專題07 二次函數的應用重難點題型專訓【八大題型】（解析版）

專題07二次函數的應用重難點題型專訓【八大題型】【題型目錄】【知識梳理】知識點：二次函數的應用1.審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關系是什么，找出等量關系(即函數關系)。2.設出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設變量的單位要準確。3.列函數表達式，抓住題中含有等量關系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數。4.按題目要求，結合二次函數的性質解答相應的問題。5.檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案。6.寫出答案?！窘浀淅}一圖形面積與周長問題】【例1】（2022·浙江溫州·統考二模）已知拋物線與軸交于A，B兩點，P為拋物線頂點，且當時，y隨的增大而減小，若△ABP為等邊三角形，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將拋物線表達式分別轉化為兩點式和頂點式，得到A（-1，0）、B（5，0）及頂點P（2，-9a）；過點P作與點H，結合等邊三角形的性質，可知，，利用勾股定理計算PH的值，再由計算a值即可．【詳解】解：∵，令，解得，，即A（-1，0）、B（5，0）；∵，∴其頂點坐標為（2，-9a），對稱軸為，∵當時，y隨的增大而減小，∴拋物線開口向上，即，∵△ABP為等邊三角形，∴，如圖，過點P作與點H，則，在中，，又∵，即（），∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數與實際問題（圖形問題）、等邊三角形的性質以及勾股定理的知識，解題關鍵是準確作出圖形并運用數形結合的思想分析問題．【變式訓練】1．（2023·河北石家莊·校聯考模擬預測）如圖，利用一個直角墻角修建一個的四邊形儲料場，其中．若新建墻與總長為，則該儲料場的最大面積是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先添加輔助線，把直角梯形分成矩形和含直角三角形，求出梯形的上、下底和高，最后由梯形面積公式得出面積與之間的函數關系式，根據二次函數的性質直接求解．【詳解】如圖，過點作于點，易得：四邊形為矩形，

∴，，設，∴，，∴，，則四邊形的面積為：，整理得：，∴當長為時，儲料場的面積最大為．故選：．

【點睛】此題考查了梯形的性質、矩形的性質、含角的直角三角形的性質、勾股定理、二次函數的運用，利用梯形的面積建立二次函數是解題的關鍵．3．（2023秋·遼寧大連·九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點在拋物線上，過點A作y軸的垂線，交拋物線于另一點B，點C、D在線段AB上，且C、D兩點關于y軸對稱，過點C作x軸的垂線交拋物線于點E．連接ED，當是等腰直角三角形時，線段CD的長為．【答案】【分析】設與y軸相交于點F，設，根據軸對稱的性質和等腰三角形的性質求出點E的坐標，然后利用待定系數法求解即可．【詳解】解：設與y軸相交于點F，設，∵C、D兩點關于y軸對稱，∴，∴∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵點在拋物線上，∴，解得，∴，把代入，得，解得，（不符合題意，舍去）∴．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，等腰直角三角形的性質，待定系數法求二次函數的解析式，解一元二次方程等知識，掌握以上知識是解題的關鍵．3．（2023春·浙江溫州·八年級?？计谥校┤绾尾眉舫龇弦蟮拈L方形紙片？素材如圖，是腰長為的等腰直角三角形卡紙，校藝術節(jié)上，甲、乙、丙三名同學分別用這樣的卡紙試圖裁剪出不一樣的長方形紙片，并使長方形的四個頂點都在的邊上．

素材甲同學按圖的方式裁剪，想裁出面積為三角形面積的的長方形紙片，乙同學按圖的方式裁剪，想裁出面積為三角形面積的的長方形紙片，丙同學想裁出面積最大的長方形紙片．

任務計算紙片周長請幫甲同學計算此長方形紙片的周長．任務判斷裁剪方案請幫乙同學判斷此裁剪方案是否能夠實現，說明理由．任務計算最大面積請幫丙同學計算出長方形紙片面積的最大值．【答案】任務1：80cm；任務2：乙同學不能實現，見解析；任務3：【分析】任務設，則，依據題意列出方程求得值，再利用正方形的周長公式解答即可；任務設，則，依據題意列出方程，通過計算，方程沒有實數根，說明乙同學的方案不能實現；任務利用配方法，分別求得兩個方案中的面積的最大值即可得出結論．【詳解】解：任務由題意得：，，．設，則，矩形的面積為三角形面積的，，化簡得，解得：或，矩形的邊長為，，周長為；任務由題意得：，，，，．設，則，矩形的面積為三角形面積的，，整理得：．，方程無實數根，乙同學的方案不能實現；任務圖方案：，當時，矩形的面積最大為；圖方案：，當時，面積最大為，長方形紙片面積的最大值為．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，矩形的性質，配方法，二次函數的性質，函數的極值，利用配方法解答是解題的關鍵．【經典例題二圖形運動問題】【例2】（2023·浙江溫州·統考三模）如圖，正方形的邊長為，點P，Q同時從點A出發(fā)，速度均為，若點P沿向點C運動，點Q沿向點C運動，則的面積與運動時間之間函數關系的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分兩種情況討論：當Q、P兩點分別在、上時，可得，；當Q、P兩點分別在、上時，連接，可得，，根據的面積為正方形的面積減去面積、面積和面積，進而有，，綜上可以求出S與t的關系式，即可求解．【詳解】解：當Q、P兩點分別在、上時，，，的面積為：，；當Q、P兩點分別在、上時，連接，如圖所示：根據題意有：，則，∵正方形的邊長為，∴，∴，同理可得，∵根據的面積為正方形的面積減去面積、面積和面積，∴，∴，∴，，則有，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質的知識，掌握函數圖象的性質以及分類討論是解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·浙江寧波·?？寄M預測）已知拋物線：頂點為D，將拋物線向上平移，使得新的拋物線的頂點落在直線l：上，設直線l與y軸的交點為，原拋物線上的點P平移后的對應點為Q，若，則點Q的縱坐標為（）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】先根據頂點的變化規(guī)律寫出平移后的拋物線的解析式，即可求得平移的距離，根據，得出Q點的縱坐標為．【詳解】解：∵，由題意得向上平移后的拋物線解析式為，∴拋物線向上平移了5個單位，由題意得，∵，∴Q點的縱坐標為．故選B．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與幾何變換，二次函數的圖象和性質，二次函數圖象上點的坐標特征，根據題意得到關于x的方程是解題的關鍵．2．（2023春·福建福州·九年級福建省羅源第一中學?？计谥校c在邊長為的正方形的邊上，點在邊上，，則面積的最小值為．【答案】/【分析】將繞點順時針旋轉得到，證明，則，，設，則，在中，由得出，根據二次函數的性質即可求解．【詳解】解：如圖所示，將繞點順時針旋轉得到，則，在中，∴設，則，在中，當時，∴的最小值為故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，二次函數與圖形問題，構造二次函數關系式是解題的關鍵．3．（2020秋·廣東廣州·九年級中山大學附屬中學?？茧A段練習）如圖，在矩形中，，，點P從點A出發(fā)沿AB邊向點B以1個單位每秒的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)沿邊向點C以2個單位每秒的速度移動．如果P，Q兩點在分別到達B，C兩點后就停止移動，設運動時間為t秒，回答下列問題：

