2021屆高考數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn)壓軸題06 圓錐曲線(xiàn)離心率及范圍問(wèn)題（通用版解析版）

專(zhuān)題6圓錐曲演離心率及范圍問(wèn)題

離心率在圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中有著重要應(yīng)用，它的變化會(huì)直接導(dǎo)致曲線(xiàn)類(lèi)型和形狀的變化，同時(shí)它又是圓

錐曲線(xiàn)統(tǒng)一定義中的三要素之一.有關(guān)求解圓錐曲線(xiàn)離心率的試題在歷年高考試卷中均有出現(xiàn).

關(guān)于圓錐曲線(xiàn)離心率（范圍）問(wèn)題處理的主體思想是：建立關(guān)于一個(gè)a,仇c的方程（或不等式），然后

再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式應(yīng)該是齊次式.一般建立方程有兩種辦法：①利用圓

錐曲線(xiàn)的定義解決；②利用題中的幾何關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。

另外，不能忽略了圓錐曲線(xiàn)離心率的自身限制條件（橢圓、雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍不一致），否則很

容易產(chǎn)生增根或者擴(kuò)大所求離心率的取值范圍.

一、圓錐曲線(xiàn)的離心率

方法1:利用定義法求離心率

知識(shí)儲(chǔ)備：橢圓和雙曲線(xiàn)的第一定義。

方法技巧：一般情況題中出現(xiàn)圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)聯(lián)系在一起時(shí)，盡量轉(zhuǎn)化為定義去考慮，會(huì)更簡(jiǎn)單!

丫2h

例1.（2015年浙江15題）橢圓去■+%■=1（a>>>0）的右焦點(diǎn)尸（c,0）關(guān)于直線(xiàn)y=的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。在

橢圓上，則橢圓的離心率是.

法一：（當(dāng)時(shí)網(wǎng)上的主流解法）大家上網(wǎng)看到的基本上就是這種解法，此方法入手很容易，但是后期的運(yùn)算

量會(huì)很大，并且此題高次方程的因式分解要求很高（對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)高次方程分解本來(lái)就是一個(gè)盲區(qū)）。

b

【解析】利用點(diǎn)尸關(guān)于直線(xiàn)y=的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。在橢圓上，由b,。的關(guān)系列方程求出橢圓離心率。

c

n_c

由題意可得卜一fb,解得:c3-cb~2bc~

設(shè)〃),m-------7―,n-——

—n—.b--m--+--ca~cr

12c2

（c3-cb2]（2bc2\

代入橢圓方程可得：一一+——4=1，整體得:e2(4/-4e2+l)+4e2=1

/（而J

V2

化筒得：4『+e2T=（）,分解因式：（2e2-1）（2/+e2+1）=0解得：e

根法二：（定義法）這種解法是后來(lái)在做例2（成都診斷考試）的時(shí)候，聯(lián)想到這種解法的。

h

【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為耳，由尸關(guān)于直線(xiàn)y=±x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。在橢圓上,

得到OM_LQR且M為QF中點(diǎn)，

又。為FF的中點(diǎn)，所以O(shè)M為中位線(xiàn)，且

由點(diǎn)到線(xiàn)的距離公式計(jì)算得至上MF=—,

a

再由tanNR9M=上h得到：OM=c—~.所以Q/=2上bc，。片

caa

2bc2c2b=c,即6=立.

據(jù)橢圓定義：。耳+Q尸=2。得到：——+—=2。，化筒得:

aa2

通過(guò)比較我們發(fā)現(xiàn)法二（定義法）計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)潔，不易出錯(cuò).我在給學(xué)生講題的時(shí)候?qū)W生經(jīng)常會(huì)問(wèn)我，

哪個(gè)時(shí)候用定義法，其實(shí)大家只要看到有曲線(xiàn)上的點(diǎn)和焦點(diǎn)有聯(lián)系時(shí)，就可以往定義法多思考一些。

22

例2.（2020成都市高三模擬）.已知點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)事—4=1（。＞0力＞0）左支上一點(diǎn)，耳，人是雙曲

a-b-

線(xiàn)的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，且PRP每=0,線(xiàn)段P用的垂直平分線(xiàn)恰好是該雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，則離心率為

AV2B6C2DA/5

【答案】亞

【解析】由焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為人，得出尸尸2=2匕

h

再根據(jù)題意，得出￡尸_L尸耳,tanNPF也=二所以尸￡=2a

a

根據(jù)橢圓定義：P入一尸￡=2a,即處一2。=2a得到：b=2a,

例3.（2018年新課標(biāo)II卷H題）己知耳，乃是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若「耳，尸行，且

ZPF2Ft=60°,則C的離心率為()

B.2-5/36-1D.>/3-l

【答案】V3-1

【解析】設(shè)橢網(wǎng)焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓方程為三+方=1(。>0/>0).

