大學(xué)物理靜電場(五)

四.電勢的計(jì)算方法（一）先求出點(diǎn)電荷電場的電勢再根據(jù)疊加原理求任意有限大帶電體電場的電勢1.點(diǎn)電荷q場中任一點(diǎn)（）處的電勢

因積分與路徑無關(guān)，所以選從P點(diǎn)沿徑向方向到處，即：在點(diǎn)電荷q電場中，是電場中空間位置（）的單值函數(shù)——球?qū)ΨQ分布1

把帶電體分成無限多個(gè)電荷元dq，每個(gè)電荷元dq在P點(diǎn)的電勢2.點(diǎn)電荷系電場中任一點(diǎn)的電勢，是各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)電勢的代數(shù)和3.任意帶電體的電場中，u的分布則從疊加原理：——產(chǎn)生電場的源電荷所占據(jù)的整個(gè)空間——從源點(diǎn)dq到場點(diǎn)P引的矢徑的大小2方法（二）按定義式計(jì)算

已知電場中的分布例1一均勻帶電圓環(huán)，求中心軸線上任一點(diǎn)的電勢（首先寫出從P參考點(diǎn)，的數(shù)學(xué)表式）五.電勢計(jì)算例題1.利用電勢疊加原理求電勢建立如圖坐標(biāo)系，環(huán)上任一小段dq在P點(diǎn)的電勢：RPOxdqr解:疊加原理：u沿x的分布規(guī)律3例2一均勻帶電圓盤R，s，求中心軸線上任一點(diǎn)的電勢PrxORx建立如圖坐標(biāo)系，取一帶電圓環(huán)r，dr解:4當(dāng)

x>>R

時(shí)利用：在

時(shí)等同于電荷集中在盤心處的一個(gè)點(diǎn)電荷的電場當(dāng)

x=0

時(shí)52.利用定義式計(jì)算電勢自看書上:例8.20（選看），8.21

例1均勻帶電球面R，q，求電勢分布o(jì)已知的分布：解:r=R處，E值突變、不連續(xù)因?yàn)槭怯邢薮髱щ婓w，從u的定義：r>R處r<R處r=R處6均勻帶電球面是個(gè)等勢體，球內(nèi)、球面處的u均為，球外u的分布和點(diǎn)電荷電場一樣：orRorR例2二均勻帶電同心球面R1，R2

，帶電±Q

，求u的分布-QR1R2+QABC已知的分布：解:7因?yàn)槭怯邢薮髱щ婓w，r<R1R1<r<R2r>R2orR2R1二球面間電勢差：8六.電勢計(jì)算練習(xí)（續(xù)）（自看書上:例8-14,18,19,21—25）例1利用疊加原理，求以下問題：（1）二均勻帶電同心球面R1,R2

,帶電±Q

,求u。-QR1R2+Qr<R1R1<r<R2r>R2R1R2R3Q1Q2Q3Pr9（2）均勻帶電球面R,Q

,中心有一點(diǎn)電荷q,求RQq10例2二個(gè)無限大帶電面±s，求u（負(fù)板接地）dx-s+s

dx-s+sodx-s+so11例3求無限長均勻帶電圓柱面（Rl）電場中u的分布若選為參考點(diǎn)，則以上結(jié)果不合理。當(dāng)電荷延伸到處，不能取處為電勢零點(diǎn)任取為P0參考點(diǎn)，則在r>R處一點(diǎn)P一般可寫為：P0rPr0后一項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，若取r0

=1，則C=0當(dāng)選r0

=1m處為勢能零點(diǎn)r<1處u>0r>1處u<012例4二同軸無限長均勻帶電圓柱面（R1

R2

±l）,求u的分布R1R2+l-lrP0r0Pror<R1R1<r<R2r>R2參考點(diǎn)取在P0點(diǎn),在R1<r<R2

處任取一點(diǎn)=0二圓柱面間的

Du已知的分布：解:13§8.6

電勢與電場強(qiáng)度的關(guān)系一.電勢的圖示法：等勢面1.如何畫等勢面電場中電勢相等的點(diǎn)連成的面稱為等勢面。二相鄰等勢面間的電勢差相等點(diǎn)電荷二帶電平板142.性質(zhì)：（1）

q0

沿等勢面移動(dòng)，電場力不做功ab（2）證明:設(shè)等勢面上P點(diǎn)的電場強(qiáng)度與等勢面夾角為

,把q0

在等勢面上移動(dòng),電場力作功為pQ15（3）電場強(qiáng)度的方向總是指向電勢降落的方向abubua設(shè)

