大學(xué)物理靜電場(三)

三.高斯定理

下面通過對任一閉合曲面的電通量的討論，得到產(chǎn)生電場的源電荷和通過閉合面的的定量關(guān)系，即產(chǎn)生電場的源電荷和其激發(fā)的電場的關(guān)系----即靜電場的一個(gè)重要定理----高斯定理。它是描寫靜電場性質(zhì)的基本方程之一數(shù)學(xué)表達(dá)式：依據(jù)：庫侖定律和場疊加原理真空中任一靜電場中，穿過任一閉合面的電通量

在數(shù)值上等于該閉合面內(nèi)包圍的電荷的代數(shù)和除以真空中的介電常數(shù)內(nèi)容：S----封閉面，高斯面(外法線為正)----S內(nèi)包圍電荷的代數(shù)和----S面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度1下面對此定理從個(gè)別到一般進(jìn)行推證。不進(jìn)行嚴(yán)格證明定理的推證：+qS1：S1面上任一點(diǎn)的場強(qiáng)大小

方向沿半徑向外（與r無關(guān)）1.在點(diǎn)電荷的電場中，取3個(gè)閉合曲面，求2+qS2：因?yàn)榫€是連續(xù)的，在沒有電荷的地方不會(huì)自行中斷，所以穿過S1面的電力線必會(huì)全部穿過S2（與q在S內(nèi)的位置無關(guān)）+qS3

：從q發(fā)出的電力線穿入S3后必穿出S3

，所以：S132.在多個(gè)點(diǎn)電荷的電場中，對任一閉合曲面的等于每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的穿過該閉合曲面的通量的代數(shù)和。

n

個(gè)點(diǎn)電荷在S內(nèi)，

k

個(gè)點(diǎn)電荷在S外空間的電場是

n+k

個(gè)點(diǎn)電荷電場的疊加，任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度即高斯面上任一點(diǎn)的可由上式表示q1q2qnqn+1qn+2qn+kS通過S的通量：4結(jié)論：在真空中任意靜電場中，通過任一封閉面的的通量等于面S所包圍電荷的代數(shù)和乘以關(guān)于高斯定理的幾點(diǎn)說明：1.S----高斯封閉面，幾何面(外法線為正)----S內(nèi)包圍電荷的代數(shù)和5----

高斯面上的電場強(qiáng)度，是空間所有電荷（

S內(nèi)和S外的電荷）產(chǎn)生的電場

的矢量和。----通過封閉面S的總通量。由S內(nèi)電荷的代數(shù)和確定。因?yàn)槊嫱怆姾蓪γ娴目偼康呢暙I(xiàn)為零。如：q1q2q1Sq3由q2，q3定由q1

，q2，q3定q1移動(dòng)，面上的變，但不變。62.若，則，即，等否推出？一般來說從數(shù)學(xué)上看----積分結(jié)果為零，被積函數(shù)不一定為零從物理上看----的通量和是完全不同的二個(gè)量如：+qS-q即但S上處處不為零又如：Sq即但S上處處不為零73.電荷恰在封閉面上？研究這種情況是沒有物理意義的

高斯面是幾何面，沒有厚度。任何一個(gè)帶電體都是有一定的形狀和大小，不在面內(nèi)就在面外；或部分在面內(nèi)，部分在面外。高斯定理指出：僅S內(nèi)的電荷對有貢獻(xiàn)。4.空間電荷的分布是任意的，高斯面的選取是任意的。對任一封閉面，高斯定理都成立，但一般情況下，只僅利用高斯定理不能把場中的分布求出來。但對具有對稱分布的電場，選取合適的高斯面，可簡潔求出。何為對稱分布電場？若電荷分布對稱，則電場分布對稱。一般有球?qū)ΨQ電場：點(diǎn)電荷，均勻帶電球殼，均勻帶電球體軸對稱電場：平面對稱電場：無限長帶電線，無限長帶電圓筒、圓柱體無限大帶電平面8高斯定理的應(yīng)用：------求解對稱分布的電場1.均勻帶電球面的電場R

q

此電場球?qū)ΨQ分布，任一同心球面上各點(diǎn)的

大小相同（各點(diǎn)無差別、不可區(qū)分），方向沿半徑向外呈輻射狀Roq1。r>R

以r為半徑做一同心球面為高斯面（外法線方向?yàn)檎?。r<R

以r為半徑做一同心球面為高斯面。面內(nèi)包圍的電荷rr9結(jié)論：均勻帶電球面的電場，在球面內(nèi)空間

，在球面外空間的相當(dāng)于全部電荷都集中在球心時(shí)產(chǎn)生的電場：orR+q-q3。r=R

處，

值有一個(gè)躍變，不連續(xù)。102.均勻帶電球體的電場R

q電場球?qū)ΨQ分布Roqrr過P做高斯球面S1（外法線方向?yàn)檎?。r>R

球體外任一點(diǎn)P的PS12。r<R做高斯球面S2S211orR球內(nèi)：球心處：球外：q全部集中在球心的點(diǎn)電荷的電場3.無限大均勻帶電平面（s

）的電場電場以帶電平面為對稱面，平面對稱分布。求場中任一點(diǎn)P的。以平面為對稱面，過P點(diǎn)作一封閉柱面S，其軸線和平面垂直，二底面平行于平面。S1S3S2s規(guī)定外法線方向?yàn)檎?2+s均勻電場，平面對稱分布。s1s2疊加原理：P1P2+13思考題：(1)二同心均勻帶電球面求：電場分布Q1Q2R1R2(2)無限大，厚度為b均勻帶電平面，rbr求：電場分布145.無限長均勻帶電柱面的電場R

lr<R同上分析，做一高斯柱面S1RlhS1r>R做高斯柱面S2S2hor15(2)

均勻無限長帶電柱面的電荷分布在柱面上。一般可以給出面電荷分布s

，也可以給出線電荷分布l

。(3)

用疊加原理求同軸無限長帶電柱面的電場

。自己思考(1)

均勻無限長帶電柱面的電場：柱內(nèi)，柱外的電場同帶等量電荷（等

l）的無限長帶電線的電場相同。16歸納用高斯定理解題的方法1.分析帶電體的對稱性若電荷分布是對稱的，則電場分布也是對稱的。球?qū)ΨQ電場：點(diǎn)電荷，均勻帶電球面、球體、球殼軸對稱電場：平面對稱電場：無限長帶電線，帶電柱面、柱體無限大帶電平面典型的對稱分布電場：（球形電容器）（電纜線）（平板電容器，偏轉(zhuǎn)電級……）172.選取合適的高斯面1。

找出電場的對稱中心，取對稱面，所求在高斯面上2。

高斯面是簡單、封閉的幾何面3。

面上各部分（此部分通量為）（此部分通量為）（此部分通量為）

和

夾角為3.求出通量求出面內(nèi)的從高斯定理求184.某些有限大小的帶電體的電場具有對稱性，但找不出一個(gè)高斯面，使E可以從積分號內(nèi)提出，只能用積分法求解。如：帶電線段帶電環(huán)小平面圓柱5.對于比較復(fù)雜的電場，可認(rèn)為是簡單電場的疊加。如：Pl2l1s1s2PQ1Q2補(bǔ)償法19僅利用高斯定理不能求任意電場的從物