中考數(shù)學(xué)壓軸題(有答案)

整理為word格式整理為word格式整理為word格式中考初中數(shù)學(xué)壓軸題精選（有答案）一．解答題（共30小題）1．（2014?攀枝花）如圖，以點(diǎn)P（﹣1，0）為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D兩點(diǎn)（A在D的下方），AD=2，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，得到△MCB．（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀（不必證明），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）動(dòng)直線l從與BM重合的位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時(shí)停止，設(shè)直線l與CM交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，連接MQ、QG．請(qǐng)問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小是否變化？若不變，求出∠MQG的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2014?蘇州）如圖，已知l1⊥l2，⊙O與l1，l2都相切，⊙O的半徑為2cm，矩形ABCD的邊AD、AB分別與l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O與矩形ABCD沿l1同時(shí)向右移動(dòng)，⊙O的移動(dòng)速度為3cm/s，矩形ABCD的移動(dòng)速度為4cm/s，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（1）如圖①，連接OA、AC，則∠OAC的度數(shù)為_(kāi)________°；（2）如圖②，兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后，⊙O到達(dá)⊙O1的位置，矩形ABCD到達(dá)A1B1C1D1的位置，此時(shí)點(diǎn)O1，A1，C1恰好在同一直線上，求圓心O移動(dòng)的距離（即OO1的長(zhǎng)）；（3）在移動(dòng)過(guò)程中，圓心O到矩形對(duì)角線AC所在直線的距離在不斷變化，設(shè)該距離為d（cm），當(dāng)d＜2時(shí)，求t的取值范圍（解答時(shí)可以利用備用圖畫(huà)出相關(guān)示意圖）．整理為word格式整理為word格式整理為word格式3．（2014?泰州）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=﹣x+b（b為常數(shù)，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，半徑為4的⊙O與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，與y軸相交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)D在點(diǎn)E上方．（1）若直線AB與有兩個(gè)交點(diǎn)F、G．①求∠CFE的度數(shù)；②用含b的代數(shù)式表示FG2，并直接寫(xiě)出b的取值范圍；（2）設(shè)b≥5，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使∠CPE=45°？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2014?上海）如圖1，已知在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），射線CE與射線BA交于點(diǎn)G．（1）當(dāng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求CP的長(zhǎng)；（2）連接AP，當(dāng)AP∥CG時(shí)，求弦EF的長(zhǎng)；（3）當(dāng)△AGE是等腰三角形時(shí)，求圓C的半徑長(zhǎng)．5．（2014?常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（，），以點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M．使⊙M與直線OM的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，與x軸，y軸的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D，A（如圖），連接AM．點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)．（1）寫(xiě)出∠AMB的度數(shù)；（2）點(diǎn)Q在射線OP上，且OP?OQ=20，過(guò)點(diǎn)Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交x軸于點(diǎn)E．①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②連接QD，設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t，△QOD的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式及S的取值范圍．整理為word格式整理為word格式整理為word格式6．（2014?漳州）閱讀材料：如圖1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，點(diǎn)P在AB邊上，PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，則PE+PF=OA．（此結(jié)論不必證明，可直接應(yīng)用）（1）【理解與應(yīng)用】如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在AB邊上，PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，則PE+PF的值為_(kāi)________．（2）【類(lèi)比與推理】如圖3，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=4，AD=3，點(diǎn)P在AB邊上，PE∥OB交AC于點(diǎn)E，PF∥OA交BD于點(diǎn)F，求PE+PF的值；（3）【拓展與延伸】如圖4，⊙O的半徑為4，A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C，D的切線CH，DG相交于點(diǎn)M，點(diǎn)P在弦AB上，PE∥BC交AC于點(diǎn)E，PF∥AD于點(diǎn)F，當(dāng)∠ADG=∠BCH=30°時(shí)，PE+PF是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2014?云南）已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO是頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣5），點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求直線DP的解析式（關(guān)系式）；（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D、P的直線與x軸交于點(diǎn)M．問(wèn)在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R（R＞0）為半徑長(zhǎng)畫(huà)圓．得到的圓稱(chēng)為動(dòng)圓P．若設(shè)動(dòng)圓P的半徑長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線與動(dòng)圓P分別相切于點(diǎn)E、F．請(qǐng)?zhí)角笤趧?dòng)圓P中是否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請(qǐng)求出最小面積S的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2014?湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PF，過(guò)點(diǎn)PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．（1）若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；（2）在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)OE=a，OF=b，試用含a的代數(shù)式表示b；（3）作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′，經(jīng)過(guò)M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)Q，連接QE．在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．整理為word格式整理為word格式整理為word格式9．（2014?陜西）問(wèn)題探究（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形，那么請(qǐng)畫(huà)出滿足條件的一個(gè)等腰三角形△APD，并求出此時(shí)BP的長(zhǎng)；（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD=6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQF=90°，求此時(shí)BQ的長(zhǎng)；問(wèn)題解決（3）有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來(lái)監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，問(wèn)在線段CD上是否存在點(diǎn)M，使∠AMB=60°？若存在，請(qǐng)求出符合條件的DM的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2014?成都）如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，過(guò)C作AB的垂線l交⊙O于另一點(diǎn)D，垂足為E．設(shè)P是上異于A，C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F，連接PC與PD，PD交AB于點(diǎn)G．（1）求證：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5，=，求PD的長(zhǎng)；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)=x，tan∠AFD=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（不要求寫(xiě)出x的取值范圍）11．（2014?