(1)運動開始后第幾秒時的面積等于．(2)設五邊形的面積為S，寫出S與t的函數關系式，當t為何值時S最??？求S的最小值．【答案】(1)秒或秒(2)，當時，【分析】（1）設運動開始后第秒時的面積等于，由三角形面積公式即可求解；（2）由即可求解．【詳解】（1）解：設運動開始后第秒時的面積等于，由題意得，整理得：，解得：，，答：運動開始后第秒或秒時的面積等于．（2）解：，，，，當時，；答：，當時，．【點睛】本題考查了一元二次方程及二次函數的應用，根據圖形找出等量關系式，掌握二次函數最值的求法是解題的關鍵．【經典例題三拱橋問題】【例3】（2021秋·浙江紹興·九年級校聯考期中）一座拱橋的示意圖如圖所示，當水面寬為12m時，橋洞頂部離水面4m．已知橋洞的拱形是拋物線，以水平方向為x軸（向右為正向），若A為原點建立坐標系時，該拋物線的表達式為則B為原點建立坐標系時，該拋物線的表達式為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意得出A點坐標，進而利用頂點式求出函數解析式即可．【詳解】解：以B為原點建立坐標系，如圖所示：由題意可得出：，將（﹣12，0）代入得出，，解得：，∴選取點B為坐標原點時的拋物線解析式是：．故選：A．【點睛】此題主要考查了二次函數的應用，利用頂點式求出函數解析式是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·浙江嘉興·九年級校聯考期中）三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同．當水面剛好淹沒小孔時，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當水位下降，大孔水面寬度為14米時，單個小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個小孔的水面寬度為（）A．4米 B．5米 C．2米 D．7米【答案】B【分析】根據題意，可以畫出相應的拋物線，然后即可得到大孔所在拋物線解析式，再求出頂點為A的小孔所在拋物線的解析式，將x=﹣10代入可求解．【詳解】解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，設大孔所在拋物線解析式為y=ax2+，∵BC=10，∴點B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+，∴a=-，∴大孔所在拋物線解析式為y=-x2+，設點A（b，0），則設頂點為A的小孔所在拋物線的解析式為y=m（x﹣b）2，∵EF=14，∴點E的橫坐標為-7，∴點E坐標為（-7，-），

∴-=m（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-（-+b）|=4∴m=-，∴頂點為A的小孔所在拋物線的解析式為y=-（x﹣b）2，∵大孔水面寬度為20米，∴當x=-10時，y=-，∴-=-（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，∴單個小孔的水面寬度=|（+b）-（-+b）|=5（米），故選：B．【點睛】本題考查二次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答．2．（2023·吉林長春·東北師大附中校考三模）如圖，同學們在操場上玩跳大繩游戲，繩甩到最高處時的形狀是拋物線型，搖繩的甲、乙兩名同學拿繩的手的間距為6米，到地面的距離與均為米，繩子甩到最高點C處時，最高點距地面的垂直距離為米．身高為米的小吉站在距點О水平距離為m米處，若他能夠正常跳大繩（繩子甩到最高時超過他的頭頂），則m的取值范圍是．【答案】【分析】根據題意建立直角坐標系，提取出點的坐標求出拋物線解析式，根據能跳繩及高度大于米列不等式即可得到m的值．【詳解】解：以O為坐標原點，所在直線為y軸所在直線為x軸，由題意可得，，，，設拋物線解析式為，將點代入可得，，解得：，∴，∵身高為米的小吉站在距點О水平距離為m米處能夠正常跳大繩，即跳繩高度要高于米，∴，當時，整理得，解得，，即身高為米的小吉站在距點О水平距離1米處和5米處時，繩子恰好在頭頂上，∵繩子甩到最高時要超過他的頭頂，∴，故答案為．【點睛】本題考查二次函數的應用及坐標求法，解題的關鍵是建立適當的直角坐標系，會根據題意得出點的坐標．3．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）某公司生產A型活動板房的成本是每個3500元．圖1表示A型活動板房的一面墻，它由長方形和拋物線構成，長方形的長，寬，拋物線的最高點E到的距離為．

(1)按圖1中所示的平面直角坐標系，求該拋物線的函數表達式；(2)現將A型活動板房改造成為B型活動板房．如圖2，在拋物線與之間的區(qū)域內加裝一扇長方形窗戶，點G、M在上，點F、N在拋物線上，窗戶的成本為150元/．已知，求每個B型活動板房的成本．（每個B型活動板房的成本＝每個A型活動板房的成本＋一扇窗戶的成本）【答案】(1)(2)每個B型活動板房的成本為3725元【分析】（1）根據題意得出，設該拋物線的函數表達式為，利用待定系數法求解即可；（2）根據題意得出，繼而求出矩形的面積，列式求解即可．【詳解】（1）∵長方形的長，寬，拋物線的最高點E到的距離為，∴，∴，∴，設該拋物線的函數表達式為，把代入，得，解得，∴該拋物線的函數表達式為；（2）∵，∴，當時，，∴，，∴，∴（元），所以，每個B型活動板房的成本為3725元．【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，準確理解題意，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．【經典例題四銷售問題】【例4】（2023秋·貴州遵義·九年級統考期末）某商店銷售一種進價為40元/千克的海鮮產品，據調查發(fā)現，月銷售量（千克）與售價（元/千克）之間滿足一次函數關系，部分信息如下表，下列說法錯誤的是（

）售價（元/千克）50607080…銷售量（千克）250240230220…A．與之間的函數關系式為B．當售價為72元時，月銷售利潤為7296元C．當每月購進這種海鮮的總進價不超過5000元時，最大利潤可達到16900元D．銷售這種海鮮產品，每月最高可獲得利潤16900元【答案】C【分析】根據題意，可設與之間的函數關系式為，再把將、代入，聯立方程組，并解出，得出與之間的函數關系式，即可判斷選項A；再根據一次函數的性質，得出當時，月銷售量為千克，然后算出月銷售利潤，即可判斷選項B；設月銷售利潤為，根據月銷售利潤等于每千克的利潤乘以數量，得出，再根據題意，得出月銷售量不超過千克，再根據一次函數，得出售價，然后代入，計算即可判斷選項C；再根據二次函數的性質，即可判斷選項D，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵月銷售量（千克）與售價（元/千克）之間滿足一次函數關系，∴設與之間的函數關系式為，將、代入，可得：，解得：，∴與之間的函數關系式為，故選項A正確；當時，，∴月銷售利潤為：（元），故選項B正確；設月銷售利潤為，∴，∵每月購進這種海鮮的總進價不超過元，∴（千克），即月銷售量不超過千克，∴當時，即，解得：，∴（元），故選項C錯誤；∵，∴當時，有最大值，最大值為，即最高利潤為元，故選項D正確．故選：C【點睛】本題考查了一次函數的應用、求一次函數解析式、二次函數的應用、二次函數的性質，解本題的關鍵在理解題意，正確得出函數解析式．【變式訓練】1．（2023秋·云南臨滄·九年級統考期末）為慶祝第五個中國農民豐收節(jié)，宣傳玉龍縣特色農產品，“迎盛會·慶豐收·促振興”農特產品展銷推薦會在白華生態(tài)農貿市場舉行．某農戶銷售一種商品，成本價為每千克40元，按規(guī)定，該商品每千克的售價不低于成本價，且不高于60元．經調查每天的銷售量（千克）與每千克售價（元）滿足一次函數關系，部分數據如下表：售價（元/千克）405060銷售量（千克）12010080設銷售該商品每天的利潤為（元），則的最大值為（