因?yàn)镹K尸4=90,NPg耳=60,寓閶=2c,所以忸瑪|=(?，歸耳|=辰

設(shè)”為橢圓右焦點(diǎn)，尸2為橢圓左焦點(diǎn)，則歸耳|+歸周=2。，所以(G+l)c=2a,

所以e=￡=1.故選D.

G+i(73+I)(V3-I)

方法2：利用幾何關(guān)系求離心率：

知識(shí)儲(chǔ)備：初高中平面幾何的全部知識(shí)都可以涉及。

22

例1、(2019年新課標(biāo)II文⑵設(shè)F為雙曲線(xiàn)C：—r-v^=1(?>0,b>0)供

a2b2

OF為直徑的圓與圓x2+y2=/交于p、。兩點(diǎn).若『Q|=|Of],則C的離心率為

A.&B.73C.2D.

【答案】A

【解析】解法一：由題意，把％=]代入/+>2=〃，得歸@=2,42一

再由|尸。卜|0目，得2a2一《=c，即筋2=。2,

所以==2,解得e=￡=&.故選A.

aa

解法二：如圖所示，由|PQ|=|O盟可知P。為以O(shè)F為直徑圓的另一條直徑,

所以0代入"+，=/得2a2=。2，

解法三：由=|。目可知PQ為以0尸為直徑圓的另一條直徑,

則[0耳=。=夜.=，e=-=\[2.故選A.

22

rv

例2、（2。18年新課標(biāo)^2題）已知片"是橢圓。/+方=1（。>〃>0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn),

點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為出的直線(xiàn)上，百心為等腰三角形，Nf；鳥(niǎo)尸=120。，則C的離心率為

6

21八11

A.—B.—C.—D.一

3234

【答案】D

【解析】由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，

設(shè)|耳6|=2c,所以AP6鳥(niǎo)為等腰三.角形，且N￡gP=12（）,

1=11|=c,...點(diǎn)尸坐標(biāo)為(c+2ccos60,2csin60),即點(diǎn)尸(2c,J§c).

|PF2FXF2|=2c,

?.?點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)4,且斜率為立的直線(xiàn)匕

6

二百￡=走，解得￡=_L...e=_L,故選D.

2C+Q6a44

易錯(cuò)點(diǎn)：很多同學(xué)將點(diǎn)P畫(huà)在了橢圓上，利用定義法求解導(dǎo)致錯(cuò)誤。

例3.（2020年湖南永州市高三三模II題）已知雙曲線(xiàn)C：二-二=1（。＞0,。＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為

ab~

A,8,左焦點(diǎn)為尸，P為。上一點(diǎn)，且PFJ_x軸，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)/與線(xiàn)段PF交于點(diǎn)M（異于P,E）,

與y軸交于點(diǎn)N,直線(xiàn)MB與y軸交于點(diǎn)"，若小=-6H（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則。的離心率為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】不妨設(shè)P在第二象限，|根|=加，"（0,〃）（〃＞0）,由HN=—3?！敝狽（0,-2〃），

由“網(wǎng)以與人次相似，得色二—~（1）,

2ha

hn

由△30”與△SBW相似，得一=——（2）

mc+a

Ic—ci

（1）,（2）兩式相乘得一=----,即c=3a,離心率為3.選B.

2c+a

點(diǎn)評(píng)：此題類(lèi)似于2016年新課標(biāo)3卷12題

22

例4.已知橢圓三+方=1（。＞人＞0）的半焦距為c（c＞0）,左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A,拋物線(xiàn)

y2=?（a+c）x與橢圓交于民C兩點(diǎn)，若四邊形A3EC是菱形，則橢圓的離心率是（）

O

4812

A.—B.—C.-D.一

151523

【答案】C

22

【解析】由題意得，橢圓

5+y=1(。>〃>0，C為半焦距）,

aF

的左焦點(diǎn)為口，右頂點(diǎn)為A，則A（a,0）1（—c,0）,

拋物線(xiàn)y2="（a+c）x于橢圓交于8,C兩點(diǎn)，

8

5,。兩點(diǎn)關(guān)于4軸對(duì)稱(chēng)，可設(shè)3（以〃）,。（九-〃）,

四邊形A3FC是菱形，二8。，4/,2〃2=。一。，則加=g（a-c）.