寧波）木匠黃師傅用長(zhǎng)AB=3，寬BC=2的矩形木板做一個(gè)盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計(jì)了四種方案：方案一：直接鋸一個(gè)半徑最大的圓；方案二：圓心O1、O2分別在CD、AB上，半徑分別是O1C、O2A，鋸兩個(gè)外切的半圓拼成一個(gè)圓；方案三：沿對(duì)角線AC將矩形鋸成兩個(gè)三角形，適當(dāng)平移三角形并鋸一個(gè)最大的圓；方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個(gè)盡可能大的圓．（1）寫(xiě)出方案一中圓的半徑；（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明方案二和方案三中，哪個(gè)圓的半徑較大？（3）在方案四中，設(shè)CE=x（0＜x＜1），圓的半徑為y．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；②當(dāng)x取何值時(shí)圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說(shuō)明四種方案中哪一個(gè)圓形桌面的半徑最大．整理為word格式整理為word格式整理為word格式12．（2014?徐州）如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AD移動(dòng)，以CE為直徑作圓O，點(diǎn)F為圓O與射線BD的公共點(diǎn)，連接EF、CF，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF，EG與圓O相交于點(diǎn)G，連接CG．（1）試說(shuō)明四邊形EFCG是矩形；（2）當(dāng)圓O與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng)，在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，①矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個(gè)最大值或最小值；若不存在，說(shuō)明理由；②求點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)．13．（2014?東昌府區(qū)三模）已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點(diǎn)，BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過(guò)B、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC與⊙O相切；（2）當(dāng)BD=6，sinC=時(shí)，求⊙O的半徑．14．（2014?安徽模擬）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB?r1+AC?r2=AB?h，∴r1+r2=h（1）理解與應(yīng)用如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，試證明：．（2）類(lèi)比與推理邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離的和等于_________；（3）拓展與延伸若邊長(zhǎng)為2的正n邊形A1A2…An內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為r1，r2，…rn，請(qǐng)問(wèn)r1+r2+…rn是否為定值（用含n的式子表示），如果是，請(qǐng)合理猜測(cè)出這個(gè)定值．整理為word格式整理為word格式整理為word格式15．（2014?安徽名校一模）如圖△ABC中∠A=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于D，E為AC邊中點(diǎn)，求證：DE是⊙O的切線．16．（2014?灌南縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于點(diǎn)D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB=10，AD=2，求AC的長(zhǎng)．17．（2014?普陀區(qū)二模）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），過(guò)D作射線DE交AB邊于E，使∠BDE=∠A，以D為圓心、DC的長(zhǎng)為半徑作⊙D．（1）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．（2）當(dāng)⊙D與AB邊相切時(shí)，求BD的長(zhǎng)．（3）如果⊙E是以E為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑的圓，那么當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，⊙D與⊙E相切？18．（2014?江西模擬）如圖，矩形ABCD的邊AB=4，BC=3．一簡(jiǎn)易量角器放置在矩形ABCD內(nèi)，其零度線即半圓O的直徑與邊AB重合，點(diǎn)A處是0刻度，點(diǎn)B處是180刻度．P點(diǎn)是量角器的半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的切線與邊BC、CD（或其延長(zhǎng)線）分別交于點(diǎn)E、F．設(shè)點(diǎn)P的刻度數(shù)為n，∠PAB=α．（1）當(dāng)n=136時(shí)，α=_________，求出α與n的關(guān)系式；（2）在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段EB與EP有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)予證明；（3）在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，F(xiàn)點(diǎn)在直線CD上的位置隨著α的變化而變化，當(dāng)F點(diǎn)在線段CD上時(shí)、在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)、在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，對(duì)應(yīng)的α值分別是多少？（參考數(shù)據(jù)：tan56.3°≈1.5）（4）連接BP，在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在△ABP與△CEF相似的情況？若存在，求出此時(shí)n的值以及相應(yīng)的EF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．整理為word格式整理為word格式整理為word格式19．（2014?廣東一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是8cm，以正方形的中心O為圓心，EF為直徑的半圓切AB于M、切BC于N，已知C為BG的中點(diǎn)，AG交CD于H．P，Q同時(shí)從A出發(fā)，P以1cm/s的速度沿折線ADCG運(yùn)動(dòng)，Q以cm/s的速速沿線段AG方向運(yùn)動(dòng)，P，Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止．P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間記為t．（1）當(dāng)t=4時(shí)，求證：△PEF≌△MEF；（2）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，試判斷PQ與CD的位置關(guān)系；（3）當(dāng)t＞8時(shí)，是否存在t使得=？若存在請(qǐng)求出所有t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（2013?營(yíng)口）如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上的一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D．（1）求證：AC平分∠BAD；（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半徑長(zhǎng)．21．（2013?襄陽(yáng)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線PD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求線段PD的長(zhǎng)．整理為word格式整理為word格式整理為word格式22．（2013?曲靖）如圖，⊙O的直徑AB=10，C、D是圓上的兩點(diǎn)，且．設(shè)過(guò)點(diǎn)D的切線ED交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接OC交AD于點(diǎn)G．（1）求證：DF⊥AF．（2）求OG的長(zhǎng)．23．（2013?德陽(yáng)）如圖，已知AB是⊙O直徑，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線與ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．（1）求證：PC=PG；（2）點(diǎn)C在劣弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為5，若點(diǎn)O到BC的距離為時(shí)，求弦ED的長(zhǎng)．24．（2013?賀州）已知：⊙O的直徑為3，線段AC=4，直線AC和PM分別與⊙O相切于點(diǎn)A，M．（1）求證：點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)；（2）求sin∠PMC的值．25．（2013?蘭州）已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過(guò)D作DE⊥MN于E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半徑．整理為word格式整理為word格式整理為word格式26．（2013?南寧）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，BE交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，AF的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)P．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求線段AP的長(zhǎng)．27．（2013?長(zhǎng)沙）如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，∠DBC=∠BAC．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，∠BAC=30°，求圖中陰影部分的面積．28．（2013?廣安）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點(diǎn)D，連接AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙0的切線．（2）如果⊙0的半徑為5，sin∠ADE=，求BF的長(zhǎng)．29．（2013?沈陽(yáng)）如圖，OC平分∠MON，點(diǎn)A在射線OC上，以點(diǎn)A為圓心，半徑為2的⊙A與OM相切于點(diǎn)B，連接BA并延長(zhǎng)交⊙A于點(diǎn)D，交ON于點(diǎn)E．