計量濟學11第十一章異方差性

第十一章異方差性第一節(jié)異方差的性質1同方差同方差性意謂等同的分散程度，亦即相等的方差，用符號表示為

E(u2i）=

2i=1，2，3……2異方差模型：y=b0+b1x1+b2x2+...bkxk+u

其中

i=1，2，3……前面的同方差的假設，隱含著擾動項u的方差條件于解釋變量是常數(shù)如果這個假設不成立，即對于x的不同的值u的方差不同，那么擾動項就是異方差如果出現(xiàn)：

即對于不同的樣本點，隨機誤差項的方差不再是常數(shù)，則認為出現(xiàn)了異方差性。

說明回歸分析，是在對線性回歸模型提出若干基本假設的條件下，應用普通最小二乘法得到了無偏的、有效的參數(shù)估計量。但是，在實際的計量經(jīng)濟學問題中，完全滿足這些基本假設的情況并不多見。如果違背了某一項基本假設，那么應用普通最小二乘法估計模型就不能得到無偏的、有效的參數(shù)估計量，OLS法失效，這就需要發(fā)展新的方法估計模型。如果隨機誤差項序列不具有同方差性，即出現(xiàn)異方差性。

同方差性干擾

.x

x1x2yf(y|x)x3..E(y|x)=b0+b1x異方差的例子

下述為ui方差變化的理由：1按照邊錯邊改的學習模型，人們在學習過程中，其行為誤差隨時間而減少。在這種情況下預料的

2會減小。如下圖這是一個打字練習:圖11.3異方差性展示2隨著收入增加

備用收入增加可支配收入增多人們對其儲蓄行為有更多的選擇，

2與收入同時增加3數(shù)據(jù)采集技術的改進4異方差還會因為異常值的出現(xiàn)而產(chǎn)生異常值：一個超越正常的范圍的觀察值，是指和其他觀察值相差很多。例：下面是對20個國家在第二次世界大戰(zhàn)后直至1969年期間的股票價格Y和消費者價格X的百分率進行描點。5CLRM假定9的破壞，即回歸模型設計是不正確的。例：6模型中一個或多個回歸元的分布偏態(tài)（skewness)。如收入，財富，教育等7異方差的其他來源：1不正確的數(shù)據(jù)變形

2不正確的函數(shù)形式下圖是美國在1950—2000年期間的GNP，消費支出，儲蓄或就業(yè)數(shù)據(jù)。我們可以通過上述表格描出每個職工薪金的標準差和平均薪金第二節(jié)出現(xiàn)異方差性時的OLS估計

雙變量模型Yi=

1+

2Xi+ui

2的OLS估計量是：但現(xiàn)在的方差是

這顯然不同于同方差性假定下的常用方差性公式：第三節(jié)廣義最小的二乘法1廣義最小二乘法產(chǎn)生的原因----常用的OLS方法無法采取對自變異較大的總體的觀察測值做較小的加權，對來自較小的總體的觀測值做較大的加權。（而這種策略更為準確）2廣義最小二乘明確利用上述的思想，能產(chǎn)生BULE估計量為了了解其如何做到這一點，我們來繼續(xù)利用雙變量模型可導出其中帶星號變量或轉換變量為原始變量

i。轉換的作用：先將原始變量轉換成滿足經(jīng)典模型假設的轉換變量，然后對他們使用OLS程序，較做廣義最小二乘法。概括的說，GLS是對滿足標準最小二乘假定的轉換變量的OLS。如此得到的估計量叫做GLS估計量。這些估計量是BLUE。