）A．1800 B．1600 C．1400 D．1200【答案】B【分析】設出與的函數關系式，把，代入求出關系式，再根據題意列出利潤的二次函數關系式，根據二次函數的性質和實際情況求解最大值即可．【詳解】提示：設與的函數關系式，把，代入，得，解得，∴，由題意得，∵，開口方向向下，∴當時，隨的增大而增大，又∵，∴時，（元）．故選：B．【點睛】本題考查了一次函數和二次函數的應用，根據題意列出相關函數關系式是解題的關鍵．2．（2022秋·河北邢臺·九年級?？茧A段練習）某批發(fā)商銷售一種成本是40元/副的防寒手套，當每副防寒手套的售價定為60元時，一天內可賣出100副．經調研得知，該防寒手套的單價每降低1元，每天的銷量可增加10副．（1）當防寒手套的單價在定價的基礎上降低2元時，每天的銷售量為副．（2）該批發(fā)商每天要獲利2240元，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，那么這種防寒手套的售價應降價元．當每副防寒手套的定價為元時，該批發(fā)商可獲得最大利潤．【答案】120655【分析】（1）利用平均每天的銷售量(每副降低的價格)，即可得出結論；（2）設每天利潤為，每副手套應降價元，則化簡求最大值即可．【詳解】解：（1）∵該防寒手套的單價每降低1元，每天的銷量可增加10副，∴當防寒手套的單價在定價的基礎上降低2元時，每天銷售量可增加（副）∴每天的銷量為：（副）故答案為：120；（2）設這種防寒手套的售價應降價元，則每副防寒手套的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為副，依題意得，解得，．∵盡可能讓利于顧客，贏得市場，∴每副防寒手套應降價6元．設利潤為w，依據題意可知，．∵，當時，批發(fā)商可獲得最大利潤．即每副防寒手套的定價為55元．故答案為：6；55.【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及二次函數的應用，解題的關鍵是根據題目中的等量關系列出方程和函數關系式．3．（2023·湖北十堰·統考中考真題）“端午節(jié)”吃粽子是中國傳統習俗，在“端午節(jié)”來臨前，某超市購進一種品牌粽子，每盒進價是40元，并規(guī)定每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350盒，根據以往銷售經驗發(fā)現，當每盒售價定為50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒，設每盒售價為x元，日銷售量為p盒．(1)當時，__________；(2)當每盒售價定為多少元時，日銷售利潤W（元）最大？最大利潤是多少？(3)小強說：“當日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大，”小紅說：“當日銷售利潤不低于8000元時，每盒售價x的范圍為．”你認為他們的說法正確嗎？若正確，請說明理由；若不正確，請直接寫出正確的結論．【答案】(1)(2)當每盒售價定為65元時，日銷售利潤W（元）最大，最大利潤是元．(3)他們的說法正確，理由見解析【分析】（1）根據每盒售價定為50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒，列式計算即可；（2）根據銷售量乘以每盒的利潤得到，根據二次函數的性質即可得到答案；（3）設日銷售額為元，則，根據二次函數的性質即可判斷當日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大，即可判斷小強的說法；當時，由，解得，由拋物線開口向下，得到當時，，即可判斷小紅的說法．【詳解】（1）解：當時，（盒），故答案為：（2）由題意得，，又∵，即，解得，∵，∴當時，W最大，最大值為，∴當每盒售價定為65元時，日銷售利潤W（元）最大，最大利潤是元．（3）他們的說法正確，理由如下：設日銷售額為元，則，∵，∴當時，最大，最大值為，∴當日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大，即小強的說法正確；當時，，解得，∵拋物線開口向下，∴當時，，∴當日銷售利潤不低于元時，每盒售價x的范圍為．故小紅的說法正確．【點睛】此題考查了二次函數的應用，根據題意正確列出函數解析式是基礎，熟練掌握二次函數的性質和正確計算是解題的關鍵．【經典例題五投球問題】【例5】（2022秋·浙江臺州·九年級統考期末）一位運動員在離籃筐水平距離4m處起跳投籃，球運行路線可看作拋物線，當球離開運動員的水平距離為1m時，它與籃筐同高，球運行中的最大高度為3.5m，最后準確落入籃筐，已知籃筐到地面的距離為3.05m，該運動員投籃出手點距離地面的高度為（

）A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m【答案】C【分析】根據圖象，求得圖象上點的坐標，設出函數解析式，代入點求出，進一步求得問題的解．【詳解】解：如圖，以地面為橫軸，距離運動員右側2.5米處的點O畫縱軸，建立平面直角坐標系由題意可知，點C的坐標為（0，3.5），點B的坐標為（1.5，3.05），設函數解析式為y=ax2+3.5，代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05解得，a=-0.2，因此函數解析式為：y=-0.2x2+3.5，當x=-2.5時，y==2.25；所以，球出手時離地面2.25米時才能投中．故選C．【點睛】此題主要考查根據函數的特點，用待定系數法求函數解析式，再進一步利用解析式解決問題．【變式訓練】1．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）把一個距離地面1米的小球豎直向上拋出，該小球距離地面的高度h（米）與所經過的時間t（秒）之間的關系為，若存在兩個不同的t的值，使足球離地面的高度均為a（米），則a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將（0，1）代入求得函數解析式為，再由題意可得方程，由存在兩個不同的的值，使足球離地面的高度均為，故△，即可求出相應的范圍．【詳解】解：將（0，1）代入，得：，解得：，∴，令，則可得方程，∵存在兩個不同的的值，使足球離地面的高度均為，∴方程有兩個不相等的實根，整理得：，△，解得：，又，∴的取值范圍為：，故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是根據題意得到相應的方程及將實際問題轉化為方程問題．2．（2023·吉林長春·統考一模）如圖①是古代的一種遠程投石機，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分，且石塊在離發(fā)射點水平距離米處達到最大高度米．現將該投石機放置在水平地面上的點處，如圖②，石塊從投石機豎直方向上的點處被投出，投向遠處的防御墻，垂直于水平地面且與之間的距離超過米．已知高米，高米，若石塊正好能打中防御墻，設投石機離防御墻的水平距離為米，則的取值范圍是．