將3（〃%〃）代入拋物線(xiàn)方程得，n2—(a+c);n=-(?+€)(?-c)=-(a2

8、'16V八716V

15(i

21再代入橢圓方程1.（…）+空=1

n=77b2,則不妨設(shè)8—b

16224J4/16k

2

化筒得上，L=_L由e=￡,即有4e?-8e+3=0,

a216a

方法3:定義法+幾何關(guān)系結(jié)合

例1.（2020年衡水中學(xué)高三模擬16題）設(shè)橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)是公、玲，過(guò)￡的直線(xiàn)與橢圓C交于P、Q,

若1利卜16勾，且51P用=6忻q,則橢圓的離心率為—

【答案】亞

【解析】由定義可知|尸用+|「&=|。制+|Q周=2a，歷%|=2c.

?.［空卜忻聞，：.\PF2\=2C,歸用=2（a-c）.

???5附|=6忻Q|,QFt=|PF,=/"c）,."Q闖=卜卜.

在△尸石心中，由余弦定理可得cos/尸/居=佇￡,

2c

在△。片心中，由余弦定理可得COSNQ65=網(wǎng)二主.

5c

■:/尸耳瑪+NQ6鳥(niǎo)=180°???cos/尸耳外=—COS/Q6B，

.?.佇￡=_生主，整理得9“=llc,，e=￡=2,

2c5ca11

例2、（2019綿陽(yáng)南山中學(xué)模擬）已知A,B,C是雙曲線(xiàn)1-￡=l（a>0,b>0）上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)AB經(jīng)

a-b~

過(guò)原點(diǎn)O,AC經(jīng)過(guò)右焦尸，若BF_LAC,且3AF=CF,則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）

叵2

A.叵D.

23

【答案】A

【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為廣，連接AF',BF,CF',由04=08,OF=OF',BF1AC,

可得四邊形AFB廣為矩形，設(shè)AF="?,則FC=3/n,

由雙曲線(xiàn)定義知：CF'=5m,AF'=FB=3m,

由雙曲線(xiàn)定義知：AF'-AF=2m=2a,解得〃?=〃，

在AFA尸中,AF2+AF2=FF'2,即/+（3a）2=（2c）2,

即4廿=10。2,即所以e=?

22

X22

例3、（2019年長(zhǎng)郡中學(xué)高三模擬12題）已知雙曲線(xiàn)+—a=1（。＞0力＞。）的左、右焦點(diǎn)分別為片，K，

a

圓V+Vi?與雙曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為加，若抽用=3阿勾.則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）

A.2B.3C.V2D.V3

【答案】D

【解析】根據(jù)題意可畫(huà)出以下圖像，過(guò)M點(diǎn)作片工垂線(xiàn)并交片鳥(niǎo)于點(diǎn)”，

因?yàn)閨阿|=3|摩|,M在雙曲線(xiàn)上，所以根據(jù)雙曲線(xiàn)性質(zhì)可知|阿1TM周=2。，

即31gl叫|=2a,段=a

因?yàn)閳A丁+丁=6的半徑為匕，OM是圓/+；/=〃的半徑，所以="

因?yàn)椤愫?。,眼q=a,=＜?,/+〃=/,

所以NOg=90°,三角形OMg是直角三角形,

因?yàn)镸/7J.OE,,所以，OF2xMH=OMxMF?MH即M點(diǎn)縱坐標(biāo)為他，

CC

b2

將〃點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得/+2-=〃，解得x=—

CC7

b4a2

將M點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線(xiàn)中可得三?一彳=1,

化簡(jiǎn)得Z/1—a'=a'",（02—儀2）—〃4=。2（,2,=3/,=—=\f3,選D.

