2021屆高考數(shù)學圓錐曲線壓軸題06 圓錐曲線離心率及范圍問題（通用版解析版）

專題6圓錐曲演離心率及范圍問題

離心率在圓錐曲線問題中有著重要應用，它的變化會直接導致曲線類型和形狀的變化，同時它又是圓

錐曲線統(tǒng)一定義中的三要素之一.有關求解圓錐曲線離心率的試題在歷年高考試卷中均有出現(xiàn).

關于圓錐曲線離心率（范圍）問題處理的主體思想是：建立關于一個a,仇c的方程（或不等式），然后

再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式應該是齊次式.一般建立方程有兩種辦法：①利用圓

錐曲線的定義解決；②利用題中的幾何關系來解決問題。

另外，不能忽略了圓錐曲線離心率的自身限制條件（橢圓、雙曲線離心率的取值范圍不一致），否則很

容易產(chǎn)生增根或者擴大所求離心率的取值范圍.

一、圓錐曲線的離心率

方法1:利用定義法求離心率

知識儲備：橢圓和雙曲線的第一定義。

方法技巧：一般情況題中出現(xiàn)圓錐曲線上的點與焦點聯(lián)系在一起時，盡量轉化為定義去考慮，會更簡單!

丫2h

例1.（2015年浙江15題）橢圓去■+%■=1（a>>>0）的右焦點尸（c,0）關于直線y=的對稱點。在

橢圓上，則橢圓的離心率是.

法一：（當時網(wǎng)上的主流解法）大家上網(wǎng)看到的基本上就是這種解法，此方法入手很容易，但是后期的運算

量會很大，并且此題高次方程的因式分解要求很高（對大部分學生來說高次方程分解本來就是一個盲區(qū)）。

b

【解析】利用點尸關于直線y=的對稱點。在橢圓上，由b,。的關系列方程求出橢圓離心率。

c

n_c

由題意可得卜一fb,解得:c3-cb~2bc~

設〃),m-------7―,n-——

—n—.b--m--+--ca~cr

12c2

（c3-cb2]（2bc2\

代入橢圓方程可得：一一+——4=1，整體得:e2(4/-4e2+l)+4e2=1

/（而J

V2

化筒得：4『+e2T=（）,分解因式：（2e2-1）（2/+e2+1）=0解得：e

根法二：（定義法）這種解法是后來在做例2（成都診斷考試）的時候，聯(lián)想到這種解法的。

h

【解析】設左焦點為耳，由尸關于直線y=±x的對稱點。在橢圓上,

得到OM_LQR且M為QF中點，

又。為FF的中點，所以OM為中位線，且

由點到線的距離公式計算得至上MF=—,

a

再由tanNR9M=上h得到：OM=c—~.所以Q/=2上bc，。片

caa

2bc2c2b=c,即6=立.

據(jù)橢圓定義：。耳+Q尸=2。得到：——+—=2。，化筒得:

aa2

通過比較我們發(fā)現(xiàn)法二（定義法）計算過程更加簡潔，不易出錯.我在給學生講題的時候學生經(jīng)常會問我，

哪個時候用定義法，其實大家只要看到有曲線上的點和焦點有聯(lián)系時，就可以往定義法多思考一些。

22

例2.（2020成都市高三模擬）.已知點P是雙曲線事—4=1（。＞0力＞0）左支上一點，耳，人是雙曲

a-b-

線的左右兩個焦點，且PRP每=0,線段P用的垂直平分線恰好是該雙曲線的一條漸近線，則離心率為

AV2B6C2DA/5

【答案】亞

【解析】由焦點到漸近線的距離為人，得出尸尸2=2匕

h

再根據(jù)題意，得出￡尸_L尸耳,tanNPF也=二所以尸￡=2a

a

根據(jù)橢圓定義：P入一尸￡=2a,即處一2。=2a得到：b=2a,

例3.（2018年新課標II卷H題）己知耳，乃是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若「耳，尸行，且

ZPF2Ft=60°,則C的離心率為()

B.2-5/36-1D.>/3-l

【答案】V3-1

【解析】設橢網(wǎng)焦點在x軸上，則橢圓方程為三+方=1(。>0/>0).