最小化

2。的GLS估計量為：方差為OLS和GLS的區(qū)別OLS的最小化：GLS要求我們最小化表示式

在GLS中我們最小化一個以1/

2為權的一個加權殘差平方和，而OLS中我們最小化一個無權的或等權的殘差和。圖11.3.11中最小化一個加權RSS，故適宜于稱它為加權最小二乘。而由上述得到的估量值稱為WLS估量值。第四節(jié)出現(xiàn)方差性時使用OLS的后果考慮異方差性的OLS估計按照上述公式，是否就可利用平常的t和F檢驗建立置信區(qū)間并檢驗假設呢?一般地說，回答是否定的因為，可證。這就是說，根據(jù)做出的置信區(qū)間將是無謂的過大。其結果是,t和F檢驗很可能給我們提供了不準確的結果：因為明顯過大的使本來顯著的系數(shù)變成了統(tǒng)計上不顯著的。忽視異方差的OLS估計如果我們忽視異方差性而一味使用慣常的檢驗程序，則無論我們得出什么結論或做出什么推斷，都可能產(chǎn)生嚴重的誤導。為使問題的討論更加明朗，我們引用戴維森和麥金農所做的一個蒙特卡羅實驗。他們考慮一個簡單的模型，可用我們的符號表示如下：假定最后的一個式子表明誤差方差是異方差性的，并且它的值是回歸元X值的α次方。現(xiàn)對所選的一些α值，把它們的結果列表如下：

這些結果的最令人注目的特點是，不管是否考慮對異方差性的修正，OLS一致地過高估計了由(正確的)GLS程序得到的真實標準誤，尤其以大的α值為甚，從而確立了GLS的優(yōu)越性。這些結果還表明，如果我們不用GLS而只用OLS，不管是否考慮到異方差性，情況都不是清晰的。一個技術性注解盡管我們曾經(jīng)說過，在異方差情形中，GLS是BLUE，而OLS不是，但在有些例子中OLS在異方差情況下仍然是BLUE。只是這種例子在實踐中并不多見。異方差性的偵察

我們怎樣知道在一個具體的情況中是否有異方差性?

和多重共線性相類似，此并不存在有偵破異方差性的嚴明的法則，只有少數(shù)的經(jīng)驗規(guī)則。但是這種結局是不可避免的，因為除非我們知道對應于選定X值的整個Y總體，否則計是無從獲知的。然而，在經(jīng)濟研究中這樣的數(shù)據(jù)(總體)照例是得不到的，除非是例外。由上可知，在大多數(shù)的計量經(jīng)濟調查研究中，異方差性不過是一種直覺，深思熟慮的猜測，先前經(jīng)驗或純粹猜想。下面我們來列舉一些非正式或正式的偵察異方差性的方法。非正式方法問題的性質。往往根據(jù)所考慮問題的性質就能判別是否會遇到異方差性。例如，普雷斯(Prais)和霍撤克(Houthakker)在一項家庭預算研究中發(fā)現(xiàn)，圍繞消費對收人的回歸，殘差的方差隨收人增加而增加。仿效這一開拓性的工作，現(xiàn)在人們一般都假定在類似的調查中可以預期不同干擾之間有不相等的方差。事實上，在涉及不均勻單元的橫截面數(shù)據(jù)中，異方差性可能是一種常規(guī)而不是例外。例如，在投資與銷售量、利率等關系的橫截面分析中，如果樣本同時含有小、中和大型廠家，一般都預期有異方差性。

圖解法。如果對異方差性的性質沒有任何先驗或經(jīng)驗信息，實際上，可先在無異方差性的假定下做回歸分析，然后對殘差的平方

做一事后檢查，看看這些ui2是否呈現(xiàn)任何系統(tǒng)性的樣式。雖然

還不等于ui2

，但可作為一種替代變量，特別是當樣本含量足夠大時。對外的檢查可能出現(xiàn)諸如下圖的那些樣式。四帕克檢驗法（Parktest）（1）思路：帕克檢驗法的基本思想是把殘差圖法加以形式化，給出

2i關于Xi的具體函數(shù)結構形式，然后檢驗這種結構是否顯著。從而判定是否具有異方差性及其異方差的函數(shù)結構。（2）具體做法如下：步驟一，建立被解釋變量Y對所有解釋變量X的回歸方程，然后計算殘差步驟二，取異方差結構的函數(shù)形式為其中，