''a

二、圓錐曲線(xiàn)離心率的取值范圍

方法1：利用三角形三邊關(guān)系建立不等式。

22

例1、（2018年衡水金卷16題）已知橢圓二+==1（">匕>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片（-c,0）,心（c,0）,

ab~

若橢圓上存在點(diǎn)P使---=---成立，則該橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_________.

sinNP好用sinZPF^

【答案】（四-1,1）

【解析】在△「片月中，由正弦定理得儼段=儼用,

12

sin/P耳外sinZPF2F1

則由己知得笆出=網(wǎng)，即4尸6|="居|，-用/叫='歸周|尸用+|「周=2〃得忸用=含，

ac，

由三角形三邊關(guān)系得：a-c<\PF2\<a-^c.,a-c<<ci-Vc

再同除以0整理得/+2e-1>0,解得e<-0-1或e>四-1,又ew（0,l）,

故橢圓的離心率ee（夜故答案為（血

22

例2、已知橢圓C：3+2=1（。>人〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，B，若橢圓。上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)

ah

p,使得為等腰三角形，則橢圓c的離心率的取值范圍是（）.

解析設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為小鳥(niǎo),則△片片工與△66工均為等腰三角形.

由題知，橢圓C上恰有6個(gè)不同點(diǎn)P,使得為等腰三角形，

所以在四個(gè)象限各有一點(diǎn)P,使得鳥(niǎo)為等腰三角形，

由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，只考慮第一象限的情況即可.

①令歸耳|=內(nèi)瑪|=2c,如圖所示，由圖可得a<|P用<a+c,即a<2c<a+c,得;<e<L

②令|P周=|耳國(guó)=2c,如圖所示，由圖可得a-c<|P閭<a,即a—c<2c<a，得;<e<，

綜上可得，離心率e的取值范圍是（g,故選D.

評(píng)注本題利用對(duì)稱(chēng)性減少需考慮的對(duì)象，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了.這種對(duì)稱(chēng)性思想在解決對(duì)稱(chēng)圖形的相關(guān)問(wèn)題

時(shí)應(yīng)用得很普遍，請(qǐng)同學(xué)們嘗試使用.

方法2：利用判別式建立不等式

22

例3、（2020廣東佛山市高三上期檢測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C:5-方=1。>。>0）的右焦點(diǎn)為尸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

若存在直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)F交雙曲線(xiàn)C的右支于A,B兩點(diǎn)，使。4?OB=0,則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是

【答案】匕苴4e<6

2

【解析】設(shè)A（M，X）,3（X2,%），直線(xiàn)/的方程為x=〃7）,+c（0Wm<g）,

b

聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，消去X,得（82加2一。2?2+2〃2/次）+。4=0,

2b2me_b4

所以％+%=一師彳①，另.詼G②.

2

因?yàn)?A?08=%%2+%%=。，即機(jī)+“c（y+y2）+c+y[y2=0,

1/__〃222

代入①②整理，得b4m2-2b2m2c2+c2b2m2—ere1+Z?4=0r0<m2=------<—.

Ire-bb-

由z/—/從之。，得d—/y—a2c2NO,即c4—3a2c2+/2。，e-35+120,解得

人4一“222

4422222422422

由J_r<—,^b-a-ac<0,B|J（c-a）-a-ac<0,c-3ac<0,

be-bb“

所以￡<百.綜上所述，ee[匕且，百）.

a2

方法3：利用角度的余弦值或數(shù)量級(jí)建立不等式

例4、（2020年長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三模擬11題）如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，4,4,

B},當(dāng)為橢圓的頂點(diǎn)，外為右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)用工與4區(qū)交于點(diǎn)P,若N87與為鈍角，則該橢圓的離心率

的取值范圍是（）

A.*,DB.（號(hào)…。與…哼,D

【答案】C

【解析】設(shè)用（0,一與，&（。析），K（c,0），4（a析）.

所以4=（〃,—）），居B]=（―c,—Z?）.

因?yàn)?男尸不為鈍角，所以月4與4人的夾角為銳角,

所以為4=-ac+〃2>0,即。2一02一a?！?。.

兩邊同時(shí)除以"并化簡(jiǎn)得e2+e-l<0,

解得逆二1<0<苴二1,又0<e<l,所以0<e<..

222

22

例5、已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)「一斗=1（。乃>0）的右焦點(diǎn)尸，以尸為圓心，。尸為半徑作圓交雙曲

a~b'

線(xiàn)的漸近線(xiàn)于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A、B,若（MMF）GF<（）,則雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍為（

A.(1,V2)B.(1,2)C.(2,+oo)

【答案】B

【解析】取M為0E中點(diǎn)，則（AO+AF>OF<0等價(jià)于

（2AM）^2MF）<0^MA-MF>0^0<ZAMF<^.

