數(shù)論.第5講.位值、進(jìn)制與完全平方數(shù)

2-第五第五講位值、進(jìn)制與完全平方數(shù)知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)撥一、位值原理一、位值原理位值原理的定義：同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫(xiě)的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說(shuō)，每一個(gè)數(shù)字除了有自身的一個(gè)值外，還有一個(gè)“位置值”。例如“2”,寫(xiě)在個(gè)位上，就表示2個(gè)一，寫(xiě)在百位上，就表示2個(gè)百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來(lái)表示數(shù)的原則，稱為寫(xiě)數(shù)的位值原理。位值原理的表達(dá)形式：以六位數(shù)為例：a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。二、數(shù)的進(jìn)制我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。二進(jìn)制：在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個(gè)數(shù)字0和1。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、21、22、23、……，二進(jìn)制數(shù)也可以寫(xiě)做展開(kāi)式的形式，例如100110在二進(jìn)制中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：對(duì)于任意自然數(shù)n,我們有n0=1。n進(jìn)制：n進(jìn)制的運(yùn)算法則是“逢n進(jìn)一，借一當(dāng)n”，n進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣，先乘除，后加減；同級(jí)運(yùn)算，先左后右；有括號(hào)時(shí)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的。三、完全平方數(shù)三、完全平方數(shù)1.主要性質(zhì)1.完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3.完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。4.若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)，則p能被整除。2.一些重要的推論1.任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。2.一個(gè)完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3.自然數(shù)的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)（1，5，9）時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5.完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（0，4）時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6.完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字為6時(shí)，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7.凡個(gè)位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個(gè)“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個(gè)位數(shù)字為1，4，93.重點(diǎn)公式回顧：平方差公式：例題精講例題精講板塊一位值原理(美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)把一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)字加以交換，得到一個(gè)新的兩位數(shù)．如果原來(lái)的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45(美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)把一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)字加以交換，得到一個(gè)新的兩位數(shù)．如果原來(lái)的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45，試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？例題1如果一個(gè)自然數(shù)的各個(gè)數(shù)碼之積加上各個(gè)數(shù)碼之和，正好等于這個(gè)自然數(shù)，我們就稱這個(gè)自然數(shù)為“如果一個(gè)自然數(shù)的各個(gè)數(shù)碼之積加上各個(gè)數(shù)碼之和，正好等于這個(gè)自然數(shù)，我們就稱這個(gè)自然數(shù)為“巧數(shù)”。例如，99就是一個(gè)巧數(shù)，因?yàn)?×9＋(9＋9)＝99?？梢宰C明，所有的巧數(shù)都是兩位數(shù)。請(qǐng)你寫(xiě)出所有的巧數(shù)。例題2在兩位自然數(shù)的十位與個(gè)位中間插入0在兩位自然數(shù)的十位與個(gè)位中間插入0～9中的一個(gè)數(shù)碼，這個(gè)兩位數(shù)就變成了三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)數(shù)碼后變成的三位數(shù)，恰好是原來(lái)兩位數(shù)的9倍。求出所有這樣的三位數(shù)。例題3(第五屆希望杯培訓(xùn)試題)有3(第五屆希望杯培訓(xùn)試題)有3個(gè)不同的數(shù)字，用它們組成6個(gè)不同的三位數(shù)，如果這6個(gè)三位數(shù)的和是1554，那么這3個(gè)數(shù)字分別是多少？例題4a，a，b，c分別是中不同的數(shù)碼，用a，b，c共可組成六個(gè)三位數(shù)，如果其中五個(gè)三位數(shù)之和是2234，那么另一個(gè)三位數(shù)是幾？例題5已知.已知.例題6將四位數(shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數(shù)．現(xiàn)有一個(gè)四位數(shù)碼互不相同，且沒(méi)有0將四位數(shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數(shù)．現(xiàn)有一個(gè)四位數(shù)碼互不相同，且沒(méi)有0的四位數(shù)，它比新數(shù)中最大的小3834，比新數(shù)中最小的大4338．求這個(gè)四位數(shù)．例題7一個(gè)六位數(shù)，如果滿足一個(gè)六位數(shù)，如果滿足，則稱為“迎春數(shù)”(例如，則102564就是“迎春數(shù)”)．請(qǐng)你求出所有“迎春數(shù)”的總和．例題8①①________；②；③；④________；⑤若，則________．例題9板塊二數(shù)的進(jìn)制在幾進(jìn)制中有？在幾進(jìn)制中有？例題10在幾進(jìn)制中有？在6在6進(jìn)制中有三位數(shù)，化為9進(jìn)制為，求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少?例題11(2001(2001年人大附中分班考試題)在8進(jìn)制中，一個(gè)多位數(shù)的數(shù)字和為十進(jìn)制中的68，求除以7的余數(shù)為多少？例題12板塊三完全平方數(shù)從1從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)？例題13考慮下列32考慮下列32個(gè)數(shù)：，，，……，，請(qǐng)你去掉其中的一個(gè)數(shù)，使得其余各數(shù)的乘積為一個(gè)完全平方數(shù)，劃去的那個(gè)數(shù)是．例題14一個(gè)自然數(shù)與自身相乘的結(jié)果稱為完全平方數(shù)．已知一個(gè)完全平方數(shù)是四位數(shù)，且各位數(shù)字均小于7一個(gè)自然數(shù)與自身相乘的結(jié)果稱為完全平方數(shù)．已知一個(gè)完全平方數(shù)是四位數(shù)，且各位數(shù)字均小于7．如果把組成它的數(shù)字都加上3，便得到另外一個(gè)完全平方數(shù)，求原來(lái)的四位數(shù)．例題15寫(xiě)出從360寫(xiě)出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)．例題16一個(gè)數(shù)的完全平方有39一個(gè)數(shù)的完全平方有39個(gè)約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是多少？例題17一個(gè)數(shù)減去100一個(gè)數(shù)減去100是一個(gè)平方數(shù)，減去63也是一個(gè)平方數(shù)，問(wèn)這個(gè)數(shù)是多少？例題18能否找到這么一個(gè)數(shù)，它加上24，和減去30所得的兩個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)？?jī)蓚€(gè)完全平方數(shù)的差為77兩個(gè)完全平方數(shù)的差為77，則這兩個(gè)完全平方數(shù)的和最大是多少？最小是多少？例題19(2008(2008年清華附中考題)有兩個(gè)兩位數(shù)，它們的差是14，將它們分別平方，得到的兩個(gè)平方數(shù)的末兩位數(shù)(個(gè)位數(shù)和十位數(shù))相同，那么這兩個(gè)兩位數(shù)是．(請(qǐng)寫(xiě)出所有可能的答案)例題20有5有5個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個(gè)平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個(gè)數(shù)中最小數(shù)的最小值為．例題21家庭作業(yè)家庭作業(yè)將一個(gè)四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過(guò)來(lái)，得到一個(gè)新的四位數(shù)(這個(gè)數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù))，新數(shù)比原數(shù)大8802將一個(gè)四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過(guò)來(lái)，得到一個(gè)新的四位數(shù)(這個(gè)數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù))，新數(shù)比原數(shù)大8802．求原來(lái)的四位數(shù)．練習(xí)1(迎春杯決賽)有三個(gè)數(shù)字能組成6(迎春杯決賽)有三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)，這6個(gè)三位數(shù)的和是288