【答案】【分析】根據題意得出石塊運動軌跡所在拋物線的頂點坐標是，，設石塊運動軌跡所在拋物線的解析式為，待定系數法求解析式，進而將分別代入解析式，求得的值，即可求解．【詳解】解：依題意，石塊運動軌跡所在拋物線的頂點坐標是，，，設石塊運動軌跡所在拋物線的解析式為，將代入得，∴，令，即，解得：（，舍去），，令，即，解得：（舍去），，∴的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的應用，根據題意求得二次函數的性質是解題的關鍵．3．（2023·河南信陽·?？既＃嵭那蚴侵锌俭w育項目之一．在擲實心球時，實心球被擲出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分，已知小軍在一次擲實心球訓練中，第一次投擲時出手點距地面1.8m，實心球運動至最高點時距地面3.4m，距出手點的水平距離為4m．設實心球擲出后距地面的豎直高度為y（m），實心球距出手點的水平距離為x（m）．如圖，以水平方向為x軸，出手點所在豎直方向為y軸建立平面直角坐標系．

(1)求第一次擲實心球時運動路線所在拋物線的表達式．(2)若實心球投擲成績（即出手點與著陸點的水平距離）達到12.4m為滿分，請判斷小軍第一次投擲實心球能否得滿分．(3)第二次投擲時，實心球運動的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系．記小軍第一次投擲時出手點與著陸點的水平距離為，第二次投擲時出手點與著陸點的水平距離為，則______（填“＞”“＜”“＝”）．【答案】(1)(2)不能得滿分(3)＜【分析】（1）設拋物線的表達式為，將代入解得a即可；（2）令，解得x，與12.4m比較即可；（3）令，解得x，根據（2）所得即可比較與．【詳解】（1）由題意，可知拋物線最高點的坐標為，設拋物線的表達式為，將代入，得，解得．∴第一次擲實心球時運動路線所在拋物線的表達式為；（2）令，解得（負值已舍去），∴實心球出手點與著陸點的水平距離為m．∵，即，∴，∴小軍第一次投擲實心球不能得滿分．（3）∵，解得（負值已舍去），，，，，∴．故答案為：＜．【點睛】本題考查二次函數的應用以及待定系數法求解析式，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．【經典例題六噴水問題】【例6】（2022秋·浙江紹興·九年級新昌縣七星中學?？计谥校W校組織學生去紹興進行研學實踐活動，小王同學發(fā)現在賓館房間的洗手盤臺面上有一瓶洗手液（如圖①）．于是好奇的小王同學進行了實地測量研究．當小王用一定的力按住頂部下壓如圖②位置時，洗手液從噴口B流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口B為該拋物線的頂點．洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形．小王同學測得∶洗手液瓶子的底面直徑，噴嘴位置點距臺面的距離為，且三點共線．小王在距離臺面處接洗手液時，手心到直線的水平距離為，若小王不去接，則洗手液落在臺面的位置距的水平面是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意得出各點坐標，利用待定系數法求拋物線解析式進而求解．【詳解】解：根據題意：所在直線為x軸，的垂直平分線所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，噴口B為拋物線頂點，共線的三點所在直線為拋物線的對稱軸，根據題意，，設拋物線解析式為，將Q點坐標代入解析式得，，解得：，所以拋物線解析式為：，當時，即，解得：，或（舍去），所以洗手液落在臺面的位置距的水平距離是.故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的應用，解決本題的關鍵是明確待定系數法求二次函數的解析式及準確進行計算．【變式訓練】1．（2020秋·浙江湖州·九年級統考期末）同學發(fā)現在賓館房間的洗手盤臺面上有一瓶洗手液（如圖①）．于是好奇的小王同學進行了實地測量研究．當小王用一定的力按住頂部A下壓如圖②位置時，洗手液從噴口B流出，路線近似呈拋物線狀，且a＝﹣．洗手液瓶子的截面圖下部分是矩形CGHD．小王同學測得：洗手液瓶子的底面直徑GH＝12cm，噴嘴位置點B距臺面的距離為16cm，且B、D、H三點共線．小王在距離臺面15.5cm處接洗手液時，手心Q到直線DH的水平距離為3cm，若學校組織學生去南京進行研學實踐活動，若小王不去接，則洗手液落在臺面的位置距DH的水平距離是（）cm．A．12 B．12 C．6 D．6【答案】B【分析】根據題意得出各點坐標，利用待定系數法求拋物線解析式進而求解．【詳解】解：如圖：根據題意，得Q（9，15.5），B（6，16），OH＝6，設拋物線解析式為y＝﹣x2+bx+c，所以拋物線解析式為y＝﹣x2+x+14．當y＝0時，即0＝﹣x2+x+14，解得：x＝6+12（負值舍去），又OH=6，所以洗手液落在臺面的位置距DH的水平距離是12cm．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的應用，解決本題的關鍵是明確待定系數法求二次函數的解析式及準確進行計算．2．（2023·河北保定·?？寄M預測）如圖，這是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．現將噴灌架置于坡度為的坡地底部點O處，草坡上距離O的水平距離為30米處有一棵高度約為米的石榴樹．