因為NK尸4=90,NPg耳=60,寓閶=2c,所以忸瑪|=(?，歸耳|=辰

設”為橢圓右焦點，尸2為橢圓左焦點，則歸耳|+歸周=2。，所以(G+l)c=2a,

所以e=￡=1.故選D.

G+i(73+I)(V3-I)

方法2：利用幾何關系求離心率：

知識儲備：初高中平面幾何的全部知識都可以涉及。

22

例1、(2019年新課標II文⑵設F為雙曲線C：—r-v^=1(?>0,b>0)供

a2b2

OF為直徑的圓與圓x2+y2=/交于p、。兩點.若『Q|=|Of],則C的離心率為

A.&B.73C.2D.

【答案】A

【解析】解法一：由題意，把％=]代入/+>2=〃，得歸@=2,42一

再由|尸。卜|0目，得2a2一《=c，即筋2=。2,

所以==2,解得e=￡=&.故選A.

aa

解法二：如圖所示，由|PQ|=|O盟可知P。為以OF為直徑圓的另一條直徑,

所以0代入"+，=/得2a2=。2，

解法三：由=|。目可知PQ為以0尸為直徑圓的另一條直徑,

則[0耳=。=夜.=，e=-=\[2.故選A.

22

rv

例2、（2。18年新課標^2題）已知片"是橢圓。/+方=1（。>〃>0）的左、右焦點，A是C的左頂點,

點P在過A且斜率為出的直線上，百心為等腰三角形，Nf；鳥尸=120。，則C的離心率為

6

21八11

A.—B.—C.—D.一

3234

【答案】D

【解析】由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，

設|耳6|=2c,所以AP6鳥為等腰三.角形，且N￡gP=12（）,

1=11|=c,...點尸坐標為(c+2ccos60,2csin60),即點尸(2c,J§c).

|PF2FXF2|=2c,

?.?點P在過點4,且斜率為立的直線匕

6

二百￡=走，解得￡=_L...e=_L,故選D.

2C+Q6a44

易錯點：很多同學將點P畫在了橢圓上，利用定義法求解導致錯誤。

例3.（2020年湖南永州市高三三模II題）已知雙曲線C：二-二=1（。＞0,。＞0）的左、右頂點分別為

ab~

A,8,左焦點為尸，P為。上一點，且PFJ_x軸，過點A的直線/與線段PF交于點M（異于P,E）,

與y軸交于點N,直線MB與y軸交于點"，若小=-6H（。為坐標原點），則。的離心率為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】不妨設P在第二象限，|根|=加，"（0,〃）（〃＞0）,由HN=—3?！敝狽（0,-2〃），

由“網(wǎng)以與人次相似，得色二—~（1）,

2ha

hn

由△30”與△SBW相似，得一=——（2）

mc+a

Ic—ci

（1）,（2）兩式相乘得一=----,即c=3a,離心率為3.選B.

2c+a

點評：此題類似于2016年新課標3卷12題

22

例4.已知橢圓三+方=1（。＞人＞0）的半焦距為c（c＞0）,左焦點為F，右頂點為A,拋物線

y2=?（a+c）x與橢圓交于民C兩點，若四邊形A3EC是菱形，則橢圓的離心率是（）

O

4812

A.—B.—C.-D.一

151523

【答案】C

22

【解析】由題意得，橢圓

5+y=1(。>〃>0，C為半焦距）,

aF

的左焦點為口，右頂點為A，則A（a,0）1（—c,0）,

拋物線y2="（a+c）x于橢圓交于8,C兩點，

8

5,。兩點關于4軸對稱，可設3（以〃）,。（九-〃）,

四邊形A3FC是菱形，二8。，4/,2〃2=。一。，則加=g（a-c）.