（1）求證：ON是⊙A的切線；（2）若∠MON=60°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）整理為word格式整理為word格式整理為word格式30．（2013?宜賓）如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F，當(dāng)BD=5，CD=4時(shí)，求AF的值．整理為word格式整理為word格式整理為word格式參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．（2014?攀枝花）如圖，以點(diǎn)P（﹣1，0）為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D兩點(diǎn)（A在D的下方），AD=2，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，得到△MCB．（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀（不必證明），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）動(dòng)直線l從與BM重合的位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時(shí)停止，設(shè)直線l與CM交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，連接MQ、QG．請(qǐng)問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小是否變化？若不變，求出∠MQG的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：圓的綜合題．專(zhuān)題：壓軸題．分析：（1）連接PA，運(yùn)用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑，從而可以求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）由于圓P是中心對(duì)稱(chēng)圖形，顯然射線AP與圓P的交點(diǎn)就是所需畫(huà)的點(diǎn)M，連接MB、MC即可；易證四邊形ACMB是矩形；過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC，垂足為H，易證△MHP≌△AOP，從而求出MH、OH的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）易證點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，從而得到∠MQG=2∠MBG．易得∠OCA=60°，從而得到∠MBG=60°，進(jìn)而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值．解答：解：（1）連接PA，如圖1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2，∴OA=．∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，0），∴OP=1．∴PA==2．∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．（2）連接AP，延長(zhǎng)AP交⊙P于點(diǎn)M，連接MB、MC．如圖2所示，線段MB、MC即為所求作．四邊形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°所得，∴四邊形ACMB是平行四邊形．整理為word格式整理為word格式整理為word格式∵BC是⊙P的直徑，∴∠CAB=90°．∴平行四邊形ACMB是矩形．過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC，垂足為H，如圖2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，）．（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小不變．∵四邊形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵點(diǎn)Q是BE的中點(diǎn)，∴QM=QE=QB=QG．∴點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖3所示．∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，OC=1，OA=，∴tan∠OCA==．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小不變，始終等于120°．整理為word格式整理為word格式整理為word格式點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、特殊角的三角函數(shù)、圖形的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)．證明點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上是解決第三小題的關(guān)鍵．2．（2014?蘇州）如圖，已知l1⊥l2，⊙O與l1，l2都相切，⊙O的半徑為2cm，矩形ABCD的邊AD、AB分別與l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O與矩形ABCD沿l1同時(shí)向右移動(dòng)，⊙O的移動(dòng)速度為3cm/s，矩形ABCD的移動(dòng)速度為4cm/s，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（1）如圖①，連接OA、AC，則∠OAC的度數(shù)為105°；（2）如圖②，兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后，⊙O到達(dá)⊙O1的位置，矩形ABCD到達(dá)A1B1C1D1的位置，此時(shí)點(diǎn)O1，A1，C1恰好在同一直線上，求圓心O移動(dòng)的距離（即OO1的長(zhǎng)）；（3）在移動(dòng)過(guò)程中，圓心O到矩形對(duì)角線AC所在直線的距離在不斷變化，設(shè)該距離為d（cm），當(dāng)d＜2時(shí)，求t的取值范圍（解答時(shí)可以利用備用圖畫(huà)出相關(guān)示意圖）．考點(diǎn)：圓的綜合題．專(zhuān)題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，進(jìn)而得出答案；（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，進(jìn)而得出OO1=3t得出答案即可；（3）①當(dāng)直線AC與⊙O第一次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t1，②當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t2，分別求出即可．解答：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O與l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度數(shù)為：∠OAD+∠DAC=105°，故答案為：105；整理為word格式整理為word格式整理為word格式（2）如圖位置二，當(dāng)O1，A1，C1恰好在同一直線上時(shí)，設(shè)⊙O1與l1的切點(diǎn)為E，連接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①當(dāng)直線AC與⊙O第一次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t1，如圖，此時(shí)⊙O移動(dòng)到⊙O2的位置，矩形ABCD移動(dòng)到A2B2C2D2的位置，設(shè)⊙O2與直線l1，A2C2分別相切于點(diǎn)F，G，連接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t2，記第一次相切時(shí)為位置一，點(diǎn)O1，A1，C1共線時(shí)位置二，第二次相切時(shí)為位置三，由題意知，從位置一到位置二所用時(shí)間與位置二到位置三所用時(shí)間相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，綜上所述，當(dāng)d＜2時(shí)，t的取值范圍是：2﹣＜t＜2+2．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用分類(lèi)討論以及數(shù)形結(jié)合t的值是解題關(guān)鍵．整理為word格式整理為word格式整理為word格式3．（2014?泰州）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=﹣x+b（b為常數(shù)，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，半徑為4的⊙O與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，與y軸相交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)D在點(diǎn)E上方．（1）若直線AB與有兩個(gè)交點(diǎn)F、G．①求∠CFE的度數(shù)；②用含b的代數(shù)式表示FG2，并直接寫(xiě)出b的取值范圍；（2）設(shè)b≥5，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使∠CPE=45°？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：圓的綜合題．專(zhuān)題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）連接CD，EA，利用同一條弦所對(duì)的圓周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB點(diǎn)M，連接OF，利用兩條直線垂直相交求出交點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根據(jù)式子寫(xiě)出b的范圍，（3）當(dāng)b=5時(shí)，直線與圓相切，存在點(diǎn)P，使∠CPE=45°，再利用△APO∽△AOB和△AMP∽△AOB相似得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出OP所在的直線解析式．解答：解：（1）①如圖，∵∠COE=90°∴∠CFE=∠COE=45°，（圓周角定理）②方法一：如圖，作OM⊥AB點(diǎn)M，連接OF，整理為word格式整理為word格式整理為word格式∵OM⊥AB，直線的函數(shù)式為：y=﹣x+b，∴OM所在的直線函數(shù)式為：y=x，∴交點(diǎn)M（b，b）∴OM2=（b）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=FG，∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直線AB與有兩個(gè)交點(diǎn)F、G．∴4≤b＜5，∴FG2=64×（1﹣b2）（4≤b＜5）方法二：①如圖，作OM⊥AB點(diǎn)M，連接OF，∵直線的函數(shù)式為：y=﹣x+b，∴B的坐標(biāo)為（0，b），A的坐標(biāo)為（b，0），∴AB==b，∴sin∠BAO===，整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴sin∠MAO===，∴OM=b，∴在RT△OMF中，F(xiàn)M==∵FG=2FM，∴FG2=4FM2=4（42﹣b2）=64﹣﹣b2=64×（1﹣b2），∵直線AB與有兩個(gè)交點(diǎn)F、G．