（1）噴射出的水流與坡面之間的最大鉛直高度是米；（2）若要對這棵石榴樹進行噴灌，則需將噴灌架向后移動米．【答案】5【分析】（1）設噴射出的水流與坡面之間的鉛直高度為米，則，再根據二次函數的性質求最大值即可；（2）設將噴灌架向后移動米，根據時拋物線上的點的縱坐標值等于時的函數值，再列一元二次方程即可．【詳解】（1）設噴射出的水流與坡面OA之間的鉛直高度為米，則，∴最大鉛直高度是米；（2）設將噴灌架向后移動米，則圖中時拋物線上的點的縱坐標值等于時的函數值，當時，點B的縱坐標為，當時，，解得，（不符合題意，舍去）．故答案為：5．【點睛】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，正確理解題意、熟練掌握待定系數法及二次函數與一元二次方程的關系是解題的關鍵．3．（2023·山東臨沂·統考一模）如圖，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為米如圖，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為米，高出噴水口米，灌溉車到綠化帶的距離為米．(1)求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程；(2)求下邊緣拋物線與軸交點的坐標；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求的取值范圍．【答案】(1)，噴出水的最大射程為(2)點的坐標為(3)【分析】（1）由頂點得，設，再根據拋物線過點，可得的值，從而解決問題；（2）由對稱軸知點的對稱點為，則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，可得點的坐標；（3）根據，求出點的坐標，利用灌溉車行駛時距離綠化帶的增減性可得的最大值和最小值，從而得出答案．【詳解】（1）解：如圖，由題意得是上邊緣拋物線的頂點，設，又拋物線過點，∴，，上邊緣拋物線的函數解析式為，當時，，解得，舍去，噴出水的最大射程為；（2）解：∵對稱軸為直線，點的對稱點為，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，點的坐標為；（3）解：∵，點的縱坐標為，，解得，，，當時，隨的增大而減小，當時，要使，則，當時，隨的增大而增大，且時，，當時，要使，則，，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，的最大值為，再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，的最小值為，綜上所述，的取值范圍是．【點睛】本題考查二次函數的實際應用，掌握待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數與方程的關系等知識，讀懂題意，建立二次函數模型是解題的關鍵．【經典例題七增長率問題】【例7】（2022秋·廣西梧州·九年級統考期中）某市為解決當地教育“大班額”問題，計劃用三年時間完成對相關學校的擴建，年市政府已投資億人民幣，若每年投資的增長率相同，預計年投資額達到億元人民幣，設每年投資的增長率為，則可得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據增長率方程解答．【詳解】設每年投資的增長率為，由題意得，故選：C．【點睛】此題考查增長率二次函數關系式，掌握增長率問題的計算公式：，a是前量，b是后量，x在增長率．【變式訓練】1．（2022秋·安徽淮北·九年級淮北市第二中學校聯考階段練習）進入夏季后，某電器商場為減少庫存，對電熱取暖器連續(xù)進行兩次降價，設平均每次降價的百分率為，降價后的價格為y元，原價為a元，則y與x的函數關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∴第一次降價后的價格是a×(1?x)，第二次降價為a×(1?x)×(1?x)=a(1?x)2∴y=a(1?x)2.故選D.2．（2022春·全國·九年級專題練習）為了打造“清潔能源示范城市”，東營市2016年投入資金2560萬元用于充電樁的安裝，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年在2016年的基礎上增加投入資金3200萬元.（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為多少？（2）2019年東營市計劃再安裝A、B兩種型號的充電樁共200個.已知安裝一個A型充電樁需3.5萬元，安裝一個B型充電樁需4萬元，且A型充電樁的數量不多于B型充電樁的一半.求A、B兩種型號充電樁各安裝多少個時，所需資金最少，最少為多少？【答案】（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為50%；（2）A、B兩種型號充電樁分別安裝66個，134個時所需資金最少，最少為767萬元【分析】(1)設從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為x，根據等量關系，列出方程，即可求解；(2)設安裝A型充電樁a個，則安裝B型充電樁個，所需資金為萬元，列不等式，求出a的范圍，再求出的函數解析式，進而可求出答案.【詳解】（1）設從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為x，根據題意得：，解得:，（舍去）.答：從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為50%；（2）設安裝A型充電樁a個，則安裝B型充電樁個，所需資金為萬元.根據題意，得:，解得:，，∵，∴隨a的增大而減小.∵a為整數，∴當時，最小，最小值為（萬元）.此時，.答：A、B兩種型號充電樁分別安裝66個，134個時，所需資金最少，最少為767萬元.【點睛】本題主要考查一次函數，二次函數以及一元一次不等式的實際應用，找到數量關系，列出函數解析式和一元一次不等式，是解題的關鍵.3．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┠成痰赀M購一商品，第一天每件盈利（毛利潤）10元，銷售500件．(1)第二、三天該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎上，第二、三天的銷售量達到605件，求第二、三天的日平均增長率；(2)經市場調查發(fā)現，在進貨價不變的情況下，若每件漲價1元，日銷量將減少20件．①現要保證每天總毛利潤6000元，同時又要使顧客得到實惠，則每件應張價多少元？②現需按毛利潤的交納各種稅費，人工費每日按銷售量每件支出0.9元，水電房租費每日102元，若剩下的每天總純利潤要達到5100元，則每件漲價應為多少？【答案】(1)(2)①每件應張價5元；②每件漲價應為8元【分析】（1）設第二、三天的日平均增長率為x，利用第三天的銷售量=第一天的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）①設每件應張價y元，則每件盈利（毛利潤）為元，銷售數量為件，根據每件盈利（毛利潤）×銷售數量＝每天總毛利潤列方程求解即可；②設每件漲價應為z元，則每天總毛利潤為元，每天總純利潤為元，根據每天總純利潤要達到5100元，列方程求解即可．【詳解】（1）解：設第二、三天的日平均增長率為x，根據題意，得，解得：，(不符合題意，舍去)，∴，答：第二、三天的日平均增長率為10%．（2）解：①設每件應張價y元，根據題意，得，解得：，，∵要使顧客得到實惠，∴，答：每件應張價5元；②設每件漲價應為z元，根據題意，得，解得：，∴，答：每件漲價應為8元．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，理解題意，設恰當未知數，找出等量關系，列出方程是解題的關鍵．【經典例題八其他問題】【例8】（2023·山東臨沂·統考一模）如圖，一個滑道由滑坡（段）和緩沖帶（段）組成，如圖所示，滑雪者在滑坡上滑行的距離（單位：m）和滑行的時間（單位：s）滿足二次函數關系，并測得相關數據：滑雪者在緩沖帶上滑行的距離（單位：m），和在緩沖帶上滑行時間（單位：s）滿足：，滑雪者從A出發(fā)在緩沖帶上停止，一共用了24s，則滑坡的長度為（

）滑行時間01234滑行距離04.51428.548A．275米 B．384米 C．375米 D．270米【答案】D【分析】由滑行時間為0時，滑行距離為0可得，故設，取兩組數據代入，求出解析式，滑雪者在段對應的二次函數取得最大值時即為滑雪者停下時，由此求出滑雪者在段的滑行時間，即可得出在段的滑行時間，最后代入函數解析式求出段的長度即可．【詳解】解：由滑行時間為0時，滑行距離為0可得，設，取兩組數據代入可得：，解得：，，滑雪者在緩沖帶上滑行時間為：s，滑雪者在滑坡上滑行時間為：s，令，，滑坡的長度為270米．故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數的實際應用，滑雪者在段對應的二次函數取得最大值時即為滑雪者停下時，由此求出滑雪者在段的滑行時間是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023·陜西·模擬預測）如圖，使用家用燃氣灶燒開同一壺水所需的燃氣量y（單位：m3）與旋鈕的旋轉角度x（單位：度）近似滿足函數關系