將3（〃%〃）代入拋物線方程得，n2—(a+c);n=-(?+€)(?-c)=-(a2

8、'16V八716V

15(i

21再代入橢圓方程1.（…）+空=1

n=77b2,則不妨設8—b

16224J4/16k

2

化筒得上，L=_L由e=￡,即有4e?-8e+3=0,

a216a

方法3:定義法+幾何關系結合

例1.（2020年衡水中學高三模擬16題）設橢圓C的兩個焦點是公、玲，過￡的直線與橢圓C交于P、Q,

若1利卜16勾，且51P用=6忻q,則橢圓的離心率為—

【答案】亞

【解析】由定義可知|尸用+|「&=|。制+|Q周=2a，歷%|=2c.

?.［空卜忻聞，：.\PF2\=2C,歸用=2（a-c）.

???5附|=6忻Q|,QFt=|PF,=/"c）,."Q闖=卜卜.

在△尸石心中，由余弦定理可得cos/尸/居=佇￡,

2c

在△。片心中，由余弦定理可得COSNQ65=網(wǎng)二主.

5c

■:/尸耳瑪+NQ6鳥=180°???cos/尸耳外=—COS/Q6B，

.?.佇￡=_生主，整理得9“=llc,，e=￡=2,

2c5ca11

例2、（2019綿陽南山中學模擬）已知A,B,C是雙曲線1-￡=l（a>0,b>0）上的三個點，直線AB經(jīng)

a-b~

過原點O,AC經(jīng)過右焦尸，若BF_LAC,且3AF=CF,則該雙曲線的離心率為（）

叵2

A.叵D.

23

【答案】A

【解析】設左焦點為廣，連接AF',BF,CF',由04=08,OF=OF',BF1AC,

可得四邊形AFB廣為矩形，設AF="?,則FC=3/n,

由雙曲線定義知：CF'=5m,AF'=FB=3m,

由雙曲線定義知：AF'-AF=2m=2a,解得〃?=〃，

在AFA尸中,AF2+AF2=FF'2,即/+（3a）2=（2c）2,

即4廿=10。2,即所以e=?

22

X22

例3、（2019年長郡中學高三模擬12題）已知雙曲線+—a=1（。＞0力＞。）的左、右焦點分別為片，K，

a

圓V+Vi?與雙曲線在第一象限內的交點為加，若抽用=3阿勾.則該雙曲線的離心率為（）

A.2B.3C.V2D.V3

【答案】D

【解析】根據(jù)題意可畫出以下圖像，過M點作片工垂線并交片鳥于點”，

因為|阿|=3|摩|,M在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線性質可知|阿1TM周=2。，

即31gl叫|=2a,段=a

因為圓丁+丁=6的半徑為匕，OM是圓/+；/=〃的半徑，所以="

因為°河=。,眼q=a,=＜?,/+〃=/,

所以NOg=90°,三角形OMg是直角三角形,

因為M/7J.OE,,所以，OF2xMH=OMxMF?MH即M點縱坐標為他，

CC

b2

將〃點縱坐標帶入圓的方程中可得/+2-=〃，解得x=—

CC7

b4a2

將M點坐標帶入雙曲線中可得三?一彳=1,

化簡得Z/1—a'=a'",（02—儀2）—〃4=。2（,2,=3/,=—=\f3,選D.

