊中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

安徽省黃山市白楊中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，則下列一定成立的是(

)A．若a3＞0，則a2013＜0 B．若a4＞0，則a2014＜0C．若a3＞0，則S2013＞0 D．若a4＞0，則S2014＞0參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，B，D可通過(guò)q=﹣1的等比數(shù)列排除，對(duì)于選項(xiàng)C，可分公比q＞0，q＜0來(lái)證明即可得答案．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列1，﹣1，1，﹣1，…，顯然滿足a3＞0，但a2013=1＞0，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列﹣1，1，﹣1，1…，顯然滿足a4＞0，但a2014=1，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列﹣1，1，﹣1，1…，顯然滿足a4＞0，但S2014=0，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閍3=a1?q2＞0，所以a1＞0．當(dāng)公比q＞0時(shí)，任意an＞0，故有S2013＞0；當(dāng)公比q＜0時(shí)，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013=＞0，故C正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，通過(guò)給變量取特殊值，舉反例來(lái)說(shuō)明某個(gè)命題不正確，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于中檔題．2.從1開(kāi)始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng)，使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個(gè)數(shù)的和可以為（） A．2097 B． 2112 C． 2012 D． 2090參考答案：C略3.一個(gè)盛滿水的密閉三棱錐容器S－ABC，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D，E，F(xiàn)，且知SD∶DA＝SE∶EB＝CF∶FS＝2∶1，若仍用這個(gè)容器盛水，則最多可盛原來(lái)水的()A.

B.

C.

D.參考答案：D解：過(guò)DE作與底面ABC平行的截面DEM，則M為SC的中點(diǎn)，F(xiàn)為SM的中點(diǎn)．過(guò)F作與底面ABC平行的截面FNP，則N，P分別為SD，SE的中點(diǎn)．設(shè)三棱錐S-ABC的體積為V，高為H，S-DEM的體積為V1，高為h，則h:H=2:3,v1:v=8:27三棱錐F-DEM的體積與三棱錐S-DEM的體積的比是1：2（高的比），∴三棱錐F-DEM的體積4v:27三棱臺(tái)DEM-ABC的體積=V-V1=19v:27,∴最多可盛水的容積23v:27故最多所盛水的體積是原來(lái)的,選D4.已知直線過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直。與C交于A,B兩點(diǎn)，=12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則ABP的面積為A．18

B.

24

C.

36

D.

48參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．H8

【答案解析】C解析：設(shè)拋物線的解析式為y2=2px（p＞0），則焦點(diǎn)為F（，0），對(duì)稱軸為x軸，準(zhǔn)線為x=﹣∵直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，A、B是l與C的交點(diǎn)，又∵AB⊥x軸，∴|AB|=2p=12，∴p=6又∵點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP?AB）=×6×12=36，故選C．【思路點(diǎn)撥】首先設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)2=2px（p＞0），寫出次拋物線的焦點(diǎn)、對(duì)稱軸以及準(zhǔn)線，然后根據(jù)通徑|AB|=2p，求出p，△ABP的面積是|AB|與DP乘積一半．5.設(shè)有不同的直線a，b和不同的平面α，β，給出下列四個(gè)命題：①若a∥α，b∥α，則a∥b；②若a∥α，a∥β，則α∥β；③若a⊥α，b⊥α，則a∥b；④若a⊥α，a⊥β，則α∥β．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B解：對(duì)于①，若a∥α，b∥α，則直線a和直線b可以相交也可以異面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若a∥α，a∥β，則平面a和平面β可以相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若a⊥α，b⊥α，則根據(jù)線面垂直出性質(zhì)定理，a∥b，故③正確；對(duì)于④，若a⊥α，a⊥β，則α∥β成立；故選：B．6.l1、l2是空間兩條直線，α是平面，以下結(jié)論正確的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，則一定有l(wèi)1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，則一定有l(wèi)1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，則一定有l(wèi)1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，則一定有l(wèi)1⊥l2參考答案：D【考點(diǎn)】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．【解答】解：若l1∥α，l2∥α，則有l(wèi)1∥l2或l1與l2相交或l1與l2異面，故A錯(cuò)誤；如果l1⊥l2，l2⊥α，則有l(wèi)1∥α或l1?α，故B、C錯(cuò)誤；如果l1⊥α，則l1垂直α內(nèi)的所有直線，又l2∥α，則過(guò)l2與α相交的平面交α于a，則l2∥a，∴l(xiāng)1⊥l2，故D正確．故選：D．7.一已知數(shù)列{}中，首項(xiàng)a1＝1，，數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和

（1）求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛|bn|｝的前n項(xiàng)和．參考答案：（l）；（2）

【知識(shí)點(diǎn)】遞推公式；數(shù)列的和D1D4解析：（l）由已知，即，累加得：又。對(duì)于數(shù)列的前n項(xiàng)和：所以當(dāng)時(shí)，（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，故【思路點(diǎn)撥】（l）兩邊取對(duì)數(shù),變形后可利用累加法;（2）對(duì)n分兩種情況可得結(jié)果.8.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面為棱長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，點(diǎn)D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則sinα的值是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】用空間向量求直線與平面的夾角．【專題】計(jì)算題；綜合題．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AA1C1C的一個(gè)法向量是，和，計(jì)算cos＜，＞即可求解sinα，【解答】解：如圖，建立坐標(biāo)系，易求點(diǎn)D（，，1），平面AA1C1C的一個(gè)法向量是=（1，0，0），所以cos＜，＞==，即sinα=．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用空間向量求直線與平面的夾角，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．9.．正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,為中點(diǎn),則直線與面所成角的正弦值為（）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知且,當(dāng)時(shí)均有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A.