2，?是兩個未知參數(shù)，是隨機變量。將上式改寫成對數(shù)形式步驟三，建立方差結構回歸模型上式改寫為：對模型應用OLS法，得出?和α的估計值。步驟三，對?進行t檢驗。如果?不顯著，則表明?的真值為零，此時

2i實際上與Xi無關，即不存在異方差性。否則，表明有異方差性存在。例：酬金與勞動力的關系，我們利用11.1的圖表做下述回歸：其中i=第i企業(yè)就業(yè)人數(shù)，回歸的結果如下：

1992.3452+0.2329Xise=(38.319)(4.216)t=(0.934)(-0.667)R2=0.0595將得自回歸的殘差用于帕克檢驗的方程中，得如下結果:35.817–2.8099lnXise=(38.319)(4.216)t=(0.934)(-0.667)R2

=

0.0595五格萊澤檢驗法（Glesjertest）（1）思路：同上面我們剛剛談到的帕克檢驗法類似，格萊澤檢驗法也是通過建立與之間X的關系，而對新模型進行估計的。不同的是，帕克檢驗法中，與X之間的關系是給定的，而格萊澤檢驗法則是用同時去擬合若干種函數(shù)，將其中顯著成立的函數(shù)關系，作為異方差結構的函數(shù)形式。（2）其具體步驟如下：步驟一，建立被解釋變量Y對所有解釋變量的回歸方程，然后計算殘差步驟二，若X被認為是與V（u）有關的解釋變量，則選定與X的一系列可能的函數(shù)，例如：

步驟三，利用OLS法對上述函數(shù)進行估計，然后計算每個回歸方程的擬合優(yōu)度，把最大的作為最佳擬合的回歸形式。步驟四，對最佳回歸形式中的參數(shù)進行顯著性檢驗。若顯著異于0，則表明存在異方差性；否則再試其它形式，而不能輕易斷定不存在異方差性。例：薪金與生產(chǎn)力的關系：格萊澤檢驗我們還是用同一個例子將所得殘差的絕對值對平均生產(chǎn)力回歸

407.2783–0.0203Xise=(633.1621)(0.0675)r2=0.01272t=(0.6432)(-0.3012)斯皮爾曼的等級相關經(jīng)驗。等級相關關系：其中di=第i單元或現(xiàn)象的兩種不同的特性所處的等級之差步驟一：對Y和X的數(shù)據(jù)做回歸擬和并求出殘差步驟二：求殘差的絕對值并和Xi按遞升或遞降次序劃等級，然后計算上述斯皮爾曼的等級相關系數(shù)。步驟三：假定總體等級相關系數(shù)為0，且n>8,樣本rs的顯著性可通過下述方程檢驗：其中自用度df=n-2

例等級相關檢驗的說明。為說明等級相關檢驗，考慮下表中的數(shù)據(jù)。此數(shù)據(jù)包含了10個共同基金的平均年回報(E，％)及其標準差(σ，％)。投資組合理論中的資本市場線假定期望收益(Ei)和風險(用標準差σ來度量)之間有如下線性關系：利用表中的數(shù)據(jù)，估計上述模型，并從中計算出殘差。由于數(shù)據(jù)涉及規(guī)模與投資目標都不相同的10個共同(互助)基金，人們會先驗地預料著異方差性。為檢驗此假設，現(xiàn)利用等級相關技術。應用公式得：

戈德菲爾德—匡特檢驗。這一廣為流傳的方法適用于異方差性方差

2i

同回歸模型中解釋變量之一有正向關系的情形。為簡單起見，考慮通常的雙變量模型：假使

2i

的正向關系為：為了做出明確的證明步驟如下：根據(jù)上述方法，如果在一項應用中，計算的入(=F)值大于選定顯著性水平的臨界F值，就可拒絕同方差性假設，就是說異方差性看來很可能出現(xiàn)了。例：下表展示了一個30戶家庭的橫截面相對于收入的消費支出數(shù)據(jù)。對頭13個觀測值作回歸：