（X-C）2+>2-C2

也就是要求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與>￡“由<b

2y=-x

a

202

解得與=旦，故需竺>二，解得e<2,則ee（l,2）.

cc2

方法4：利用點(diǎn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系建立不等式

例6、（2019年成都市樹(shù)德中學(xué)高三模擬11題）已知耳，瑪分別是雙曲線(xiàn)j=l（。乃>0）的兩個(gè)焦點(diǎn),

a2b2

過(guò)其中一個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)另一條漸近線(xiàn)于點(diǎn)M,若點(diǎn)M在以線(xiàn)段大鳥(niǎo)為

直徑的圓內(nèi)，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（）

A.(1,2)B.(2,+8)C.(1.V2)D.(夜,+8)

【答案】A

【解析】如圖1,不妨設(shè)￡（0,c）,E（0,-c）,則過(guò)人與漸近線(xiàn)^=@》平行的直線(xiàn)為y=@x+c,

bb

a__bc

y=—x+c,xX

b,2/即用（一女）

聯(lián)立《a解得■

尸耳，2a2

)'=一工b元

因M在以線(xiàn)段不入為直徑的圓/+,2=/內(nèi),

圖1

故（—"）2+（為<。2,化簡(jiǎn)得力2<3標(biāo)，即〃一〃<3標(biāo)，解得￡<2,又雙曲線(xiàn)離心率0=￡>1,所以雙曲

2a2aa

線(xiàn)離心率的取值范圍是（1,2）.

例7、（2020年綿陽(yáng)市三臺(tái)中學(xué)二診模擬）橢圓*2+￡=1（0<6<1）的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)

為B,若△7%?的外接圓圓心在直線(xiàn)y=—x的左下方，則該橢圓離心率的取值范圍為（）

【答案】A

【解析】設(shè)/?（一。,0）,4（0,。）,8（。,0）,且此43的外接圓的方程為/+丁+6+4+歹=0,

將尸（一。,0）,4（0,。）,3（。,0）分別代入可得m=二黑,〃=勺。，

由機(jī)+“<0可得—上c+上〃+^/?*—■—c—ic<0,即1—C+〃一c上<0=8一。+h幺—上c<0,

22bbb

1J?

所以一c<0,即^<,2,則e2>_.所以故選A.

22

方法5：利用已知的角度關(guān)系建立不等式

例8、已知橢圓C:靛+鏟=1（。>匕>0）的左焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與C交于A,B兩點(diǎn)，若

ZAFB>150°,則C的離心率的取值范圍為.

【答案】ew（0,.叱烏

【解析】如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為廣，連接AF,BF'

■：AB,FF'互相平分，.?.四邊形AFB廠(chǎng)為平行四邊形NAEB+NEBR'=18O。,

???NAFBN150。，NEBF'<30°由條件知，當(dāng)8在短軸端點(diǎn)與時(shí)，/FBF'最大,

,屈

此時(shí)在RtA^O尸'中,N0y=15°,.*.e=sinZ6>B2F=sml5°

4

...0＜e＜婦烏即一0,漁渣.

44

1上長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上恒存在一點(diǎn)P,使得tan/A,叫=-2后，

則橢圓離心率的取值范圍是（

爭(zhēng)、亭）

(A)(B)(C)(D)

7

解析由題可知當(dāng)尸為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)N4P4為最大，依題意得］2；：：笈嬴=—2#,

等，即。=乎。，若橢圓上恒存在一點(diǎn)P滿(mǎn)足后,

可得tan/OPA

則a...逅即a23c2,所以工…且，即走”e＜l.故選D.

2a33

方法6：利用已知長(zhǎng)度（面積）關(guān)系建立不等式

22

例10、已知直線(xiàn)l-y^kx+2過(guò)橢圓=+:=1（。＞。＞0）的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F,且被圓/+丁=4截

ab

得的弦長(zhǎng)為L(zhǎng),若LN拽，則橢圓離心率e的取值范圍是（）

5

B.(0,哈c（0,李D.(0,卓］

A.