∴4≤b＜5，∴FG2=64×（1﹣b2）（4≤b＜5）（2）如圖，當(dāng)b=5時(shí)，直線與圓相切，∵在直角坐標(biāo)系中，∠COE=90°，∴∠CPE=∠ODC=45°，∴存在點(diǎn)P，使∠CPE=45°，連接OP，∵P是切點(diǎn)，∴OP⊥AB，∴△APO∽△AOB，∴=，∵OP=r=4，OB=5，AO=，∴=即AP=，∵AB===，作PM⊥AO交AO于點(diǎn)M，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），∵△AMP∽△AOB，∴=整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴=，∴y=，∴x=OM===∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓與一次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用三角形相似求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．（2014?上海）如圖1，已知在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），射線CE與射線BA交于點(diǎn)G．（1）當(dāng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求CP的長(zhǎng)；（2）連接AP，當(dāng)AP∥CG時(shí)，求弦EF的長(zhǎng)；（3）當(dāng)△AGE是等腰三角形時(shí)，求圓C的半徑長(zhǎng)．考點(diǎn)：圓的綜合題．專(zhuān)題：壓軸題．分析：（1）當(dāng)點(diǎn)A在⊙C上時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出AC進(jìn)而得出答案；（2）首先得出四邊形APCE是菱形，進(jìn)而得出CM的長(zhǎng)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CP以及EF的長(zhǎng)；（3）∠GAE≠∠BGC，只能∠AGE=∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，進(jìn)而求出即可．解答：解：（1）如圖1，設(shè)⊙O的半徑為r，當(dāng)點(diǎn)A在⊙C上時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∴BH=AB?cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5，∴此時(shí)CP=r=5；（2）如圖2，若AP∥CE，APCE為平行四邊形，∵CE=CP，∴四邊形APCE是菱形，連接AC、EP，則AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，則∠ACB=∠B，整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如圖3：過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)AQ⊥BC，∵=cosB，AB=5，∴BQ=4，AN=QC=BC﹣BQ=4．∵cosB=，∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°，∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，∴當(dāng)∠AEG=∠GAE時(shí)，A、E、G重合，則△AGE不存在．即∠AEG≠∠GAE∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===．整理為word格式整理為word格式整理為word格式點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用分類(lèi)討論得出△AGE是等腰三角形時(shí)只能∠AGE=∠AEG進(jìn)而求出是解題關(guān)鍵．5．（2014?常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（，），以點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M．使⊙M與直線OM的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，與x軸，y軸的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D，A（如圖），連接AM．點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)．（1）寫(xiě)出∠AMB的度數(shù)；（2）點(diǎn)Q在射線OP上，且OP?OQ=20，過(guò)點(diǎn)Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交x軸于點(diǎn)E．①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②連接QD，設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t，△QOD的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式及S的取值范圍．考點(diǎn)：圓的綜合題．專(zhuān)題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，由點(diǎn)M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，繼而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，繼而可求得∠AMB的度數(shù)；（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD與OM的值，繼而可得OB的長(zhǎng)，又由動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OP?OQ=20，可求得OQ的長(zhǎng)，繼而求得答案；②由OD=2，Q的縱坐標(biāo)為t，即可得S=，然后分別從當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F點(diǎn)，與當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Q點(diǎn)在y軸上，去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，∵點(diǎn)M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，∵OM=AM，∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AMO=90°，∴∠AMB=90°；（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，∴OM==2，OD=2OH=2，∴OB=4，∵動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=5，整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）②∵OD=2，Q的縱坐標(biāo)為t，∴S=．如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F點(diǎn)，∵OP=4，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=，此時(shí)S=；如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Q點(diǎn)在y軸上，∴OP=2，∵OP?OQ=20，∴t=OQ=5，此時(shí)S=；∴S的取值范圍為5≤S≤10．整理為word格式整理為word格式整理為word格式點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想與方程思想的應(yīng)用．6．（2014?漳州）閱讀材料：如圖1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，點(diǎn)P在AB邊上，PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，則PE+PF=OA．（此結(jié)論不必證明，可直接應(yīng)用）（1）【理解與應(yīng)用】如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在AB邊上，PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，則PE+PF的值為．（2）【類(lèi)比與推理】如圖3，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=4，AD=3，點(diǎn)P在AB邊上，PE∥OB交AC于點(diǎn)E，PF∥OA交BD于點(diǎn)F，求PE+PF的值；（3）【拓展與延伸】如圖4，⊙O的半徑為4，A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C，D的切線CH，DG相交于點(diǎn)M，點(diǎn)P在弦AB上，PE∥BC交AC于點(diǎn)E，PF∥AD于點(diǎn)F，當(dāng)∠ADG=∠BCH=30°時(shí)，PE+PF是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：圓的綜合題；等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；弦切角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：壓軸題；探究型．分析：（1）易證：OA=OB，∠AOB=90°，直接運(yùn)用閱讀材料中的結(jié)論即可解決問(wèn)題．（2）易證：OA=OB=OC=0D=，然后由條件PE∥OB，PF∥AO可證△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA，從而可得==1，進(jìn)而求出EP+FP=．（3）易證：AD=BC=4．仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．解答：解：（1）如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．∵AB=BC=2，∴AC=2．∴OA=．整理為word格式整理為word格式整理為word格式∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE+PF=OA=．（2）如圖3，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．∵AB=4，AD=3，∴BD=5．∴OA=OB=OC=OD=．∵PE∥OB，PF∥AO，∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．∴，．∴==1．∴+=1．∴EP+FP=．∴PE+PF的值為．（3）當(dāng)∠ADG=∠BCH=30°時(shí)，PE+PF是定值．理由：連接OA、OB、OC、OD，如圖4∵DG與⊙O相切，∴∠GDA=∠ABD．∵∠ADG=30°，∴∠ABD=30°．∴∠AOD=2∠ABD=60°．∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形．∴AD=OA=4．同理可得：BC=4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴，．∴==1．∴=1．∴PE+PF=4．∴當(dāng)∠ADG=∠BCH=30°時(shí)，PE+PF=4．整理為word格式整理為word格式整理為word格式點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、弦切角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了類(lèi)比聯(lián)想的能力，由一定的綜合性．要求PE+PF的值，想到將相似所得的比式相加是解決本題的關(guān)鍵．7．（2014?云南）已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO是頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣5），點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求直線DP的解析式（關(guān)系式）；（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D、P的直線與x軸交于點(diǎn)M．問(wèn)在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R（R＞0）為半徑長(zhǎng)畫(huà)圓．得到的圓稱(chēng)為動(dòng)圓P．若設(shè)動(dòng)圓P的半徑長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線與動(dòng)圓P分別相切于點(diǎn)E、F．請(qǐng)?zhí)角笤趧?dòng)圓P中是否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請(qǐng)求出最小面積S的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．整理為word格式整理為word格式整理為word格式考點(diǎn)：圓的綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；垂線段最短；勾股定理；切線長(zhǎng)定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：綜合題；壓軸題；存在型；分類(lèi)討論．分析：（1）只需先求出AC中點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式．（2）由于△DOM與△ABC相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，可分兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形相似求出OM的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）易證S△PED=S△PFD．從而有S四邊形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，此時(shí)DE也最短，對(duì)應(yīng)的四邊形DEPF的面積最?。柚谌切蜗嗨?，即可求出DP⊥AC時(shí)DP的值，就可求出四邊形DEPF面積的最小值．解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PH∥OA，交OC于點(diǎn)H，如圖1所示．∵PH∥OA，∴△CHP∽△COA．∴==．∵點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，∴CP=CA．∴HP=OA，CH=CO．∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．∴HP=，CH=2．∴OH=2．∵PH∥OA，∠COA=90°，∴∠CHP=∠COA=90°．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）．設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直線DP上，∴∴∴直線DP的解析式為y=x﹣5．（2）①若△DOM∽△ABC，圖2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴=．∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0．﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．∴=．整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴OM=．∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）②若△DOM∽△CBA，如圖2（2）所示，∵△DOM∽△CBA，∴=．∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=．∴OM=．∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）．綜上所述：若△DOM與△CBA相似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．∴PE=PF=AC=．∵DE、DF都與⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．∴S△PED=S△PFD．∴S四邊形DEPF=2S△PED=2×PE?DE=PE?DE=DE．∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．=DP2﹣．根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，此時(shí)DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最?。逥P⊥AC，∴∠DPC=90°．∴∠AOC=∠DPC．∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC．∴=．∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴=．∴DP=．∴DE2=DP2﹣=（）2﹣=．∴DE=，∴S四邊形DEPF=DE=．∴四邊形DEPF面積的最小值為．整理為word格式整理為word格式整理為word格式點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求直線的解析式、切線長(zhǎng)定理、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，考查了分類(lèi)討論的思想．將求DE的最小值轉(zhuǎn)化為求DP的最小值是解決第3小題的關(guān)鍵．另外，要注意“△DOM與△ABC相似”與“△DOM∽△ABC“之間的區(qū)別．8．（2014?湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PF，過(guò)點(diǎn)PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．（1）若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；（2）在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)OE=a，OF=b，試用含a的代數(shù)式表示b；（3）作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′，經(jīng)過(guò)M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)Q，連接QE．在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：圓的綜合題．專(zhuān)題：壓軸題．整理為word格式整理為word格式整理為word格式分析：（1）連接PM，PN，運(yùn)用△PMF≌△PNE證明；（2）分兩種情況：①當(dāng)t＞1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上；②當(dāng)0＜t≤1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上，再根據(jù)（1）求解，（3）分兩種情況，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，當(dāng)t＞2時(shí)，三角形相似時(shí)還各有兩種情況，根據(jù)比例式求出時(shí)間t．解答：證明：（1）如圖，連接PM，PN，∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PE=PF；（2）解：分兩種情況：①當(dāng)t＞1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，如圖1，由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，②0＜t≤1時(shí)，如圖2，點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上，同理可證△PMF≌△PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON﹣NE=1﹣t，∴b+a=1+t+1﹣t=2，∴b=2﹣a．綜上所述，當(dāng)t＞1時(shí)，b=2+a；當(dāng)0＜t≤1時(shí)，b=2﹣a；整理為word格式整理為word格式整理為word格式（3）存在；①如圖3，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，∵F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，M的坐標(biāo)為（1，0），∴F′（1﹣t，0）∵經(jīng)過(guò)M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1當(dāng)△OEQ∽△MPF∴=∴=，解得，t=，當(dāng)△OEQ∽△MFP時(shí)，∴=，=，解得，t=，②如圖4，當(dāng)t＞2時(shí)，整理為word格式整理為word格式整理為word格式∵F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，∴F′（1﹣t，0）∵經(jīng)過(guò)M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1當(dāng)△OEQ∽△MPF∴=∴=，無(wú)解，當(dāng)△OEQ∽△MFP時(shí)，∴=，=，解得，t=2+，t=2﹣（舍去）所以當(dāng)t=，t=，t=2+時(shí)，使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似．整理為word格式整理為word格式整理為word格式點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是把圓的知識(shí)與全等三角形與相似三角形相結(jié)合找出線段關(guān)系．9．（2014?