=3.4094+0.6968Xi

（8.7049）（0.0744）r2=0.8887RSS1=377.17df=11對末13個觀測值作回歸：

=-28.0272+0.7941Xi(30.6421)(0.1319)r2=0.7681RSS2=1536.8df=11我們可知=4.07布勞殊—培干—戈弗雷(Breusch-Pagan-God{fey)檢驗。戈德菲爾德—匡特檢驗的成功不僅依賴于c值(被省略的居中觀測值個數(shù))，還依賴于用以排序的X變量的正確識別。如果我們考慮布勞殊—培干—戈弗雷(BPG)檢驗，則可避免這種檢驗的局限性。為說明這種檢驗，考慮是變量線性回歸模型：

假定誤差方差σ2有如下函數(shù)關系：

假定：即σi2是諸Z的一個線性函數(shù)。如果，則才此為一常數(shù)。因此，為了檢驗σi2是否同方差性，就可檢驗假設0這就是布勞殊—培干檢驗的基本思想。具體檢驗步驟如下:

步驟1．用OLS估計上頁的1式并得到殘差步驟2．計算?；仡櫟?章知這是

2的最大似然估計量。步驟3．按以下定義構造Pi：

這不外是將每個平方殘差除以步驟4．將如此構造的Pi對諸Z回歸：

其中νi是回歸的殘差項。步驟5．從上式求出ESS(解釋平方和)并定義：

假定是正態(tài)分布的?？梢宰C明，如果有同方差性，當樣本大小n無限增大時，則：就是說，遵循自由度為(m—1)的分布。懷特的一般異方差性檢驗。戈德菲爾德—匡特檢驗要求按照被認為是引起異方差性的X變量把觀測值重新排序，而BGP檢驗則易受偏離正態(tài)性假定的影響。懷特所提出的檢驗，不同于這兩個檢驗，并不要求排序也不依賴于正態(tài)性假定，而且易于付諸實施。為說明其基本思想，考慮如下的三變量回歸模型：

步驟1．對給定的數(shù)據(jù)，估計(11．5．21)并獲得殘差。步驟2．再做如下(輔助)回歸：

就是將得自原始回歸的平方殘差對原始諸X變量或回歸元、它們的平方和交叉乘積做回歸，還可引進回歸元的高次方。步驟3．在無異方差性的虛擬假設下，可以證明，從輔助回歸算得的R2乘以樣本大小(n)，漸近地遵循自由度等于輔助回歸中的回歸元

(不包括常數(shù)項)個數(shù)的X2分布，即：其中df的定義如前。在本例中，因輔助回歸中有5個回歸元，故有5個自由度。步驟4．如果(11．5．23)中算得的X’值超過選定顯著性水平的臨界X2值，結論就是有異方差性。如果不超過，就算沒有異方差性，也就是說，在輔助回歸(11．5．21)中例11．6做懷特異方差性檢驗。根據(jù)41個國家的橫截面數(shù)據(jù)，S．劉易斯(StephenLewis)估計了如下回歸模型

其中Y=貿易稅收(進口與出口稅收)/

政府總收入，X2=進出口總和/GNP，X3=人均GNP。他的假設是y與X2有正向關系(貿易額越高，貿易稅收越高)，并且y與X3有負向關系(隨著收入增大，政府發(fā)現(xiàn)直接稅——如所得稅——比貿易稅更易于征收)。經(jīng)驗結果支持了這些假設。對我們來說，重要的問題是數(shù)據(jù)中有沒有異方差性。由于數(shù)據(jù)是涉及多個相異國家的橫截面數(shù)據(jù)，人們會先驗地預期誤差方差中的異方差性。將懷特的異方差性檢驗應用于從回歸(11．5．24)得到的殘差，得到如下結果

R2=0.1148

懷特檢驗可能是(純粹)異方差性的一個檢驗，或者是設定錯誤的一個檢驗，或者兩者兼有。

其他異方差性檢驗。還有若干個其他異方差性檢驗，每個都依賴于一定的假定。我們只提出其中的一種，因為它特別簡單。這就是寇因克—巴塞特(Koenker-Bassett)檢驗(KBtest)。具體而言，若原模型是：估計此模型并從中得到u2i，然后估計第六節(jié)補救措施