【答案】B

、2

L,416

【解析】依題意有女＜0,設(shè)圓的半徑為「，圓心到直線(xiàn)的距離為d,則屋=，一W4—=—

2755

由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式有d=,2,故<-,\+k2>-,k2>~.

V17F1+公544

直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為：B(O,2),F(-1,O24

,即Z?=2,c=—,=〃+c2=4H--,

kk~

.答案選B

課后訓(xùn)練:

1、（2019年成都市石室中學(xué)高三模擬11題）如圖，雙曲線(xiàn)。：[-5=13＞0,。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別

a-b~

為耳,外，過(guò)乃作線(xiàn)段工尸與C交于點(diǎn)Q,且Q為P工的中點(diǎn).若等腰百鳥(niǎo)的底邊2鳥(niǎo)的長(zhǎng)等于。的

半焦距，則C的離心率為

—2+2>/152C2+2小3

A.----------B.一D.-

732

【答案】V5

【解析】連結(jié)Q"，由條件知Q片上咚且研=會(huì)

由雙曲線(xiàn)定義知|Q6|=2a+],

在RtAF；。6中，2a+￡（勿「

\2)0

解得C的離心率0=2+2后,故選C.

7

y2

2,（2019年河北衡水中學(xué)高三模擬12題）已知橢圓E：二+會(huì)=1（。＞。＞0）的左焦點(diǎn)為6，y軸上的點(diǎn)P

a

6

在橢圓外，且線(xiàn)段「片與橢圓E交于點(diǎn)M,若|。知|=|加大|=號(hào)|8|,則E橢圓的離心率為（）

C.V3—1

AD.---------D.空

-I2

【答案】C

【解析】因?yàn)樗?6。0=30。,/加耳鳥(niǎo)=60。,

連接MF2MF2，則可得三角形MFtF2為直角三角形，在Rt加鳴居中，MFt=c,MF2=&

根據(jù)橢圓的定義:c+百c=2a,所以e=6—l.

廠(chǎng)V

3.（2019年成外半期11題）已知直線(xiàn)丁=乙（火力0）與雙曲線(xiàn)=一金7=1（。＞0/＞0）交于48兩點(diǎn)，以

a-b

AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)尸，若八鉆尸的面積為4a2,則雙曲線(xiàn)的離心率為（

A.72B.#)C.2D.亞

【答案】石

【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為"，連接46，86，則528尸=52底

\AF.\-\AF\=Sa2]A耳|=4”

所以《

扁叫?網(wǎng)=2。

所以|￡尸「=|A[「+\AFf=20a2,

即4c2=20a2,‘2=5/,c=氐，離心率e=-=s/5.

a

4、如圖，在AA3C中，ZC4B=ZCA4=30°,AC.8c邊上的高分別為BD、AE,若以A、B為

焦點(diǎn)，且過(guò)。、E的橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率分別為弓，%,則'的值為

4%

【解析】由于A、B為焦點(diǎn)，設(shè)|AB|=2c,則AE=8D=c;8E=AO=JGc.

a1+y/3

在橢圓中，由橢圓的定義有2a=AD+B。，即c+百c=2a,

42

同理在雙曲線(xiàn)中，有2a=AE+3E,即、&—c=2a,二-1-=刊=無(wú)二^

e2c2

=A/3

e\e2

5、已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過(guò)耳且斜率為2的直線(xiàn)交橢圓E于尸，。兩點(diǎn)，若△尸片工

為直角三角形且歸用＜忻用，則橢圓E的離心率為（）.

A布2c變1

A.-----B.-D.-

33-33

2

解析由題意得尸與，。工，由tan8=2,得sind=cos6=-,

亞

所以歸周=生叵c,儼用=短0,從而|P周+|以4=丹3=20,故e=￡=^.故選A.

x~9

6、以雙曲線(xiàn)J=1的兩焦點(diǎn)為直徑作圓，且該圓在x軸上方交雙曲線(xiàn)于A,B兩點(diǎn);再以線(xiàn)段AB為

a

直徑作圓，且該圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為.

解析由題意畫(huà)出示意圖，如圖所示.

222

x+y=c

以?xún)山裹c(diǎn)片，尸為直徑作圓的方程為爐+尸=。2,聯(lián)立?y2

[a23b-1

a2^c2+/）

2

ayJc2+b2b2

c2（加

得,AB中點(diǎn)C0,—,B

￡[c）

c2

,...,b4a-\c+b-cr-

由圖可知|CB|=|C4j,即/+上=」^一L,化簡(jiǎn)得。=6,所以e='=&.

