基于雙曲線法的非線性固結理論及其應用

基于雙曲線法的非線性固結理論及其應用

土壤的應力適應關系是土力學的主要研究主題之一。由于土壤是一種復雜的工程材料，其應力適應關系受到許多因素的影響，因此不可能預測在不久的將來，為了描述不同類型土壤在結構復雜條件下的特性，我們無法預測普遍的壓力適應性關系。在巖土工程計算中,大多還采用線性的、分段線性的或非線性的彈性應力應變關系.在60年代初期,英國劍橋大學提出了可以將正常固結粘土和輕度超固結粘土模擬為一種應變硬化的彈塑性材料,并且用增量塑性理論的方法研究土的應力應變關系.其它提出的彈塑性模型還有“拉德模型”、“雙屈服面模型”等.研究成果表明,彈塑性理論是研究土的應力應變關系的一個有力的數(shù)學工具,用它可以得出比較令人滿意的結果.雖然國內(nèi)外在土的應力應變關系研究方面有了不少新的進展,但在土的一維固結方面,工程實踐中仍延用根據(jù)線彈性應力應變關系推導出的經(jīng)典Terzaghi固結理論.實踐表明,如果仍然用經(jīng)典的Terzaghi固結理論來解決一維固結問題,就會產(chǎn)生較大的誤差.這也是在軟粘土地區(qū)用Terzaghi固結理論求沉降時計算值與實測值差距較大的一個重要原因.要想在軟粘土分布地區(qū)比較精確地求解一維固結問題,其中一個重要的方法就是對經(jīng)典的Terzaghi固結理論進行非線性應力應變關系方面的修正.Davis和Raymand等在對經(jīng)典的Terzaghi固結理論進行修正時,已采用較為實際的非線性應力應變關系——半對數(shù)型應力應變關系,即把孔隙比表示為有效應力對數(shù)的函數(shù),如下式所示:e0?e=?Cclogσ′σ′0(1)e0-e=-Cclogσ′σ′0(1)南京水利科學研究院魏汝龍教授通過大量試驗指出,軟粘土壓縮曲線的整個形狀更符合雙曲線的特征,而不是半對數(shù)曲線.福州大學徐少曼也指出,在側限條件下,土的垂直壓力P和垂直側限應變ε的關系,可以用雙曲線良好地擬合.本文以壓縮試驗為基礎,用雙曲線來模擬土體的應力應變關系以及研究土體的固結特性.1應力應變方程的求解與Terzaghi固結理論相比,修正的假設條件有:a.在整個固結過程中,滲透系數(shù)k和壓縮系數(shù)av隨固結壓力的增大成比例減小.因此,土的固結系數(shù)Cv為常量.b.在應力變化范圍內(nèi),壓縮試驗得到的應力應變關系為雙曲線型.根據(jù)現(xiàn)有的試驗結果和第二個假設,有σ′ε=E0+nσ′(2)σ′ε=E0+nσ′(2)式中:σ′——一維固結的豎向有效應力;ε——豎向壓縮應變;E0——土的初始壓縮模量,即ε～σ′壓縮曲線上σ′=0時的切線模量;n——σ′ε～σ′n——σ′ε～σ′壓縮曲線的斜率.式(2)中,σ′/ε實際上就是各個壓力下的切線模量,故可用σ′/ε～σ′曲線表示切線模量隨壓力的變化,其方程可以寫為Ec=E0+nσ′(3)Ec=E0+nσ′(3)式中:Ec——土在不同壓力時的壓縮模量.由公式(2)還可以得到ε=σ′E0+nσ′(4)又因為ε=e0?e1+e0(5)所以有e=e0?(1+e0)σ′E0+nσ′(6)ε=σ′E0+nσ′(4)又因為ε=e0-e1+e0(5)所以有e=e0-(1+e0)σ′E0+nσ′(6)式中:e0——初始孔隙比;e——某一應力σ′下的孔隙比.式(6)即為一維情況下用孔隙比和豎向有效應力表示的雙曲線型應力應變關系.與固結理論推導類似,經(jīng)求導可以得到?CvE0[1(E0+nσ′)2?2u?z2?2n(E0+nσ′)3?