B.C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，過(guò)中線中點(diǎn)任作一直線分別交，于，兩點(diǎn)，設(shè)，（），則的最小值是

▲

參考答案：略12.如果一個(gè)平面與一個(gè)圓柱的軸成（）角，且該平面與圓柱的側(cè)面相交，則它們的交線是一個(gè)橢圓.當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率是

.

參考答案：13.若x、y滿足約束條件的取值范圍是

.參考答案：[2,6]14.已知i是虛數(shù)單位，則（1﹣i）i=．參考答案：1+i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】直接利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算．【解答】解：（1﹣i）i=i﹣i2=1+i．故答案為1+i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的乘法，滿足實(shí)數(shù)運(yùn)算中的單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，是基礎(chǔ)題．15.已知函數(shù)f（x）=ex﹣mx+1（x≥0）的圖象為曲線C，若曲線C存在與直線y=ex垂直的切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

．參考答案：（，+∞）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用兩直線垂直的條件可得ex﹣m=﹣有解，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到m的范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=ex﹣mx+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ex﹣m，若曲線C存在與直線y=ex垂直的切線，即有ex﹣m=﹣有解，即m=ex+，由ex＞0，則m＞．則實(shí)數(shù)m的范圍為（，+∞）．故答案為：（，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，同時(shí)考查兩直線垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．16.已知圓：，直線：，設(shè)圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，則

參考答案：417.已知函數(shù)y=f（x+1）定義域是{x|﹣2≤x≤3}，則y=f（2|x|﹣1）的定義域是．參考答案：【考點(diǎn)】33：函數(shù)的定義域及其求法．【分析】求出f（x）的定義域，得到不等式﹣1≤2|x|﹣1≤4，解出即可．【解答】解：﹣2≤x≤3，∴﹣1≤x+1≤4，∴﹣1≤2|x|﹣1≤4，∴0≤|x|≤，解得：﹣≤x≤，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列滿足：，，．（1）證明：；（2）證明：；（3）證明：．參考答案：（1）先用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)時(shí)，∵，∴；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.由①②可知．再證．，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即．（2）要證，只需證，只需證其中，先證，令，，只需證．因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，所以.再證，令，，只需證，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，從而，所以在上單調(diào)遞增，所以，綜上可得．（3）由（2）知，一方面，，由迭代可得，因?yàn)?，所以，所以；另一方面，即，由迭代可得．因?yàn)?，所以，所以；綜上，．19.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（2，0），且橢圓C的離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)P在直線x=﹣1上，過(guò)P作直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且P為線段MN中點(diǎn)，再過(guò)P：作直線l⊥MN．求直線l是否恒過(guò)定點(diǎn)，如果是則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，不是請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a2=4，，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）設(shè)P（﹣1，y0），，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y﹣y0=k（x+1），由，得，由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出直線l恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線l也過(guò)點(diǎn)．所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)．解答：解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)（2，0）在橢圓C上，所以，所以a2=4，（1分）因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以，即，（2分）解得b2=3，所以橢圓C的方程為．（4分）（Ⅱ）設(shè)P（﹣1，y0），，①當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y﹣y0=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），由，得，所以，因?yàn)镻為MN中點(diǎn)，所以，即．所以，（8分）因?yàn)橹本€l⊥MN，所以，所以直線l的方程為，即，顯然直線l恒過(guò)定點(diǎn)．（10分）②當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN的方程為x=﹣1，此時(shí)直線l為x軸，也過(guò)點(diǎn)．綜上所述直線l恒過(guò)定點(diǎn)．（12分）點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程是否恒過(guò)定點(diǎn)的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．20.（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段的中點(diǎn)為，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（III）求二面角的大小。參考答案：解析:解法一：（Ⅰ）因?yàn)槠矫妗推矫?平面，平面平面，所以⊥平面所以⊥.因?yàn)闉榈妊苯侨切危?/p>

，所以又因?yàn)?，所以，即?所以⊥平面。

……4分（Ⅱ）存在點(diǎn),當(dāng)為線段AE的中點(diǎn)時(shí)，PM∥平面

取BE的中點(diǎn)N，連接AN,MN，則MN∥＝∥＝PC

所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN

因?yàn)镃N在平面BCE內(nèi)，PM不在平面BCE內(nèi)，

所以PM∥平面BCE

……8分

（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD作FG⊥AB,交BA的延長(zhǎng)線于G，則FG∥EA。從而，F(xiàn)G⊥平面ABCD作GH⊥BD于G，連結(jié)FH，則由三垂線定理知，BD⊥FH因此，∠AEF為二面角F-BD-A的平面角因?yàn)镕A=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.設(shè)AB=1,則AE=1,AF=.

FG=AF·sinFAG=在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=在Rt△FGH中，tanFHG==故二面角F-BD-A的大小為arctan.

………………12分解法二:(Ⅰ)因?yàn)椤鰽BE為等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.又因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)AB=1,則AE=1，B（0，1，0），D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).因?yàn)镕A=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°.從而，.所以,,.,.所以EF⊥BE,EF⊥BC.因?yàn)锽E平面BCE,BC∩BE=B,所以EF⊥平面BCE.

(Ⅱ)M（0，0，）.P（1,,0）.從而=（，）.于是所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)，故PM∥平面BCE.

………………8分(Ⅲ)設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為，并設(shè)=（x，y，z）=(1，1，0)，

即去y=1，則x=1，z=3，從=（0，0，3）取平面ABD的一個(gè)法向量為=（0，0，1）故二面角F-BD-A的大小為.

……12分21.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系中軸的正半軸重合，且兩坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為。（Ⅰ）化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程；（II）若直線過(guò)點(diǎn)Q且與圓C交于M，N兩點(diǎn)，求當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度為最小時(shí)，直線的直角坐標(biāo)方程。參考答案：解：(Ⅰ)圓C的直角坐標(biāo)方程為，