正如已經(jīng)看到的，異方差性雖然不損壞OLS估計量的無偏性和一致性，但卻使它們不再是有效的，甚至不是漸近(即在大樣本中)有效的。效率的缺乏使得通常的假設檢驗程序變成可疑。因此，補救措施顯然是需要的。補救方法可分兩種：

2i為已知和

2i為未知當

2i

為以已知：加權最小二乘法正如在11．3節(jié)所看到的，如果已知

2i

，糾正異方差性的最明顯方法，就是采取加權最小二乘，因為這樣一來，得到的估計量是BLUE。例11．7加權最小二乘法說明。為說明此法，假定我們要針對表11．1中的數(shù)據(jù)，研究酬金與就業(yè)人數(shù)之間的關系。為簡單起見，我們用1表示就業(yè)人數(shù)(1—4個職工)，2表示(5～9個職工)，……9表示(1000～2499個職工)。我們還可用表中各組就業(yè)人數(shù)的組中值表示就業(yè)人數(shù)?，F(xiàn)令Y代表平均每職工酬金(美元)，而X代表就業(yè)人數(shù)，我們做以下回歸：計算必需的原始數(shù)據(jù)由下表給出WLS的回歸結果如下：

()=3406.639(1／

i)+154.153(Xi／

2i

）

(80．983)(16．959)t=(42．066)(9．090)R2=0．9993131下面是不加權的OLS回歸結果：

=3417.833+148.767Xi(81．136)(14．418)t=(42．125)(10．318)R2=0．9383當

2i

為未知時前所說，若已知真實的

2i

。我們可用WLS法得到BLUE估計量。但由于真實的

2i鮮為人知，我們可以找到方法使在有異方差性的情形下，也能獲得OLS估計量的方差和協(xié)方差的(統(tǒng)計上)一致性估計。懷特的“異方差性相一致”的方差與標準誤。懷特曾證明，可以做出這樣一種估計，它可以對真實的參數(shù)值做出漸近(即大樣本)有效的統(tǒng)計推斷。懷特的經(jīng)異方差性校正的標準差又被稱為穩(wěn)健標準誤(robuststandarderrors)。例11．8懷特程序的說明。作為一個例子，我們引用格林(Greene)的一些結果如下：

=832．91-1834．2(收入)．04(收入)2OLSse=(327．3)(829．0)(519．1)t=(2．54)(2．21)(3．06)懷特se=(460．9)(1243．0)(830．0)t=(1．81)(一1．48)(1．91)其中Y=1979年各州公共學校人均支出，收入=1979年各州人均收入。樣本由50個州及華盛頓特區(qū)構成。以上數(shù)字結果表明，經(jīng)(懷特)異方差性校正的標準誤比OLS標準誤大得多，因而所估計的2值比得自OLS的要小得多。根據(jù)后者，兩個回歸元都在5％水平上統(tǒng)計上顯著，而根據(jù)懷特估計量則不然。但應指出，懷特的經(jīng)異方差校正的標準誤可能大于或小于未校正標準誤。關于異方差性模式的可能假定。懷特程序除了本身是一個大樣本程序外，還有一個缺點，就是這樣得到的估計量，不如先按異方差性的類型做數(shù)據(jù)變換，再做估計來得有效。為說明這點，讓我們再回到雙變量回歸模型：我們現(xiàn)在考慮關于異方差性模式的幾種假設。假定1：誤差方差正比于Xi2

（11.6.5）對原型作變換

其中=

可證：從而的方差是同方差性的，并可對變換方程施行OLS。假定2：誤差方差正比于Xi。平方根變換：如果的方差正比于Xi本身，可作變換得：易證為同方差性情形，可按OLS對上式進行假定3：誤差方差正比于Y均值的平方此時：假定4，和回歸相比，諸如：這樣一個對數(shù)變換常常能減低異方差性。

這樣的結果之所以出現(xiàn)，是因為對數(shù)變換壓縮了測量變量的尺度，把兩個值的10倍之差降低到約2倍之差。例如，數(shù)值80十倍于數(shù)值8。但In80(=4.3280）僅約兩倍于Ins(=2.0794）。