陜西）問(wèn)題探究（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形，那么請(qǐng)畫(huà)出滿足條件的一個(gè)等腰三角形△APD，并求出此時(shí)BP的長(zhǎng)；（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD=6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQF=90°，求此時(shí)BQ的長(zhǎng)；問(wèn)題解決（3）有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來(lái)監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，問(wèn)在線段CD上是否存在點(diǎn)M，使∠AMB=60°？若存在，請(qǐng)求出符合條件的DM的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：圓的綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系；特殊角的三角函數(shù)值．專(zhuān)題：壓軸題；存在型．分析：（1）由于△PAD是等腰三角形，底邊不定，需三種情況討論，運(yùn)用三角形全等、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)即可解決問(wèn)題．（2）以EF為直徑作⊙O，易證⊙O與BC相切，從而得到符合條件的點(diǎn)Q唯一，然后通過(guò)添加輔助線，借助于正方形、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)即可求出BQ長(zhǎng)．（3）要滿足∠AMB=60°，可構(gòu)造以AB為邊的等邊三角形的外接圓，該圓與線段CD的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)，然后借助于等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，就可算出符合條件的DM長(zhǎng)．解答：解：（1）①作AD的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，如圖①，則PA=PD．∴△PAD是等腰三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=90°．∵PA=PD，AB=DC，∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．∴BP=CP．∵BC=4，∴BP=CP=2．②以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)P′，如圖①，則DA=DP′．∴△P′AD是等腰三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．∵AB=3，BC=4，∴DC=3，DP′=4．∴CP′==．∴BP′=4﹣．整理為word格式整理為word格式整理為word格式③點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)P″，如圖①，則AD=AP″．∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″=．綜上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA=PD，則BP=2；若DP=DA，則BP=4﹣；若AP=AD，則BP=．（2）∵E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，EF=BC．∵BC=12，∴EF=6．以EF為直徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BC，垂足為Q，連接EQ、FQ，如圖②．∵AD⊥BC，AD=6，∴EF與BC之間的距離為3．∴OQ=3∴OQ=OE=3．∴⊙O與BC相切，切點(diǎn)為Q．∵EF為⊙O的直徑，∴∠EQF=90°．過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，如圖②．∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ．∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，∴四邊形OEGQ是正方形．∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，∴BG=．∴BQ=GQ+BG=3+．∴當(dāng)∠EQF=90°時(shí)，BQ的長(zhǎng)為3+．（3）在線段CD上存在點(diǎn)M，使∠AMB=60°．理由如下：以AB為邊，在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG，作GP⊥AB，垂足為P，作AK⊥BG，垂足為K．設(shè)GP與AK交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD，垂足為H，如圖③．則⊙O是△ABG的外接圓，∵△ABG是等邊三角形，GP⊥AB，∴AP=PB=AB．∵AB=270，∴AP=135．∵ED=285，∴OH=285﹣135=150．∵△ABG是等邊三角形，AK⊥BG，∴∠BAK=∠GAK=30°．整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴OP=AP?tan30°=135×=45．∴OA=2OP=90．∴OH＜OA．∴⊙O與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為M，連接MA、MB，如圖③．∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90．．∵OH⊥CD，OH=150，OM=90，∴HM===30．∵AE=400，OP=45，∴DH=400﹣45．若點(diǎn)M在點(diǎn)H的左邊，則DM=DH+HM=400﹣45+30．∵400﹣45+30＞340，∴DM＞CD．∴點(diǎn)M不在線段CD上，應(yīng)舍去．若點(diǎn)M在點(diǎn)H的右邊，則DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．∵400﹣45﹣30＜340，∴DM＜CD．∴點(diǎn)M在線段CD上．綜上所述：在線段CD上存在唯一的點(diǎn)M，使∠AMB=60°，此時(shí)DM的長(zhǎng)為（400﹣45﹣30）米．整理為word格式整理為word格式整理為word格式點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，考查了操作、探究等能力，綜合性非常強(qiáng)．而構(gòu)造等邊三角形及其外接圓是解決本題的關(guān)鍵．10．（2014?成都）如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，過(guò)C作AB的垂線l交⊙O于另一點(diǎn)D，垂足為E．設(shè)P是上異于A，C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F，連接PC與PD，PD交AB于點(diǎn)G．（1）求證：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5，=，求PD的長(zhǎng)；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)=x，tan∠AFD=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（不要求寫(xiě)出x的取值范圍）考點(diǎn)：圓的綜合題．專(zhuān)題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個(gè)角相等或邊長(zhǎng)成比例．因?yàn)轭}中因圓周角易知一對(duì)相等的角，那么另一對(duì)角相等就是我們需要努力的方向，因?yàn)樯婕皥A，傾向于找接近圓的角∠DPF，利用補(bǔ)角在圓內(nèi)作等量代換，等弧對(duì)等角等知識(shí)易得∠DPF=∠APC，則結(jié)論易證．（2）求PD的長(zhǎng)，且此線段在上問(wèn)已證相似的△PDF中，很明顯用相似得成比例，再將其他邊代入是應(yīng)有的思路．利用已知條件易得其他邊長(zhǎng)，則PD可求．（3）因?yàn)轭}目涉及∠AFD與也在第一問(wèn)所得相似的△PDF中，進(jìn)而考慮轉(zhuǎn)化，∠AFD=∠PCA，連接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，過(guò)G點(diǎn)作AB的垂線，若此線過(guò)PB與AC的交點(diǎn)那么結(jié)論易求，因?yàn)楦鶕?jù)三角函數(shù)或三角形與三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所對(duì)的這條高線．但是“此線是否過(guò)PB與AC的交點(diǎn)”？此時(shí)首先需要做的是多畫(huà)幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，觀察我們的猜想．驗(yàn)證得我們的猜想應(yīng)是正確的，可是證明不能靠畫(huà)圖，如何求證此線過(guò)PB與AC的交點(diǎn)是我們解題的關(guān)鍵．常規(guī)作法不易得此結(jié)論，我們可以換另外的輔助線作法，先做垂線，得交點(diǎn)H，然后連接交點(diǎn)與B，再證明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因?yàn)镃、D關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，可以延長(zhǎng)CG考慮P點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．根據(jù)等弧對(duì)等角，可得∠HBG=∠PCA，進(jìn)而得解題思路．解答：（1）證明：∵，∴∠DPF=180°﹣∠APD=180°﹣所對(duì)的圓周角=180°﹣所對(duì)的圓周角=所對(duì)的圓周角=∠APC．在△PAC和△PDF中，，∴△PAC∽△PDF．（2）解：如圖1，連接PO，則由，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都為等腰直角三角形．整理為word格式整理為word格式整理為word格式在Rt△ABC中，∵AC=2BC，∴AB2=BC2+AC2=5BC2，∵AB=5，∴BC=，∴AC=2，∴CE=AC?sin∠BAC=AC?=2?=2，AE=AC?cos∠BAC=AC?=2?=4，∵△AEF為等腰直角三角形，∴EF=AE=4，∴FD=FC+CD=（EF﹣CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．∵△APO為等腰直角三角形，AO=?AB=，∴AP=．∵△PDF∽△PAC，∴，∴，∴PD=．（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB，交AC于H，連接HB，以HB為直徑作圓，連接CG并延長(zhǎng)交⊙O于Q，∵HC⊥CB，GH⊥GB，∴C、G都在以HB為直徑的圓上，∴∠HBG=∠ACQ，整理為word格式整理為word格式整理為word格式∵C、D關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，G在AB上，∴Q、P關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，∴，∴∠PCA=∠ACQ，∴∠HBG=∠PCA．∵△PAC∽△PDF，∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=．∵HG=tan∠HAG?AG=tan∠BAC?AG==，∴y==x．