''a

二、圓錐曲線離心率的取值范圍

方法1：利用三角形三邊關系建立不等式。

22

例1、（2018年衡水金卷16題）已知橢圓二+==1（">匕>0）的左、右焦點分別為片（-c,0）,心（c,0）,

ab~

若橢圓上存在點P使---=---成立，則該橢圓的離心率的取值范圍為__________.

sinNP好用sinZPF^

【答案】（四-1,1）

【解析】在△「片月中，由正弦定理得儼段=儼用,

12

sin/P耳外sinZPF2F1

則由己知得笆出=網(wǎng)，即4尸6|="居|，-用/叫='歸周|尸用+|「周=2〃得忸用=含，

ac，

由三角形三邊關系得：a-c<\PF2\<a-^c.,a-c<<ci-Vc

再同除以0整理得/+2e-1>0,解得e<-0-1或e>四-1,又ew（0,l）,

故橢圓的離心率ee（夜故答案為（血

22

例2、已知橢圓C：3+2=1（。>人〉0）的左、右焦點分別為月，B，若橢圓。上恰好有6個不同的點

ah

p,使得為等腰三角形，則橢圓c的離心率的取值范圍是（）.

解析設橢圓的上、下頂點分別為小鳥,則△片片工與△66工均為等腰三角形.

由題知，橢圓C上恰有6個不同點P,使得為等腰三角形，

所以在四個象限各有一點P,使得鳥為等腰三角形，

由橢圓的對稱性，只考慮第一象限的情況即可.

①令歸耳|=內瑪|=2c,如圖所示，由圖可得a<|P用<a+c,即a<2c<a+c,得;<e<L

②令|P周=|耳國=2c,如圖所示，由圖可得a-c<|P閭<a,即a—c<2c<a，得;<e<，

綜上可得，離心率e的取值范圍是（g,故選D.

評注本題利用對稱性減少需考慮的對象，使問題變得簡單明了.這種對稱性思想在解決對稱圖形的相關問題

時應用得很普遍，請同學們嘗試使用.

方法2：利用判別式建立不等式

22

例3、（2020廣東佛山市高三上期檢測）已知雙曲線C:5-方=1。>。>0）的右焦點為尸，O為坐標原點，

若存在直線/過點F交雙曲線C的右支于A,B兩點，使。4?OB=0,則雙曲線離心率的取值范圍是

【答案】匕苴4e<6

2

【解析】設A（M，X）,3（X2,%），直線/的方程為x=〃7）,+c（0Wm<g）,

b

聯(lián)立雙曲線方程，消去X,得（82加2一。2?2+2〃2/次）+。4=0,

2b2me_b4

所以％+%=一師彳①，另.詼G②.

2

因為0A?08=%%2+%%=。，即機+“c（y+y2）+c+y[y2=0,

1/__〃222

代入①②整理，得b4m2-2b2m2c2+c2b2m2—ere1+Z?4=0r0<m2=------<—.

Ire-bb-

由z/—/從之。，得d—/y—a2c2NO,即c4—3a2c2+/2。，e-35+120,解得

人4一“222

4422222422422

由J_r<—,^b-a-ac<0,B|J（c-a）-a-ac<0,c-3ac<0,

be-bb“

所以￡<百.綜上所述，ee[匕且，百）.

a2

方法3：利用角度的余弦值或數(shù)量級建立不等式

例4、（2020年長沙市雅禮中學高三模擬11題）如圖，橢圓的中心在坐標原點，焦點在X軸上，4,4,

B},當為橢圓的頂點，外為右焦點，延長用工與4區(qū)交于點P,若N87與為鈍角，則該橢圓的離心率

的取值范圍是（）

A.*,DB.（號…。與…哼,D

【答案】C

【解析】設用（0,一與，&（。析），K（c,0），4（a析）.

所以4=（〃,—）），居B]=（―c,—Z?）.

因為/男尸不為鈍角，所以月4與4人的夾角為銳角,

所以為4=-ac+〃2>0,即。2一02一a?！怠?

兩邊同時除以"并化簡得e2+e-l<0,

解得逆二1<0<苴二1,又0<e<l,所以0<e<..

222

22

例5、已知。為坐標原點，雙曲線「一斗=1（。乃>0）的右焦點尸，以尸為圓心，。尸為半徑作圓交雙曲

a~b'

線的漸近線于異于原點的兩點A、B,若（MMF）GF<（）,則雙曲線的離心率e的取值范圍為（

A.(1,V2)B.(1,2)C.(2,+oo)

【答案】B

【解析】取M為0E中點，則（AO+AF>OF<0等價于

（2AM）^2MF）<0^MA-MF>0^0<ZAMF<^.