．如圖記錄了某種家用燃氣灶燒開同一壺水的旋鈕角度x與燃氣量y的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出此燃氣灶燒開一壺水最節(jié)省燃氣的旋鈕角度約為（）A．18° B．28° C．37° D．58°【答案】C【分析】根據已知的三個點可以大致畫出函數圖像，并判斷對稱軸的位置在36和54之間即可選擇答案．【詳解】解：根據題意可知拋物線的開口向上，由已知的三個點描點、連線得到函數的大致圖像，由圖知拋物線的對稱軸的位置在36和54之間，比36稍大，大約37．因此可推斷出此燃氣灶燒開一壺水最節(jié)省燃氣的旋鈕角度約為37°．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握二次函數圖像的對稱性，判斷對稱軸的位置是解題的關鍵．2．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）中國跳水隊被稱為“夢之隊”，跳水運動員在進行跳水訓練時，身體(看成點)在空中的運動路線是如圖所示的拋物線．已知跳板長為1米，距水面的高為3米，C為入水點，訓練時跳水曲線在離起跳點B水平距離1米時達到距水面最大高度k米，分別以、所在直線為橫軸和縱軸，點O為坐標原點建立平面直角坐標系．若跳水運動員在入水時點C與點O的距離在3.5米至4米(含米和4米)才能達到訓練要求，則k的取值范圍是【答案】【分析】根據題意設出拋物線拋物線解析式的頂點式，再根據跳水運動員在入水時點C與點O的距離在3.5米至4米，即當時，，時，解不等式即可得．【詳解】解：根據題意，設拋物線解析式為：，將點代入可得：，即，∴，若跳水運動員在入水時點C與點O的距離在3.5米至4米，則當時，，解得：，當時，，解得：，故，故答案為：．【點睛】此題主要考查了二次函數的應用，根據題意利用頂點式求出二次函數解析式是解題基礎，判斷入水的位置對應的拋物線上點的坐標特點是解題關鍵．3．（2023·北京海淀·?？既＃┨鞓蛑嗅κ堑谝慌徽搅腥敕沁z名錄的雜技藝術，2023年的春晚舞臺上，中幡雜技表演《龍躍神州》成為一大亮點，其中有一個環(huán)節(jié)，若干個雜技演員等距排成一列，由第一位雜技演員將中幡向后高高拋出，最后一位雜技演員用頭部接住中幡，中幡底部在空中運動的路線可以看作是拋物線的一部分．以第一位雜技演員的立足點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，中幡從拋出到被接住的過程中，中幡底部的豎直高度y（單位：m）和水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系．

某次訓練，中幡底部的水平距離x和豎直高度y的幾組數據如下：水平距離x/m00.822.844.8p豎直高度y/m22.963.83.963.62.962根據上述數據，回答下列問題：(1)表格中的______．(2)求滿足條件的拋物線的解析式；(3)若這次訓練相鄰兩位演員的間距都為，最后一位演員身高為，當中幡底部位于距頭部水平距離小于等于0.6米，距頭部豎直距離小于等于0.3米，可以成功接到中幡，若此次訓練成功，則舞臺上至少______位演員．【答案】(1)(2)(3)6【分析】（1）先求出拋物線的對稱軸為直線，再根據對稱性即可得；（2）根據（1）可知拋物線的頂點坐標為，從而可得，，再將點代入計算即可得；（3）設舞臺上有位演員，最后一位演員成功接到中幡時，中幡底部的水平距離為米，則從第一位雜技演員到最后一位演員的水平距離為米，中幡底部的豎直高度米，根據題意建立不等式組，利用二次函數的圖象解不等式組，由此即可得．【詳解】（1）解：由表格可知，拋物線的對稱軸為直線，則由對稱性得：，故答案為：．（2）解：由（1）可知，拋物線的頂點坐標為，則，，將點代入得：，解得，則滿足條件的拋物線的解析式為．（3）解：設舞臺上有位演員，最后一位演員成功接到中幡時，中幡底部的水平距離為米，則從第一位雜技演員到最后一位演員的水平距離為米，中幡底部的豎直高度米，由題意得：，即，解方程得：或，畫出二次函數的圖象如下：

由函數圖象可知，不等式②的解集為或，若此次訓練成功，即不等式組有解，則，解得，，即，，又為正整數，的最小值為6，即舞臺上至少6位演員，故答案為：6．【點睛】本題考查了求二次函數的解析式、二次函數的圖象與性質等知識點，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．【重難點訓練】1．（2023·陜西榆林·統考二模）廊橋是我國古老的文化遺產，如圖是某座下方為拋物線形的廊橋示意圖．已知拋物線的函數表達式為，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面高為8米的點E，F處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離是（

）A．米 B．10米 C．米 D．米【答案】A【分析】已知拋物線上距水面高為8米的E、F兩點，可知E、F兩點縱坐標為8，把代入拋物線解析式，可求E、F兩點的橫坐標，根據拋物線的對稱性求長．【詳解】解：由于兩盞警示燈E、F距離水面都是8米，因而兩盞警示燈之間的水平距離就是直線與拋物線兩交點的橫坐標差的絕對值．故有，即，解得，．所以兩盞警示燈之間的水平距離為：米．故選：A【點睛】本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，注意利用函數對稱的性質來解決問題．2．（2023·浙江臺州·統考一模）游樂園里的大擺錘如圖1所示，它的簡化模型如圖2，當擺錘第一次到達左側最高點A點時開始計時，擺錘相對地面的高度y隨時間t變化的圖象如圖3所示．擺錘從A點出發(fā)再次回到A點需要（

）秒．

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據函數圖象即可解答．【詳解】由函數圖象發(fā)現當擺錘第一次到達左側最高點到第一次到達右側最高點一共用了4秒，從右側最高點回到左側最高點也是4秒，∴擺錘從A點出發(fā)再次回到A點需要秒，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖象，正確從圖象中獲取信息是解題的關鍵．3．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）洗手盤臺面上有一瓶洗手液．當同學用一定的力按住頂部下壓如圖位置時，洗手液從噴口流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口為該拋物線的頂點．洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形．同學測得：洗手液瓶子的底面直徑，噴嘴位置點距臺面的距離為，且、、三點共線．在距離臺面處接洗手液時，手心到直線的水平距離為，不去接則洗手液落在臺面的位置距的水平面是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意得出各點坐標，設拋物線解析式為，利用待定系數法求拋物線解析式進而求解．【詳解】解：如圖：根據題意，得，設拋物線解析式為，把點代入得：，解得：，所以拋物線解析式為，當時，即，解得：或（舍去），又，所以洗手液落在臺面的位置距的水平距離是．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的應用，解決本題的關鍵是明確待定系數法求二次函數的解析式及準確進行計算．4．（2022秋·浙江舟山·九年級校考階段練習）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足的函數關系（a，b，c是常數），如圖記錄了三次實驗的數據．根據上述函數模型和實驗數據，可得到最佳加工時間為（）A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘【答案】C【分析】先結合函數圖象，利用待定系數法求出函數解析式，將解析式配方成頂點式后，利用二次函數的性質可得答案．【詳解】解：由題意知，函數經過點，則，解得：，∴，∴當時，可食用率最高，∴最佳加工時間為3.75分鐘，故選C．【點睛】本題考查二次函數的應用，熟練掌握待定系數法求函數解析式及利用二次函數的圖象和性質求最值問題是解題的關鍵．5．（2023秋·浙江寧波·九年級?？计谀┤鐖D是王叔叔晩飯后步行的路程（單位：）與時間（單位：）的函數圖像，其中曲線段是以為頂點的拋物線的一部分．下列說法正確的是（