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角、相似三角形、三角函數(shù)等性質(zhì)，前兩問(wèn)思路還算簡(jiǎn)單，但最后一問(wèn)需要熟練的解題技巧需要長(zhǎng)久的磨練總結(jié)．總體來(lái)講本題偏難，學(xué)生練習(xí)時(shí)加強(qiáng)理解，重點(diǎn)理解分析過(guò)程，自己如何找到思路．11．（2014?寧波）木匠黃師傅用長(zhǎng)AB=3，寬BC=2的矩形木板做一個(gè)盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計(jì)了四種方案：方案一：直接鋸一個(gè)半徑最大的圓；方案二：圓心O1、O2分別在CD、AB上，半徑分別是O1C、O2A，鋸兩個(gè)外切的半圓拼成一個(gè)圓；方案三：沿對(duì)角線AC將矩形鋸成兩個(gè)三角形，適當(dāng)平移三角形并鋸一個(gè)最大的圓；方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個(gè)盡可能大的圓．（1）寫(xiě)出方案一中圓的半徑；（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明方案二和方案三中，哪個(gè)圓的半徑較大？（3）在方案四中，設(shè)CE=x（0＜x＜1），圓的半徑為y．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；②當(dāng)x取何值時(shí)圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說(shuō)明四種方案中哪一個(gè)圓形桌面的半徑最大．考點(diǎn)：圓的綜合題．專(zhuān)題：壓軸題．分析：（1）觀察圖易知，截圓的直徑需不超過(guò)長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬中最短的邊，由已知長(zhǎng)寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1．（2）方案二、方案三中求圓的半徑是常規(guī)的利用勾股定理或三角形相似中對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例等性質(zhì)解直角三角形求邊長(zhǎng)的題目．一般都先設(shè)出所求邊長(zhǎng)，而后利用關(guān)系代入表示其他相關(guān)邊長(zhǎng)，方案二中可利用△O1O2E為直角三角形，則滿足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后對(duì)應(yīng)邊成比例整理方程，進(jìn)而可求r的值．整理為word格式整理為word格式整理為word格式（3）①類(lèi)似（1）截圓的直徑需不超過(guò)長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬中最短的邊，雖然方案四中新拼的圖象不一定為矩形，但直徑也不得超過(guò)橫縱向方向跨度．則選擇最小跨度，取其，即為半徑．由EC為x，則新拼圖形水平方向跨度為3﹣x，豎直方向跨度為2+x，則需要先判斷大小，而后分別討論結(jié)論．②已有關(guān)系表達(dá)式，則直接根據(jù)不等式性質(zhì)易得方案四中的最大半徑．另與前三方案比較，即得最終結(jié)論．解答：解：（1）方案一中的最大半徑為1．分析如下：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1；（2）如圖1，方案二中連接O1，O2，過(guò)O1作O1E⊥AB于E，方案三中，過(guò)點(diǎn)O分別作AB，BF的垂線，交于M，N，此時(shí)M，N恰為⊙O與AB，BF的切點(diǎn)．方案二：設(shè)半徑為r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO2﹣CO1=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=．方案三：設(shè)半徑為r，在△AOM和△OFN中，，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得r=．比較知，方案三半徑較大；（3）①∵EC=x，∴新拼圖形水平方向跨度為3﹣x，豎直方向跨度為2+x．類(lèi)似（1），所截出圓的直徑最大為3﹣x或2+x較小的．a(chǎn)．當(dāng)3﹣x＜2+x時(shí)，即當(dāng)1＞x＞時(shí)，y=（3﹣x）；b．當(dāng)3﹣x=2+x時(shí)，即當(dāng)x=時(shí)，y=（3﹣）=；整理為word格式整理為word格式整理為word格式c．當(dāng)3﹣x＞2+x時(shí)，即當(dāng)0＜x＜時(shí)，y=（2+x）．②當(dāng)x＞時(shí)，y=（3﹣x）＜（3﹣）=；當(dāng)x=時(shí)，y=（3﹣）=；當(dāng)x＜時(shí)，y=（2+x）＜（2+）=，∴方案四中，當(dāng)x=時(shí)，y最大為．∵1＜＜＜，∴方案四時(shí)可取的圓桌面積最大．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的基本性質(zhì)及通過(guò)勾股定理、三角形相似等性質(zhì)求解邊長(zhǎng)及分段函數(shù)的表示與性質(zhì)討論等內(nèi)容，題目雖看似新穎不易找到思路，但仔細(xì)觀察每一小問(wèn)都是常規(guī)的基礎(chǔ)考點(diǎn)，所以總體來(lái)說(shuō)是一道質(zhì)量很高的題目，值得認(rèn)真練習(xí)．12．（2014?徐州）如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AD移動(dòng)，以CE為直徑作圓O，點(diǎn)F為圓O與射線BD的公共點(diǎn)，連接EF、CF，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF，EG與圓O相交于點(diǎn)G，連接CG．（1）試說(shuō)明四邊形EFCG是矩形；（2）當(dāng)圓O與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng)，在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，①矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個(gè)最大值或最小值；若不存在，說(shuō)明理由；②求點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)．考點(diǎn)：圓的綜合題；垂線段最短；直角三角形斜邊上的中線；矩形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：壓軸題；存在型．分析：（1）只要證到三個(gè)內(nèi)角等于90°即可．（2）易證點(diǎn)D在⊙O上，根據(jù)圓周角定理可得∠FCE=∠FDE，從而證到△CFE∽△DAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到S矩形EFCG=2S△CFE=．然后只需求出CF的范圍就可求出S矩形EFCG的范圍．根據(jù)圓周角定理和矩形的性質(zhì)可證到∠GDC=∠FDE=定值，從而得到點(diǎn)G的移動(dòng)的路線是線段，只需找到點(diǎn)G的起點(diǎn)與終點(diǎn)，求出該線段的長(zhǎng)度即可．解答：解：（1）證明：如圖1，∵CE為⊙O的直徑，∴∠CFE=∠CGE=90°．∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四邊形EFCG是矩形．（2）①存在．連接OD，如圖2①，整理為word格式整理為word格式整理為word格式∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵點(diǎn)O是CE的中點(diǎn)，∴OD=OC．∴點(diǎn)D在⊙O上．∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴=（）2．∵AD=4，AB=3，∴BD=5，S△CFE=（）2?S△DAB=××3×4=．∴S矩形EFCG=2S△CFE=．∵四邊形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A（E′）處時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)B（F′）處，點(diǎn)G在點(diǎn)D（G′）處，如圖2①所示．此時(shí)，CF=CB=4．Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D（F″）處時(shí)，直徑F″G″⊥BD，如圖2②所示，此時(shí)⊙O與射線BD相切，CF=CD=3．Ⅲ．當(dāng)CF⊥BD時(shí)，CF最小，如圖2③所示．S△BCD=BC?CD=BD?CF∴4×3=5×CF∴CF=．∴≤CF≤4．∵S矩形EFCG=，∴×（）2≤S矩形EFCG≤×42．∴≤S矩形EFCG≤12．整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴矩形EFCG的面積最大值為12，最小值為．②∵∠GDC=∠FDE=定值，點(diǎn)G的起點(diǎn)為D，終點(diǎn)為G″，如圖2②所示，∴點(diǎn)G的移動(dòng)路線是線段DG″．∵∠G″DC=∠BDA，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．∴=．∴=．∴DG″=．∴點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)為．整理為word格式整理為word格式整理為word格式點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、垂線段定理等知識(shí)，考查了動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)的路線長(zhǎng)，綜合性較強(qiáng)．而發(fā)現(xiàn)∠CDG=∠ADB及∠FCE=∠ADB是解決本題的關(guān)鍵．13．（2014?東昌府區(qū)三模）已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點(diǎn)，BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過(guò)B、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC與⊙O相切；（2）當(dāng)BD=6，sinC=時(shí)，求⊙O的半徑．考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形．專(zhuān)題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）連接OE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BD⊥AC，推出∠ABE=∠DBE和∠OBE=∠OEB，得出∠OEB=∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根據(jù)切線的判定定理推出即可；（2）根據(jù)sinC=求出AB=BC=10，設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=10﹣r，得出sinA=sinC=，根據(jù)OE⊥AC，得出sinA===，即可求出半徑．解答：（1）證明：連接OE，∵AB=BC且D是AC中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠DBE，∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE為⊙O半徑，∴AC與⊙O相切．