高中數(shù)學 導數(shù)與函數(shù)的單調性問題-（解析版）

專題13導數(shù)與函數(shù)的單調性問題【高考地位】在近幾年的高考中，導數(shù)在研究函數(shù)的單調性中的應用是必考內容，它以不但避開了初等函數(shù)變形的難點，定義法證明的繁雜，而且使解法程序化，優(yōu)化解題策略、簡化運算，具有較強的工具性的作用.導數(shù)在研究函數(shù)的單調性中的應用主要有兩方面的應用：一是分析函數(shù)的單調性；二是已知函數(shù)在某區(qū)間上的單調性求參數(shù)的取值范圍.在高考中的各種題型中均有出現(xiàn)，其試題難度考查相對較大.【方法點評】類型一求已知函數(shù)的單調區(qū)間使用情景：已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調性解題模板：第一步計算函數(shù)的定義域；第二步求出函數(shù)的導函數(shù)；第三步若，則為增函數(shù)；若，則為減函數(shù).例1函數(shù)的單調遞增區(qū)間為___________．【答案】【解析】考點：導數(shù)與單調性．【點評】求已知函數(shù)的單調區(qū)間的關鍵是正確求出函數(shù)的導函數(shù)，并正確計算和相應的自變量的取值范圍.【變式演練1】若，，則有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：，，時，；在上是增函數(shù)，又，.故選C．學科網(wǎng)考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【變式演練2】函數(shù)，的單調減區(qū)間為．【答案】（0，）（可寫為）【解析】考點：1.函數(shù)的求導法則；2.利用導數(shù)求單調區(qū)間；【變式演練3】設，則，，的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：令，則，所以函數(shù)為增函數(shù)，所以，所以，即，所以；又因為，所以，故應選.考點：1、導數(shù)在研究函數(shù)的單調性中的應用.【變式演練4】若，則的解集為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)的定義域為，,所以的解集為,故選C．考點：1、導數(shù)在研究函數(shù)的單調性中的應用.類型二求含參數(shù)的函數(shù)的單調區(qū)間使用情景：函數(shù)的解析式中含有參數(shù)解題模板：第一步計算函數(shù)的定義域并求出函數(shù)的導函數(shù)；第二步討論參數(shù)的取值范圍，何時使得導函數(shù)按照給定的區(qū)間大于0或小于0；第三步求出不同情況下的極值點進而判斷其單調區(qū)間.例2已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調區(qū)間.【答案】當時，在內單調遞增，在內單調遞減；當時，在單調遞增；當時，在內單調遞增，在內單調遞減．（其中）.學科網(wǎng)【點評】解決含參數(shù)的函數(shù)的單調區(qū)間的關鍵是正確地討論與的大小關系，并正確地判斷導數(shù)的符號，進而確定函數(shù)的單調區(qū)間.【變式演練5】若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】考點：1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；2、不等式恒成立問題．【變式演練6】已知.（1）討論的單調性；（2）當時,證明對于任意的成立.【答案】（1）當時,在內單調遞增,在內單調遞減,當時,在內單調遞增,在內單調遞減,在內單調遞增,當時,在內單調遞增,當時,在內單調遞增,在內單調遞減,在單調遞增；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，然后對分類分析導函數(shù)的符號，由導函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調性；（2）構造函數(shù)，令，．則，利用導數(shù)分別求與的最小值得到恒成立．由此可得對于任意的成立．試題解析：（1）的定義域為,當時,時,單調遞增,時,單調遞減,當時,.學科網(wǎng)①時,,當或時,單調遞增,當時,單調遞減.②時,,在內,單調遞增.（2）證明:由（1）知時,,設,則,由,可得,當且僅當時取得等號,又,設,則在單調遞減,因為,使得時,時,在內單調遞增,在內單調遞減,由,可得,當且僅當時取得等號,所以,即對于任意的成立.考點：（1）利用導函數(shù)求閉區(qū)間上的最值；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.【變式演練7】已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求實數(shù)的值；（2）若在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，求證.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）利用兩直線平行,求出的值；（2）利用恒成立,轉化為求的最小值；（3）由函數(shù)的單調性,所以,代入化簡得證.（3）∵，∴，要證，即證令，由（2）知，在上是增函數(shù)，∴.故，即.考點：1.兩直線平行的條件；2.基本不等式；3.導數(shù)的應用.【變式演練8】函數(shù)．討論的單調性．【答案】當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．【解析】考點：（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；（2）根的存在性及根的個數(shù)判斷．【變式演練9】已知函數(shù)，，其中a∈R.