對數(shù)變換的另一優(yōu)點是，斜率系數(shù)召：測出Y對x的彈性，即對應于x的1％的變化，Y的百分比變化。例如，Y是消費而X是收人，(n.6.12)中的月：將測出收人彈性，而在原始模型中，月2僅測出對應于收人的一單位變化，平均消費的變化率。這就是為什么對數(shù)模型在經(jīng)驗計量經(jīng)濟學中廣為應用的一個理由。（我們所考慮的變換還有其他的一些問題：1當我們越出雙變量模型的范圍時，先驗證選擇x變量去變換數(shù)據(jù)。2最后一個假定中，當某些X和Y值為0或負數(shù)時不]適用。3還有一個謬誤相關的問題。謬誤相關是指即使原始變量是不相關或隨機的，但變量的比率卻被發(fā)現(xiàn)有相關關系的情形。4當

2i

無法直接得知而要從前面討論的一個或多個變換中做出估計時，所有用到t檢驗，F(xiàn)檢驗等檢驗程序時，都只是對大樣本有效。第七節(jié)總結性的例子

在結束我們對異方差性的討論時，我們用兩個例子說明偵察它的各種方法以及對它的一些補救措施。例11．9再看兒童死亡率一例讓我們再次回到曾考慮過幾次的兒童死亡率一例。我們從64個國家的數(shù)據(jù)得到方程(8．2．1)中所示的回歸結果。由于數(shù)據(jù)是橫截面數(shù)據(jù)，涉及的國家在兒童死亡率上有不同的表現(xiàn)，所以很可能會出現(xiàn)異方差性。為探明究竟，首先看從方程(8．2．1)中得到的殘差。這些殘差畫在圖11．12中。從圖上看，殘差沒有顯示出任何存在異方差性的明顯形式。盡管如此，表象仍可能有欺騙性。所以，我們用帕克、格萊澤和懷特檢驗，看是否有異方差性的證據(jù)。帕克檢驗由于有兩個回歸元GNP和FLR，所以我們可以將回歸（8.2.1）中殘差的平方對其中任意一個回歸，或者將它們對回歸（8.2.1）中估計出來的CM值做回歸。利用后者，我們得到如下結論：格萊澤檢驗將(8，2．1)中所得到殘差的絕對值對同一回歸所估計的CM值做回歸，得到如下結論：同樣，由于斜率系數(shù)的，值并非統(tǒng)計顯著，所以殘差的絕對值與估計的CM值之間沒有系統(tǒng)的關系。

懷特檢驗應用含有和不含交叉項的懷特異方差性檢驗，我們沒有發(fā)現(xiàn)任何異方差性證據(jù)。我們也重新估計(8．2．1)以得到懷特異方差一致的標準誤和f值，結論與方程(8．2．1)中給出的那些結論十分相似，從我們前面所做的各種異方差性檢驗來看，無足為奇。總之，兒童死亡率回歸(8．2．1)看來不存在異方差性的問題。例：1988年美國18個產(chǎn)業(yè)群體的R&D支出、銷售額和利潤表11.5給出了美國18個產(chǎn)業(yè)群體研發(fā)支出、銷售額和利潤方面的數(shù)據(jù)，所有數(shù)據(jù)都以百萬美元計。由于表中橫截面數(shù)據(jù)差別很大，所以在R&D對銷售額（或利潤）的回歸中就可能出現(xiàn)異方差性?；貧w結果如下：無足為奇，R&D與銷售額之間有明顯的正相關關系。為了看出回歸（11.7.3）是否遇到異方差性的問題，我們從上述回歸中得到殘差及其平方，并相對銷售額進行描點，示于圖11.13。從此圖來看，殘差及其平方與銷售額之間有系統(tǒng)關系，可能表明存在異方差性。為規(guī)范地進行檢驗，我們使用帕克、格萊澤和懷特檢驗，并給出如下結果：帕克檢驗

se=(4802343)(40.3625)r