（2）解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC，整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴BC=10，∴AB=BC=10，設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=10﹣r，∵AB=BC，∴∠C=∠A，∴sinA=sinC=，∵AC與⊙O相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC，∴sinA===，∴r=，答：⊙O的半徑是．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，切線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解（1）小題的關(guān)鍵是求出OE∥BD，解（2）小題的關(guān)鍵是得出關(guān)于r的方程，題型較好，難度適中，用了方程思想．14．（2014?安徽模擬）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB?r1+AC?r2=AB?h，∴r1+r2=h（1）理解與應(yīng)用如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，試證明：．（2）類(lèi)比與推理邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離的和等于4；（3）拓展與延伸若邊長(zhǎng)為2的正n邊形A1A2…An內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為r1，r2，…rn，請(qǐng)問(wèn)r1+r2+…rn是否為定值（用含n的式子表示），如果是，請(qǐng)合理猜測(cè)出這個(gè)定值．考點(diǎn)：正多邊形和圓；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．整理為word格式整理為word格式整理為word格式專(zhuān)題：壓軸題；探究型．分析：（1）由條件可以求出邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的高為，連接PA，PB，PC，仿照面積的割補(bǔ)法，得出S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，而這幾個(gè)三角形的底相等，故化簡(jiǎn)后可得出高的關(guān)系．（2）如圖正方形過(guò)正方形內(nèi)的任一點(diǎn)P向四邊做垂線就可以求出到正方形四邊的距離和為正方形邊長(zhǎng)的2倍，從而得出結(jié)論．（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正n邊形時(shí)，根據(jù)正n邊形計(jì)算面積的方法，從中心向各頂點(diǎn)連線，可得出n個(gè)全等的等腰三角形，用邊長(zhǎng)2為底，邊心距為高，可求正n邊形的面積，然后由P點(diǎn)向正n多邊形，又可把正n邊形分割成n個(gè)三角形，以邊長(zhǎng)為底，以r1、r2、…、rn為高表示面積，列出面積的等式，可求證r1+r2+…+rn為定值．解答：解：（1）分別連接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，∴∠ADB=90°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=2，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得∴AD=∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC．∴AB?r1+BC?r2+AC?r3=BC×AD，∵BC=AC=AB，∴r1+r2+r3=AD．∴r1+r2+r3=（2）如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=2．∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，∴四邊形PEBF是矩形，四邊形PFCG是矩形，四邊形PGDH是矩形，四邊形PHAE是矩形，∴PE=AH，PF=BE，PG=HD，PH=AE，∴PE+PF+PG+PH=AH+BE+HD+AE=AD+AB=4．故答案為4．（3）設(shè)正n邊形的邊心距為r，且正n邊形的邊長(zhǎng)為2，∴S正n邊形=×2n×r．r=，∵S正n邊形=×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn，∴×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn=×n，∴r1+r2+…+rn=nr=（為定值）．整理為word格式整理為word格式整理為word格式點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及利用面積分割法，求線段之間的關(guān)系，充分體現(xiàn)了面積法解題的作用．15．（2014?安徽名校一模）如圖△ABC中∠A=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于D，E為AC邊中點(diǎn)，求證：DE是⊙O的切線．考點(diǎn)：切線的判定．專(zhuān)題：證明題；壓軸題．分析：要想證DE是⊙O的切線，只要連接OD，AD，求證∠ODE=90°即可．解答：證明：連接AD、DO；∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵E是AC的中點(diǎn)，∴DE=AE（直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半），∴∠EAD=∠EDA．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=∠EAD+∠DAO=∠CAB=90°．∴OD⊥DE．DE是⊙O的切線．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．16．（2014?灌南縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于點(diǎn)D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB=10，AD=2，求AC的長(zhǎng)．整理為word格式整理為word格式整理為word格式考點(diǎn)：切線的判定；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題．分析：（1）由半徑OA=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠OCA=∠OAC，又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到三角形AOC三個(gè)內(nèi)角和等于180°，等量代換得∠AOC+2∠OCA=180°，在等式兩邊同時(shí)2，把∠ACD=∠AOC代入得到∠ACD與∠OCA相加為90°，可得∠DCO為90°，又OC為半徑，根據(jù)切線的性質(zhì)可得CD為圓O的切線；（2）過(guò)A作AE垂直于OC，交OC于點(diǎn)E，再由（1）得到DC與CO垂直，且AD垂直于CD，根據(jù)垂直定義得到四邊形ADCE三個(gè)角為直角，可得此四邊形為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AD=CE，由AD的長(zhǎng)得到CE的長(zhǎng)，再由直徑AB的長(zhǎng)求出半徑OA的長(zhǎng)，在直角三角形AOE中，由OA及OE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，由AE及CE的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．解答：解：（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，∴∠AOC+2∠OCA=180°，∴∠AOC+∠OCA=90°，∵∠ACD=∠AOC，∴∠ACD+∠OCA=90°，即∠DCO=90°，又∵OC是半徑，∴CD是⊙O的切線；…（3分）（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OC，垂足為E，可得∠AEC=90°，由（1）得∠DCO=90°，∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴四邊形DCEA是矩形，又AD=2，∴CE=AD=2，…（4分）∵AB是直徑，且AB=10，∴OA=OC=5，∴OE=OC﹣CE=5﹣2=3，∴在Rt△AEO中，OA=5，OE=3，根據(jù)勾股定理得：AE==4，…（5分）整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴在Rt△ACE中，CE=2，AE=4，根據(jù)勾股定理得：AC==2．…（6分）點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及切線的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，證明切線的方法有兩種：有點(diǎn)連接圓心與此點(diǎn)，證明垂直；無(wú)點(diǎn)作垂線，證明垂線段長(zhǎng)等于圓的半徑．17．（2014?普陀區(qū)二模）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），過(guò)D作射線DE交AB邊于E，使∠BDE=∠A，以D為圓心、DC的長(zhǎng)為半徑作⊙D．（1）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．（2）當(dāng)⊙D與AB邊相切時(shí)，求BD的長(zhǎng)．（3）如果⊙E是以E為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑的圓，那么當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，⊙D與⊙E相切？考點(diǎn)：圓的綜合題．專(zhuān)題：壓軸題．分析：（1）通過(guò)相似三角形△BDE∽△BAC的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=，把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入并整理得到y(tǒng)=5﹣x（0＜x≤）；（2）如圖，假設(shè)AB與⊙D相切于點(diǎn)F，連接FD．通過(guò)相似三角形△BFD∽△BGA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=．DF=6﹣BD，由勾股定理求得AG=4，BA=5，所以把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入便可以求得BD的長(zhǎng)度；（3）分類(lèi)討論：⊙D與⊙E相外切和內(nèi)切兩種情況．由（1）的相似三角形推知BD=ED．所以如圖2，當(dāng)⊙D與⊙E相外切時(shí)．AE+CD=DE=BD；如圖3，當(dāng)⊙D與⊙E相內(nèi)切時(shí)．CD﹣AE=DE=BD．解答：解：（1）如圖，∵∠B=∠B，∠BDE=∠A，∴△BDE∽△BAC，∴=，∵AB=AC=5，BC=6，BD=x，AE=y，∴=，即y=5﹣x．∵0＜x≤6，且0≤y≤5，∴0＜x≤．綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域?yàn)椋簓=5﹣x（0＜x≤）；（2）如圖，假設(shè)AB與⊙D相切于點(diǎn)F，