σ′?z?u?z]=E0(E0+nσ′)2?σ′?t(7)-CvE0[1(E0+nσ′)2?2u?z2-2n(E0+nσ′)3?σ′?z?u?z]=E0(E0+nσ′)2?σ′?t(7)式中:Cv——固結系數(shù),Cv=k(1+e)avγw=kmvγwCv=k(1+e)avγw=kmvγw;u——超靜孔隙水壓力;e——孔隙比;mv——體積壓縮系數(shù);γw——水的容重.式(7)即為雙曲線修正的一維固結微分方程.在此,土體雙曲線型應力應變關系和滲透系數(shù)及體積壓縮系數(shù)成比例減小得到了考慮,所以在理論上較經(jīng)典Terzaghi固結微分方程更為合理.2terzadgei固結微分方程的關于為了能求解偏微分方程(7),引入一個中間變量ξ,并且令ξ=(1+e0)σ′fE0+nσ′f?(1+e0)σ′E0+nσ′(8)ξ=(1+e0)σ′fE0+nσ′f-(1+e0)σ′E0+nσ′(8)式中:σ′f——固結完成時的豎向有效應力.通過對中間變量ξ求偏導可將式(7)簡化成Cv?2ξ?z2=?ξ?t(9)Cv?2ξ?z2=?ξ?t(9)式(9)是雙曲線修正的Terzaghi固結微分方程的簡化表達式,在形式上與經(jīng)典的Terzaghi固結微分方程相同,只是中間變量ξ代替了超靜孔隙水壓力u.相應的定解條件為:a.初始條件t=00≤z≤Hu=σ′f?σ′0ξ=(1+e0)σ′fE0+nσ′f?(1+e0)σ′0E0+nσ′0t=00≤z≤Ηu=σ′f-σ′0ξ=(1+e0)σ′fE0+nσ′f-(1+e0)σ′0E0+nσ′0b.邊界條件不透水邊界0≤t≤∝z=H?u?z=0?ξ?z=0透水邊界0≤t≤∝z=0u=0ξ=0另外t=∞0≤z≤Hu=0ξ=0不透水邊界0≤t≤∝z=Η?u?z=0?ξ?z=0透水邊界0≤t≤∝z=0u=0ξ=0另外t=∞0≤z≤Ηu=0ξ=0式中:σ′0——t=0時的豎向有效應力;H——土層厚度.聯(lián)合偏微分方程(9)及上述定解條件,采用與Terzaghi固結偏微分方程相似的求解方法,可解得ξ=(1+e0)σ′fE0+nσ′f?(1+e0)σ′E0+nσ′=[(1+e0)σ′fE0+nσ′f?(1+e0)σ′0E0+nσ′]∑m=1∞2m(sinmzH)exp(?m2Tv)ξ=(1+e0)σ′fE0+nσ′f-(1+e0)σ′E0+nσ′=[(1+e0)σ′fE0+nσ′f-(1+e0)σ′0E0+nσ′]∑m=1∞2m(sinmzΗ)exp(-m2Τv)式中:m——正奇數(shù)(1,3,5,7,…);Tv——時間因數(shù)(無量綱),Tv=Cvt/H2,其中,H為最大排水距離,在單面排水條件下即為土層厚度,雙面排水條件下為土層厚度的一半.3土樣的預處理及壓縮試驗為了觀測壓縮試驗時土樣中孔壓的消散情況,在常規(guī)壓縮儀的基礎上,研制了底部可測孔壓的壓縮儀(圖1).該壓縮儀主要由三部分組成.第一部分:加壓設備.采用杠桿式加壓設備,除了加壓框架略高外,其余和常規(guī)壓縮儀相同.第二部分:孔壓量測裝置.由一個孔壓傳感器及與之相連的孔壓數(shù)字儀組成,可隨時測出土樣底部孔壓大小,精度為1kPa.第三部分:試樣盒.由護環(huán)、底盤、透水石及加壓上蓋組成.護環(huán)下部帶螺絲,試驗時牢牢地擰在底盤上,防止底部漏水.試樣盒下部底盤上刻有濾水的槽,并在中間通過一個小孔與孔壓傳感器相通.