）A．線段的函數表達式為B．，王叔叔步行的路程為C．曲線段的函數表達式為D．，王叔叔步行的速度由慢到快【答案】C【分析】根據函數圖象中的信息，利用數形結合及求相關線段的解析式解答即可．【詳解】解：A、設線段的函數解析式為，把代入得，，解得：，∴線段的函數解析式為，故該選項不符合題意；B、，王叔叔步行的路程為m，故該選項不符合題意；C、當時，由圖象可得m，即拋物線頂點為，設拋物線的解析式為將代入得：，解得，∴曲線段的函數解析式為，故該選項符合題意；D、在A點的速度為，A到B點的平均速度為，∴，王叔叔步行的速度由快到慢，故該選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的應用，一次函數的應用，正確的識別圖象、數形結合是解題的關鍵．6．（2021·浙江湖州·模擬預測）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y＝a1x2（a1≠0）與拋物線C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交點P在第三象限，過點P作x軸的平行線，與物線C1，C2分別交于點M，N．若＝，則的值是（

）A． B．n﹣1 C．n D．【答案】B【分析】令，求得P的橫坐標，然后根據兩拋物線的對稱軸求得PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到，即可求得＝n﹣1．【詳解】解：令a1x2＝a2x2+bx，解得x1＝0，x2＝，∴P的橫坐標為，∵拋物線：的對稱軸為y軸，拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，∴PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝n﹣2，∴﹣1＝n﹣2，∴＝n﹣1，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，求得P的橫坐標，表示出PM、PN是解題的關鍵．7．（2022秋·浙江溫州·九年級統考階段練習）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，點C關于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，點G，F分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】利用拋物線的解析式求得點C、D和E的坐標，利用軸對稱的性質和將軍飲馬模型作出點D關于y軸的對稱點，點E關于x軸的對稱點，連接，交x軸于點G，交y軸于點F，此時EDFG周長取最小值，利用點的坐標的性質和勾股定理即可求得結論．【詳解】解：令，則，∴，∵，∴，拋物線的對稱軸為直線，∵點C關于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，∴，∴，作點D關于y軸的對稱點，點E關于x軸的對稱點，連接，交x軸于點G，交y軸于點F，如圖，則，，，，此時，∴此時四邊形EDFG周長最小，延長，它們交于點H，如圖，則，∴，∴四邊形EDFG周長的最小值為，故選B．【點睛】本題考查了二次函數的性質、拋物線與x軸的交點，軸對稱的性質、勾股定理和拋物線上點的坐標的特征，利用軸對稱的性質找出點F和G的位置是解決本題的關鍵．8．（2022秋·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線與軸交于點和點兩點，與軸交于點，點為拋物線上第三象限內一動點，當時，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次函數與坐標軸的交點坐標分別求出、、的長度；然后通過勾股定理逆定理判斷出，得出；由得出；作點關于軸的對稱點，連接；即可構造出，從而得出；根據平行線的斜率相同以及點的坐標求出直線的表達式；最后聯立方程組求解即可；【詳解】解：令，則解得：，∴，∴，，當時，∴∴在中∴∴∴∵∴如圖，作點關于軸的對稱點，連接；則，∴∴∴設直線的表達式為：將代入得：∴直線的表達式為：解方程組得：或∵點在第三象限∴點的坐標為故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖像的性質、一次函數的性質、勾股定理逆定理、直角三角形兩銳角互余等知識點；綜合運用上述知識求出直線的函數表達式是解題的關鍵．9．（2020秋·浙江溫州·九年級期末）一名男生參加拋實心球測試，已知球的高度與水平距離之間的關系是，則這名男生拋實心球的成績是_____．【答案】【分析】根據題意，令，解方程即可求解．【詳解】解：依題意，令中，，即，整理得：解得：（舍去），∴這名男生拋實心球的成績是，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的應用，正確的計算是解題的關鍵．10．（2023秋·浙江湖州·九年級統考期末）教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，建立平面直角坐標系（如圖），發(fā)現鉛球與地面的高度和運動員出手點的水平距離之間的函數關系為，由此可知鉛球的落地點與運動員出手點的水平距離是________m．【答案】10【分析】根據鉛球落地時，高度，實際問題可理解為當時，求的值即可；【詳解】當時，得：，解得：，（舍去）即鉛球的落地點與運動員出手點的水平距離是故答案為：10【點睛】本題考查了二次函數的應用，利用時求出的值是解題關鍵．11．（2022秋·浙江溫州·九年級樂清外國語學校?？茧A段練習）圖1為水壺給圓柱形玻璃杯加水的情景，水流呈拋物線狀流出．水流從出水口A流出，落在玻璃杯內底部邊緣點B處，矩形是該玻璃杯的截面，與該水流所在的拋物線在同一平面內，其示意圖如圖2所示．此拋物線與邊交于點F，經過連接點G，且A，G兩點到直線的鉛直高度相等，都為2分米．已知該玻璃杯底面直徑分米，高分米（玻璃厚度忽略不計），分米，點A到直線的水平距離為分米．則出水口A到連接點G的距離是______分米；隨著該玻璃杯內水面的上升，當水流的落點恰好在水面中心時，該玻璃杯離加滿水還差______分米（假設該水壺的位置、水流的拋物線形狀均保持不變，水量足夠）．【答案】10.21【分析】以所在直線為x軸、所在直線為y軸建立平面直角坐標系，可得點，點G的縱坐標是2，可得到水流所在的拋物線的解析式為，再把代入，可得點G的坐標為；再把代入，即可求解．【詳解】解∶以所在直線為x軸、所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖：根據題意得：點，點G的縱坐標是2，設水流所在的拋物線的解析式為，把代入，得：，解得：，∴水流所在的拋物線的解析式為，當時，，解得：，∴點G的坐標為，∴分米，即出水口A到連接點G的距離是1分米；當時，，分米，即當水流的落點恰好在水面中心時，該玻璃杯離加滿水還差分米．故答案為：1，【點睛】本題主要考查了二次函數的實際應用，明確題意，準確建立平面直角坐標系是解題的關鍵．12．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，正方形的頂點在軸正半軸上，頂點在軸的負半軸上，頂點在第四象限，已知點坐標為，以為頂點的拋物線恰好經過點，則的值為______．【答案】【分析】根據正方形的性質即可得到全等三角形，進而得到線段的長度，最后利用二次函數的待定系數法即可求得結果．