（X-C）2+>2-C2

也就是要求點A的橫坐標與>￡“由<b

2y=-x

a

202

解得與=旦，故需竺>二，解得e<2,則ee（l,2）.

cc2

方法4：利用點與圓錐曲線的位置關系建立不等式

例6、（2019年成都市樹德中學高三模擬11題）已知耳，瑪分別是雙曲線j=l（。乃>0）的兩個焦點,

a2b2

過其中一個焦點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M,若點M在以線段大鳥為

直徑的圓內，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.(1,2)B.(2,+8)C.(1.V2)D.(夜,+8)

【答案】A

【解析】如圖1,不妨設￡（0,c）,E（0,-c）,則過人與漸近線^=@》平行的直線為y=@x+c,

bb

a__bc

y=—x+c,xX

b,2/即用（一女）

聯(lián)立《a解得■

尸耳，2a2

)'=一工b元

因M在以線段不入為直徑的圓/+,2=/內,

圖1

故（—"）2+（為<。2,化簡得力2<3標，即〃一〃<3標，解得￡<2,又雙曲線離心率0=￡>1,所以雙曲

2a2aa

線離心率的取值范圍是（1,2）.

例7、（2020年綿陽市三臺中學二診模擬）橢圓*2+￡=1（0<6<1）的左焦點為F，上頂點為A,右頂點

為B,若△7%?的外接圓圓心在直線y=—x的左下方，則該橢圓離心率的取值范圍為（）

【答案】A

【解析】設/?（一。,0）,4（0,。）,8（。,0）,且此43的外接圓的方程為/+丁+6+4+歹=0,

將尸（一。,0）,4（0,。）,3（。,0）分別代入可得m=二黑,〃=勺。，

由機+“<0可得—上c+上〃+^/?*—■—c—ic<0,即1—C+〃一c上<0=8一。+h幺—上c<0,

22bbb

1J?

所以一c<0,即^<,2,則e2>_.所以故選A.

22

方法5：利用已知的角度關系建立不等式

例8、已知橢圓C:靛+鏟=1（。>匕>0）的左焦點為F,經(jīng)過原點的直線與C交于A,B兩點，若

ZAFB>150°,則C的離心率的取值范圍為.

【答案】ew（0,.叱烏

【解析】如圖，設橢圓的右焦點為廣，連接AF,BF'

■：AB,FF'互相平分，.?.四邊形AFB廠為平行四邊形NAEB+NEBR'=18O。,

???NAFBN150。，NEBF'<30°由條件知，當8在短軸端點與時，/FBF'最大,

,屈

此時在RtA^O尸'中,N0y=15°,.*.e=sinZ6>B2F=sml5°

4

...0＜e＜婦烏即一0,漁渣.

44

1上長軸的兩個端點，若橢圓上恒存在一點P,使得tan/A,叫=-2后，

則橢圓離心率的取值范圍是（

爭、亭）

(A)(B)(C)(D)

7

解析由題可知當尸為上頂點或下頂點時N4P4為最大，依題意得］2；：：笈嬴=—2#,

等，即。=乎。，若橢圓上恒存在一點P滿足后,

可得tan/OPA

則a...逅即a23c2,所以工…且，即走”e＜l.故選D.

2a33

方法6：利用已知長度（面積）關系建立不等式

22

例10、已知直線l-y^kx+2過橢圓=+:=1（。＞。＞0）的上頂點B和左焦點F,且被圓/+丁=4截

ab

得的弦長為L,若LN拽，則橢圓離心率e的取值范圍是（）

5

B.(0,哈c（0,李D.(0,卓］

A.