22

7、(2015年浙江理)如圖,Fi,3分別是雙曲線(xiàn)C:,-3=l(a,b>0)的左右焦點(diǎn),2是虛軸的端點(diǎn)，直線(xiàn)FiB與

C的兩條漸近線(xiàn)分別交于P,Q兩點(diǎn)，線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M.若|M&|=|人尸2|,則C的離心率是

()

A.—B.—C.&D.百

32

【答案】B

【解析】如圖：|0陰=/?,|0/||=，.；/尸片2,。=-

CC

b...

y=-OH-c)

直線(xiàn)PQ為:y=2(x+c),兩條漸近線(xiàn)為:)，=2x.由|:，得?—

cabc-ac-a

山c，得:p(W,旦)..?.直線(xiàn)MN為，區(qū)

bc+aC+Q'c+acc+a

y=~—x

ra

令y=0得:冗2，2?又***|A/F2|=|FIF2|=2C,/.3c=xM=:,

c^-ae-a

解之得:/=￡1=3,即g=顯.

aa22

8.（綿陽(yáng)一診11題）已知M為雙曲線(xiàn)C:二一二二1（。＞0力＞0）的右支上一點(diǎn)，A,尸分別為雙曲線(xiàn)。的

a~h

左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，線(xiàn)段E4的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M,NME4=60°,則。的離心率為（）

A.6B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】為方便運(yùn)算，不妨設(shè)a=1，則A（—1,O）,E（c,O）,\1/

因?yàn)椤鰽RW是正三角形，所以M

即^^—^^=1,所以(c—l)3—3(c+l)=4(c-l),

44(c-l)

(c-l)(c2-2x-3)=3(c+l)(c-l)(c-3)=3,c2-4c=0,/.c=4,

所以離心率e=￡=4.

9、（2017年新課標(biāo)I16題）已知雙曲線(xiàn)C：*■-今=1（。＞0,〃＞0）的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心.，〃為半徑作

圓A,圓A與雙曲線(xiàn)。的一條漸近線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)。若NM4N=60。，則。的離心率為.

【答案】半

b

【解析】如圖所示，APLMN,MN為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)y=-x上的點(diǎn)，A（o,0）,AM=AN=b.

a

因?yàn)锳PLMN，所以NPAN=30,4a,0）到直線(xiàn)y=/x的距離4P=1出1,

0FS

在H/A/NN中，cosPAN=S,代入計(jì)算得/=3匕2,即。=3.

NA

所以0=￡=半=氈

由得c=?,

a四3

10.（2019年衡水中學(xué)高三下期中11題）已知耳，居是雙曲線(xiàn)

￡一￡=1（?！?,。＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)《關(guān)于漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在以巴為圓心，|?，攟為半徑的

圓上，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）.

(A)V3(B)73-1(C)V2(D)2

解析：如圖所示，設(shè)左焦點(diǎn)K關(guān)于漸近線(xiàn)/:＞=—々X對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4'落在圓（x—Cp+y2=c2上,

由幾何性質(zhì)得。耳=。工，MF{=MF2,

所以O(shè)M為△月6片'的中位線(xiàn)，得0MF?F；,

又耳耳，心得耳隹_L。耳且KA=2c,F[F2=c,

故N片寫(xiě)工=30,則2=有，因此e=￡=2.故選D.

aa

X"y'.

11.（2020年湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高三月考11題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是橢圓。：/+萬(wàn)=1（。＞匕＞0）的左

焦點(diǎn)，A,B分別是C的左、右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且小，X軸.過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)I與線(xiàn)段PF交于點(diǎn)M,

與y軸交于點(diǎn)七.若直線(xiàn)BM經(jīng)過(guò)OE的三等分點(diǎn)（靠近。點(diǎn)），則C的離心率為（

123_

(A)(B)(C)-(D)

3234

解析解法一：如圖所示，記OE得三等分點(diǎn)Q（靠近點(diǎn)O）的坐標(biāo)為（0,加），則后（0,3m）,

從而直線(xiàn)AE的方程為：二+」L=i，直線(xiàn)8Q的方程為：±+'=1.

—a3mam

由題意，可設(shè)直線(xiàn)A石與直線(xiàn)BM的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（一c,%）,

所以三+至