【詳解】解：過作軸，交軸于；過點做于，；過點作于，∵∴∵正方形∴且∴∵∴∵，∴在和中∴∴≌∴且∵∴∵∴∵且∴四邊形為正方形∴∴∴∴即∴設函數解析式為∴將代入解析式得到解得：故答案為：【點睛】本題考查了二次函數與正方形性質的綜合應用，掌握二次函數的頂點式與正方形性質的綜合應用是解題的關鍵．13．（2022秋·浙江麗水·九年級校聯考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點，，在第一象限內取一點C，使得，且，拋物線的圖象過點C．（1）該拋物線的表達式為：______；（2）當該拋物線的對稱軸直線l平移至直線后，恰好將的面積分成相等的兩部分，m的值為______．【答案】；【分析】（1）首先構造全等三角形，求出點C的坐標，然后利用點C的坐標求出拋物線的解析式；（2）首先求出直線與的解析式，設直線l與、交于點E、F，則可求出的表達式，根據，列出方程求出直線l的解析式．【詳解】解：（1）過點C作軸于點D，如圖所示：則，∵，，∴，，在與中，，∴，∴，，∴，∴，∵點在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；故答案為：；（2）在中，，，由勾股定理得：，∴，設直線的解析式為，∵，，，:解得：，∴，同理求得直線的解析式為：，設直線l與、分別交于點E、F，則，中，邊上的高，由題意得：，即：，∴，整理得：，解得或（不合題意，舍去），∴當直線l解析式為時，恰好將的面積分為相等的兩部分．故答案為：．【點睛】本題是二次函數綜合題型，考查了二次函數的圖象與性質、一次函數的圖象與性質、待定系數法、全等三角形、平行四邊形、等腰直角三角形等知識點．試題難度一般，但需要仔細分析，認真計算．14．（2022秋·浙江紹興·九年級校聯考期中）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．點D是拋物線上的一個點，作交拋物線于D、E兩點，以線段為對角線作菱形，點P在x軸上，若時，則菱形對角線的長為________．【答案】或【分析】設菱形對角線的交點為M，則，，設點D的橫坐標為t，由此表示出的長，的長，進而可得的長，根據建立方程，求解即可．【詳解】解：如圖，由拋物線的解析式可知，拋物線的對稱軸為直線，設菱形對角線的交點為M，則，，∵點D是拋物線上的一個點，且，設點D的橫坐標為t，∴，∵，∴點D，點E關于對稱軸對稱，∴點P和點Q在對稱軸上，∴，∴，∴，∵，∴，解得，(舍去)，，(舍去)，∴或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查二次函數的綜合應用，涉及二次函數的對稱性，菱形的性質等內容，利用菱形的性質由點D的坐標表示出的長是解題關鍵．三、解答題15．（2023春·浙江杭州·八年級校聯考期中）對于向上拋的物體，如果空氣阻力忽略不計，有下面的關系式：（h是物體離起點的高度，v0是初速度，g是重力系數，取，t是拋出后經過的時間）．雜技演員拋球表演時，以的初速度把球向上拋出，球的起點離開地面．(1)秒時球離起點的高度是多少？(2)幾秒后球離起點的高度達到？(3)球經過多少時間才落地？【答案】(1)秒時球離起點的高度是；(2)秒或秒后球離起點的高度達到；(3)球經過秒后落地．【分析】（1）把代入即可求解；（2）把代入求t即可；（3）令問題可解．【詳解】（1）解：由題意，將分別代入函數關系式，得，當時，代入解得，∴秒時球離起點的高度是；（2）解：當時，，解得．故秒或秒后球離起點的高度達到；（3）解：當球落地時，則，解得（舍去），．故球經過秒后落地．【點睛】本題為二次函數實際應用問題，解答時注意將相應的函數值或自變量值代入函數關系式中求解即可．16．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┠撤鲐毠ぷ餍〗M對果農進行精準扶貧，幫助果農將一種有機生態(tài)水果拓寬了市場．與去年相比，今年這種水果每千克的平均批發(fā)價降低了元，產品比去年增加了，批發(fā)銷售總額比去年增加了．已知去年這種水果批發(fā)銷售總額為萬元．(1)設這種水果去年的產量是千克，請列方程求這種水果去年的產量是多少千克？并求出這種水果今年每千克的平均批發(fā)價？(2)某水果店從果農處直接批發(fā)，專營這種水果．調研發(fā)現，若每千克的平均銷售價為元，則每天可售出千克；若每千克的平均銷售價每降低元，每天可多賣出千克，設水果店一天的利潤為元，求：①若該水果店采取降價催銷的方式銷售水果，水果店一天的利潤為元，則降價多少元？②當每千克的平均銷售價為多少元時，該水果店一天的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤計算時，其它費用忽略不計）【答案】(1)去年產量為千克；今年每千克的平均批發(fā)價為元(2)①降價元；②當每千克的平均銷售價為元時，該水果店一天的利潤最大，最大利潤是元【分析】（1）根據題意，去年產量是千克，今年這種水果產品比去年增加了，由此即可求解；去年這種水果批發(fā)銷售總額為萬元，批發(fā)銷售總額比去年增加了，由此即可求解；（2）①設降價為元，根據銷售利潤的計算方法即可求解；②根據利潤的表達式，結合二次函數圖像的性質即可求解．【詳解】（1）解：設去年產量是千克，今年這種水果產品比去年增加了，∴今年的產量為，∵去年這種水果批發(fā)銷售總額為萬元，今年批發(fā)銷售總額比去年增加了，∴今年批發(fā)銷售總額為（萬元），∴去年每千克的平均批發(fā)價，今年這種水果每千克的平均批發(fā)價降低了元，∴今年每千克的平均批發(fā)價，∴，整理得，，解得，，檢驗：當時，原分式方程有意義，∴去年產量為千克，∴今年每千克的平均批發(fā)價（元），即今年每千克的平均批發(fā)價為元．（2）解：若每千克的平均銷售價為元，則每天可售出千克；若每千克的平均銷售價每降低元，每天可多賣出千克，設水果店一天的利潤為元，①由（1）可知，今年的批發(fā)價是元，每千克的平均銷售價為元，∴每千克的平均利潤為（元），設降價元，則現在每千克平均銷售價為元，則利潤為（元），現在每天賣出千克，∴一天的利潤為（元），當時，，整理得，，解得，（舍去），，∴降價元；②∵利潤為，∴當時，利潤最大，則每千克的銷售價為（元），∴當每千克的平均銷售價為元時，該水果店一天的利潤最大，最大利潤是元．【點睛】本題主要考查方程與實際問題的綜合，理解題目中的數量關系，掌握分式方程的運用，二次函數求最值的方法是解題的關鍵．17．（2023·浙江臺州·統考二模）酶是一種綠色添加劑，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面積，從而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味．下表是A種酶對面粉拉伸面積的影響表．種酶添加量0510152030405060面粉拉伸面積9092.59597.510012012010060下表是B種酶對面粉拉伸面積的影響表．種酶添加量01234567面粉拉伸面積4550555662646256(1)求面粉拉伸面積與種酶的添加量的函數關系式；(2)已知添加種酶時，面粉拉伸面積不小于時，效果較好，如何添加種酶？(3)研究發(fā)現，將兩種酶復合使用，效果更好，而當兩種酶均達到效果最好時復合，效果最好．直接寫出如何添加種酶和種酶，使復合效果最好．【答案】(1)(2)當添加種酶不小于且不大于時，面粉拉伸面積不小于，效果較好；(