數(shù)學(xué)七年級(jí)下學(xué)期3.18+整式的除法

專題3.18整式的除法（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用同底數(shù)冪的除法性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．2.會(huì)進(jìn)行單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算．3.會(huì)進(jìn)行多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、同底數(shù)冪的除法法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（≠0，都是正整數(shù)，并且）特別說明：（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運(yùn)算.（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.（3）當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì).（4）底數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.要點(diǎn)二、零指數(shù)冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即（≠0）特別說明：底數(shù)不能為0，無意義.任何一個(gè)常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.因此常數(shù)項(xiàng)也叫0次單項(xiàng)式.要點(diǎn)三、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只有被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.特別說明：（1）法則包括三個(gè)方面：①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.（2）單項(xiàng)式除法的實(shí)質(zhì)即有理數(shù)的除法（系數(shù)部分）和同底數(shù)冪的除法的組合，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果仍為單項(xiàng)式.要點(diǎn)四、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.即特別說明：（1）由法則可知，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式來解決，其實(shí)質(zhì)是將它分解成多個(gè)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式.（2）利用法則計(jì)算時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)要包括它前面的符號(hào)，要注意符號(hào)的變化.【典型例題】類型一、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 1．化簡(jiǎn)-10a5b3c÷5a4b.【答案】-2ab2c．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則，對(duì)-10a5b3c÷5a4b進(jìn)行計(jì)算即可的出答案.解：原式=[（-10）÷5]a5-4b3-1c=-2ab2c．【點(diǎn)撥】本題考查單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟練掌握單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】【答案】【分析】按照單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，連同它的指數(shù)一起作為積的一個(gè)因式，從而可得答案．解：原式．【點(diǎn)撥】本題考查的是單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，掌握單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】【答案】2x【分析】原式被除數(shù)利用積的乘方與冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算，再利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可得到結(jié)果．解：原式．故答案為：2x．【點(diǎn)撥】本題考查整式的除法，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3】-20x3y5z÷(-10x2y)【答案】2xy4z【分析】根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算即可．解：-20x3y5z÷(-10x2y)=2x3-1y5-1z=2xy4z．類型二、科學(xué)記數(shù)法表示單項(xiàng)式的除法 2．【答案】【分析】利用單項(xiàng)式除法法則進(jìn)行計(jì)算即可．解：==．【點(diǎn)撥】本題考查了利用單項(xiàng)式除法法則進(jìn)行有理數(shù)的計(jì)算，熟練掌握單項(xiàng)式除法法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】計(jì)算：；【答案】【分析】根據(jù)單項(xiàng)式除法法則計(jì)算即可；解：（1）原式．【點(diǎn)撥】本題考查了單項(xiàng)式除法．掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．類型三、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 3．【答案】試題分析：利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.解：原式===舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)求值：，其中．【答案】；【分析】先按照平方差公式，完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則計(jì)算括號(hào)內(nèi)的整式的乘法運(yùn)算，再合并括號(hào)內(nèi)的同類項(xiàng)，最后計(jì)算多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式即可得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再把代入化簡(jiǎn)的結(jié)果可得答案．解：當(dāng)，原式【點(diǎn)撥】本題考查的是整式的加減乘除混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值，掌握平方差公式，完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式2】先化簡(jiǎn)后求值：，其中，．【答案】【分析】通過整式乘除化簡(jiǎn)求值即可；解：原式，將，代入上式，得：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確利用合并同類項(xiàng)和整式乘除計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式3】計(jì)算：(18a2b-6ab)÷(-6ab)．【答案】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.解：==.【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算，熟練掌握多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別與單項(xiàng)式相除，再把所得的商相加.類型四、整式的四則運(yùn)算 4．計(jì)算：(1)y(2x－y)＋(x＋y)2;(2)(－2a2b3)÷(－6ab2)·(－4a2b)．【答案】（1）x2＋4xy，（2）－a3b2【分析】（1）利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則及完全平方公式分別計(jì)算后，合并同類項(xiàng)即可；（2）利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式及單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則依次計(jì)算即可.解：（1）原式＝2xy-+=x2＋4xy；（2）原式＝=－a3b2.【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟知整式的混合運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】計(jì)算：(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)【答案】4x﹣3【分析】運(yùn)用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則去括號(hào)后，再合并同類項(xiàng)即可.解：(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)=x2+3x-x-3-x2+2x

=4x-3.【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算，解本題的關(guān)鍵運(yùn)用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式a（b+c）=ab+ac法則和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則（a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.【變式2】先化簡(jiǎn)，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中x=4．【答案】2x﹣9，-1解：原式=x2﹣9﹣x2+2x=2x﹣9．當(dāng)x=4時(shí)，原式=2×4﹣9=﹣1．【變式3】計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先計(jì)算積乘方，再由單項(xiàng)式的乘除法則解題；（2）根據(jù)乘法公式解題．解：（1）解：原式，，；（2）解：原式，，．【點(diǎn)撥】本題考查整式的混合運(yùn)算，其中涉及平方差公式、完全平方公式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．類型五、整式的混合運(yùn)算 5．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中【答案】2a-14b；13【分析】利用非負(fù)數(shù)和為0，每個(gè)非負(fù)數(shù)為0，求出的值，用平方差公式計(jì)算，，然后合并同類項(xiàng)，再利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算再賦值計(jì)算即可．解：∵，∴，，∴，b=-1，原式=[a2-25b2-（a2-4ab+4b2）+b2]÷2b，=（a2-25b2-a2+4ab-4b2+b2）÷2b，=（4ab-28b2）÷2b，=2a-14b，當(dāng)，b=-1時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題考查化簡(jiǎn)求值問題，掌握化簡(jiǎn)求值的技巧，會(huì)利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)求條件值，掌握平方差與完全平方公式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則，會(huì)利用公式化簡(jiǎn)，能準(zhǔn)確代入計(jì)算是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】說明代數(shù)式的值，與的值無關(guān)．【答案】說明見解析.解：試題分析：根據(jù)整式的混合運(yùn)算的法則和順序，先算完全平方和平方差，然后合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)，通過關(guān)化簡(jiǎn)可判斷.試題解析：原式==x-y+y=x∴代數(shù)式的值與y無關(guān).【變式2】先化簡(jiǎn)，再求值：[(x2＋y2)－(x＋y)2＋2x(x－y)]÷(4x)，其中x－2y＝2.【答案】x－y，1.試題分析：本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，先把中括號(hào)內(nèi)化簡(jiǎn)，再根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算，然后把x－2y作為一個(gè)整體代入求值.解：原式＝(x2＋y2－x2－2xy－y2＋2x2－2xy)÷4x＝(2x2－4xy)÷4x＝x－y.因?yàn)閤－2y＝2，所以x－y=(x-2y)=×2＝1.【變式3】先化簡(jiǎn)，再求值