為了保證土樣底部孔隙水不通過護環(huán)側壁上移,特加工護環(huán)高6cm,直徑6.18cm,并且在護環(huán)上設有放土樣用的導環(huán).試驗前,用高4cm、直徑6.18cm的環(huán)刀制樣,并抽氣飽和.試驗時,先擰緊護環(huán),然后放入透水石和濾紙,打開與底盤相連的三通管在護環(huán)內(nèi)注滿水.然后,將帶有土樣的環(huán)刀放在護環(huán)的導環(huán)內(nèi),并用透水石輕輕地把土樣推入護環(huán)內(nèi),關閉三通閥的排水管.這時,土樣底部就只與孔壓傳感器相連了.其余試驗方法同常規(guī)壓縮試驗.試驗所用土樣為深圳河北岸飽和軟土,土樣的物理力學性質(zhì)指標如下:天然容重為15.6kN/m3,飽和度為99%,塑性指數(shù)為20,滲透系數(shù)為1.614×10-6?cm/s.對飽和粘土樣按常規(guī)壓縮試驗方法作出e～logσ′關系曲線,壓縮模量Ec～固結壓力σ′關系曲線,見圖2、圖3.由圖中可求出壓縮參數(shù):av1-2=1.516MPa-1,初始壓縮模量E0=388kPa,斜率n=3.5.對粘土樣做底部測孔壓的壓縮試驗,分別實測了50～100kPa,100～200kPa,200～400kPa三個加荷段的孔壓值.此外,還編制了FORTRAN程序,分別按Terzaghi固結理論和雙曲線修正固結理論計算試樣底部在固結過程中超靜孔隙水壓力的消散情況,并且和實測值進行了對比,見圖4.4飽和粘土固結過程的特性由圖2、圖3可以看出,用壓縮模量Ec～固結壓力σ′關系曲線(即雙曲線型應力應變關系)比用e～logσ′關系曲線(即半對數(shù)型應力應變關系)能更好地擬合壓縮試驗結果.并且,e～logσ′關系曲線的初始段有明顯的彎曲.這也說明用雙曲線型應力應變關系比用半對數(shù)型應力應變關系對一維固結理論進行修正更加合理.從圖4中實測孔壓消散曲線可以看出,實測孔壓有滯后現(xiàn)象,并且只能達到所加荷載的95%左右.在加荷開始后孔壓逐步上升,不能一下達到峰值,試驗時加荷段施加荷載越大,滯后達到峰值的時間越長.如果像Terzaghi一維固結理論中的彈簧模型所描述的那樣,在施加荷載p的瞬時,即t=0時,試樣中各點的孔壓均等于p,試樣底部不排水面由于初始孔壓消散還未波及到,所以孔壓應該保持p一段時間后,再逐步消散至零.而實際土樣底部孔壓只能達到所加荷載的95%左右.這說明即使是在壓縮試驗條件下,用簡單的彈簧模型來模擬飽和粘土的固結過程也是有誤差的.另外,由于試樣較高(4cm),它與側壁的摩擦力也承擔了部分外荷.Terzaghi理論孔壓計算結果明顯高于實測值,表現(xiàn)為計算的孔壓消散比實際的要慢,見圖4.這是因為Terzaghi理論是建立在諸多假設基礎之上的,而這些假設是對實際情況的簡化,從而造成了理論計算結果與實測值的不符.其中有三個假設對Terzaghi理論計算結果的誤差影響較大:(a)Terzaghi固結理論假設固結系數(shù)為常數(shù),并且是由常規(guī)壓縮試驗得來的;(b)Terzaghi理論假設飽和粘土是線彈性的;(c)Terzaghi理論假設固結過程中各點應變是相同的,這明顯不符合實際,因為靠近排水面孔壓消散快,固結沉降進展也較快,所以應變量較大.相反,不排水面附近應變量則較小.雙曲線修正一維固結理論計算結果在加荷初始時,與Terzaghi理論結果相近,同樣偏高于實測值,但當孔壓消散波及到底部不排水面后,其結果就較好地反映了實際的孔壓消散過程,見圖4.這表明,用雙曲線型應力應變關系對Terzaghi固結理論進行修正