【答案】B

、2

L,416

【解析】依題意有女＜0,設圓的半徑為「，圓心到直線的距離為d,則屋=，一W4—=—

2755

由點到直線距離公式有d=,2,故<-,\+k2>-,k2>~.

V17F1+公544

直線與坐標軸交點為：B(O,2),F(-1,O24

,即Z?=2,c=—,=〃+c2=4H--,

kk~

.答案選B

課后訓練:

1、（2019年成都市石室中學高三模擬11題）如圖，雙曲線。：[-5=13＞0,。＞0）的左、右焦點分別

a-b~

為耳,外，過乃作線段工尸與C交于點Q,且Q為P工的中點.若等腰百鳥的底邊2鳥的長等于。的

半焦距，則C的離心率為

—2+2>/152C2+2小3

A.----------B.一D.-

732

【答案】V5

【解析】連結Q"，由條件知Q片上咚且研=會

由雙曲線定義知|Q6|=2a+],

在RtAF；。6中，2a+￡（勿「

\2)0

解得C的離心率0=2+2后,故選C.

7

y2

2,（2019年河北衡水中學高三模擬12題）已知橢圓E：二+會=1（。＞。＞0）的左焦點為6，y軸上的點P

a

6

在橢圓外，且線段「片與橢圓E交于點M,若|。知|=|加大|=號|8|,則E橢圓的離心率為（）

C.V3—1

AD.---------D.空

-I2

【答案】C

【解析】因為所以/6。0=30。,/加耳鳥=60。,

連接MF2MF2，則可得三角形MFtF2為直角三角形，在Rt加鳴居中，MFt=c,MF2=&

根據(jù)橢圓的定義:c+百c=2a,所以e=6—l.

廠V

3.（2019年成外半期11題）已知直線丁=乙（火力0）與雙曲線=一金7=1（。＞0/＞0）交于48兩點，以

a-b

AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點尸，若八鉆尸的面積為4a2,則雙曲線的離心率為（

A.72B.#)C.2D.亞

【答案】石

【解析】設雙曲線的左焦點為"，連接46，86，則528尸=52底

\AF.\-\AF\=Sa2]A耳|=4”

所以《

扁叫?網(wǎng)=2。

所以|￡尸「=|A[「+\AFf=20a2,

即4c2=20a2,‘2=5/,c=氐，離心率e=-=s/5.

a

4、如圖，在AA3C中，ZC4B=ZCA4=30°,AC.8c邊上的高分別為BD、AE,若以A、B為

焦點，且過。、E的橢圓與雙曲線的離心率分別為弓，%,則'的值為

4%

【解析】由于A、B為焦點，設|AB|=2c,則AE=8D=c;8E=AO=JGc.

a1+y/3

在橢圓中，由橢圓的定義有2a=AD+B。，即c+百c=2a,

42

同理在雙曲線中，有2a=AE+3E,即、&—c=2a,二-1-=刊=無二^

e2c2

=A/3

e\e2

5、已知橢圓E的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過耳且斜率為2的直線交橢圓E于尸，。兩點，若△尸片工

為直角三角形且歸用＜忻用，則橢圓E的離心率為（）.

A布2c變1

A.-----B.-D.-

33-33

2

解析由題意得尸與，。工，由tan8=2,得sind=cos6=-,

亞

所以歸周=生叵c,儼用=短0,從而|P周+|以4=丹3=20,故e=￡=^.故選A.

x~9

6、以雙曲線J=1的兩焦點為直徑作圓，且該圓在x軸上方交雙曲線于A,B兩點;再以線段AB為

a

直徑作圓，且該圓恰好經(jīng)過雙曲線的兩個頂點，則雙曲線的離心率為.

解析由題意畫出示意圖，如圖所示.

222

x+y=c

以兩焦點片，尸為直徑作圓的方程為爐+尸=。2,聯(lián)立?y2

[a23b-1

a2^c2+/）

2

ayJc2+b2b2

c2（加

得,AB中點C0,—,B

￡[c）

c2

,...,b4a-\c+b-cr-

由圖可知|CB|=|C4j,即/+上=」^一L,化簡得。=6,所以e='=&.