的方向如圖，+q從電場力做正功

=電勢能減少所以：等勢面的概念在實(shí)際中有很重要的意義由于：u的分布容易計(jì)算u的等勢面的分布圖容易用實(shí)驗(yàn)測繪實(shí)際上，對電場的控制是通過對等勢

面的形狀的控制來實(shí)現(xiàn)的從等勢面圖可以估計(jì)電場的分布16二.電勢與電場強(qiáng)度的關(guān)系

電勢和電場強(qiáng)度是從不同角度描寫同一事物的二個(gè)物理量，它們之間必然有密切的關(guān)系。前面介紹：已知電場的分布，求u--積分關(guān)系若：已知u的分布，求電場？----------------微分關(guān)系在電場中任取兩個(gè)相鄰的等勢面，u和u+du，設(shè)du

>0在等勢面u上任取一點(diǎn)P

，過P點(diǎn)作等勢面的正法線規(guī)定：正法線的方向指向電勢升高的方向，指向電勢降落的方向。下面討論P(yáng)點(diǎn)的和u的關(guān)系uu+duPP/17P點(diǎn)的u如何變化？（在P點(diǎn)附近很小的范圍內(nèi)）1.u沿正法線方向如何變化？uu+duPP/——從功能關(guān)系入手，將單位正電荷沿方向從P——P/電場力的功

=電勢能減少

上式說明電場中任一點(diǎn)P處

的大小等于過P點(diǎn)等勢面正法線方向上電勢的變化率

。的方向指向u下降的方向。182.u沿任一方向如何變化？uu+duPP/Q將單位正電荷從P點(diǎn)沿方向到Q點(diǎn)電場力的功

=電勢能減少

上式說明，P點(diǎn)的在方向上的分量等于P點(diǎn)的電勢在方向的變化率的負(fù)值。的方向指向u下降的方向。

取不同的方向，電勢的變化率不同。問：在哪個(gè)方向上電勢的變化率最大?！谡ň€方向上19

在直角坐標(biāo)系中，已知

u

(x,y,z)

，求

在一個(gè)標(biāo)量場中，可以定義一個(gè)矢量，用該矢量表示場中各點(diǎn)標(biāo)量變化的規(guī)律。

在此標(biāo)量場中引入一個(gè)矢量，叫做這個(gè)標(biāo)量的梯度矢量，即電勢梯度矢量。它反映了在電場中電勢逐點(diǎn)變化的規(guī)律，記為：電勢梯度矢量方向：電勢變化率最大的方向?yàn)樵撌噶康姆较颍矗涸擖c(diǎn)所在等勢面的正法線方向）大?。弘妱葑兓实淖畲笾禐殡妱萏荻鹊拇笮。矗貉卣ň€方向的變化率）——稱為電勢u的梯度，表示函數(shù)u在點(diǎn)P(x,y,z)附近如何變化的一個(gè)矢量20和的關(guān)系：

即電勢沿方向的方向?qū)?shù)（偏微商），其大小即

在方向的分量，負(fù)號表示的方向是指向減小的方向。例1：已知點(diǎn)電荷的電勢分布求電場分布的方向沿方向，即電勢降低的方向。21例2：均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的例3：已知某電場中電勢的分布求電場分布的方向沿x方向，即電勢降低的方向。則：22和都是描寫電場分布的空間位置的單值函數(shù)。但和之間沒有簡單的正比對應(yīng)關(guān)系。不能僅從場中一點(diǎn)的推出該點(diǎn)的，反之也不行。

是從場中某點(diǎn)P到參考點(diǎn)的積分結(jié)果。的大小與從P到參考點(diǎn)的整個(gè)路徑上的都有關(guān)：

是在一個(gè)小范圍內(nèi)的微分結(jié)果。

是在P點(diǎn)附近小范圍內(nèi)電勢梯度的負(fù)值，即：與P點(diǎn)附近的局部變化率有關(guān)：23問：均勻處，均勻。對否？處，