22

7、(2015年浙江理)如圖,Fi,3分別是雙曲線C:,-3=l(a,b>0)的左右焦點,2是虛軸的端點，直線FiB與

C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M.若|M&|=|人尸2|,則C的離心率是

()

A.—B.—C.&D.百

32

【答案】B

【解析】如圖：|0陰=/?,|0/||=，.；/尸片2,。=-

CC

b...

y=-OH-c)

直線PQ為:y=2(x+c),兩條漸近線為:)，=2x.由|:，得?—

cabc-ac-a

山c，得:p(W,旦)..?.直線MN為，區(qū)

bc+aC+Q'c+acc+a

y=~—x

ra

令y=0得:冗2，2?又***|A/F2|=|FIF2|=2C,/.3c=xM=:,

c^-ae-a

解之得:/=￡1=3,即g=顯.

aa22

8.（綿陽一診11題）已知M為雙曲線C:二一二二1（。＞0力＞0）的右支上一點，A,尸分別為雙曲線。的

a~h

左頂點和右焦點，線段E4的垂直平分線過點M,NME4=60°,則。的離心率為（）

A.6B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】為方便運算，不妨設a=1，則A（—1,O）,E（c,O）,\1/

因為△ARW是正三角形，所以M

即^^—^^=1,所以(c—l)3—3(c+l)=4(c-l),

44(c-l)

(c-l)(c2-2x-3)=3(c+l)(c-l)(c-3)=3,c2-4c=0,/.c=4,

所以離心率e=￡=4.

9、（2017年新課標I16題）已知雙曲線C：*■-今=1（。＞0,〃＞0）的右頂點為A,以A為圓心.，〃為半徑作

圓A,圓A與雙曲線。的一條漸近線交于M、N兩點。若NM4N=60。，則。的離心率為.

【答案】半

b

【解析】如圖所示，APLMN,MN為雙曲線的漸近線y=-x上的點，A（o,0）,AM=AN=b.

a

因為APLMN，所以NPAN=30,4a,0）到直線y=/x的距離4P=1出1,

0FS

在H/A/NN中，cosPAN=S,代入計算得/=3匕2,即。=3.

NA

所以0=￡=半=氈

由得c=?,

a四3

10.（2019年衡水中學高三下期中11題）已知耳，居是雙曲線

￡一￡=1（?！?,。＞0）的左、右焦點，點《關于漸近線的對稱點恰好落在以巴為圓心，|?，攟為半徑的

圓上，則雙曲線的離心率為（）.

(A)V3(B)73-1(C)V2(D)2

解析：如圖所示，設左焦點K關于漸近線/:＞=—々X對稱點4'落在圓（x—Cp+y2=c2上,

由幾何性質得。耳=。工，MF{=MF2,

所以OM為△月6片'的中位線，得0MF?F；,

又耳耳，心得耳隹_L。耳且KA=2c,F[F2=c,

故N片寫工=30,則2=有，因此e=￡=2.故選D.

aa

X"y'.

11.（2020年湖南長郡中學高三月考11題）已知O為坐標原點，尸是橢圓。：/+萬=1（。＞匕＞0）的左

焦點，A,B分別是C的左、右頂點.P為C上一點，且小，X軸.過點A的直線I與線段PF交于點M,

與y軸交于點七.若直線BM經(jīng)過OE的三等分點（靠近。點），則C的離心率為（

123_

(A)(B)(C)-(D)

3234

解析解法一：如圖所示，記OE得三等分點Q（靠近點O）的坐標為（0,加），則后（0,3m）,

從而直線AE的方程為：二+」L=i，直線8Q的方程為：±+'=1.

—a3mam

由題意，可設直線A石與直線BM的交點M的坐標為（一c,%）,

所以三+至