（Ⅰ）當a＝1時，判斷f（x）的單調性；（Ⅱ）若g（x）在其定義域內為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍【答案】（Ⅰ）在（0，＋∞）上單調遞增．（Ⅱ）a≥【解析】試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)導數(shù)并確定導函數(shù)符號：，即得函數(shù)在定義域上單調遞增（Ⅱ）g（x）在其定義域內為增函數(shù)，等價于g′（x）≥0恒成立，再利用變量分離法將其轉化為對應函數(shù)最值：的最大值，最后利用基本不等式求最大值得正實數(shù)a的取值范圍.學科網(wǎng)試題解析：（1）由得定義域為（0，＋∞），，當a＝1時，，f（x）在（0，＋∞）上單調遞增．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)單調性【思路點睛】導數(shù)與函數(shù)的單調性（1）函數(shù)單調性的判定方法：設函數(shù)y＝f（x）在某個區(qū)間內可導，如果f′（x）＞0，則y＝f（x）在該區(qū)間為增函數(shù)；如果f′（x）＜0，則y＝f（x）在該區(qū)間為減函數(shù).（2）函數(shù)單調性問題包括：①求函數(shù)的單調區(qū)間，常常通過求導，轉化為解方程或不等式，常用到分類討論思想；②利用單調性證明不等式或比較大小，常用構造函數(shù)法.【高考再現(xiàn)】1.【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分14分）設函數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，(I)求SKIPIF1<0的單調區(qū)間；【答案】（Ⅰ）詳見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導數(shù)：SKIPIF1<0，再根據(jù)導函數(shù)零點是否存在情況，分類討論：=1\*GB3①當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0的單調增區(qū)間為SKIPIF1<0.=2\*GB3②當SKIPIF1<0時，存在三個單調區(qū)間試題解析：（Ⅰ）解：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.下面分兩種情況討論：（1）當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0.（2）當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0變化時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的變化情況如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋0－0＋SKIPIF1<0單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以SKIPIF1<0的單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【名師點睛】求可導函數(shù)單調區(qū)間的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)；(2)求導函數(shù)f′(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集確定函數(shù)f(x)的單調增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數(shù)時，可分類討論求得單調區(qū)間．學科網(wǎng)2.【2015高考湖南，文8】設函數(shù)，則是()A、奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)B、奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)C、偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)D、偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)【答案】A【解析】【考點定位】利用導數(shù)研究函數(shù)的性質【名師點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)在(a，b)內的單調性的步驟：(1)求；(2)確認在(a，b)內的符號；(3)作出結論：時為增函數(shù)；時為減函數(shù)．研究函數(shù)性質時，首先要明確函數(shù)定義域.3.【2015課標2理12】設函數(shù)SKIPIF1<0是奇函數(shù)SKIPIF1<0的導函數(shù)，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則使得SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【考點定位】導數(shù)的應用、函數(shù)的圖象與性質．【名師點睛】聯(lián)系已知條件和結論，構造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題．4.【2015高考安徽，文21】已知函數(shù)（Ⅰ）求的定義域，并討論的單調性；【答案】（Ⅰ）遞增區(qū)間是（-r,r）;遞減區(qū)間為（-∞，-r）和（r，+∞）；（Ⅱ）極大值為100；無極小值.【考點定位】本題主要考查了函數(shù)的定義域、利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，以及求函數(shù)的極值等基礎知識.【名師點睛】本題在利用導數(shù)求函數(shù)的單調性時要注意，求導后的分子是一個二次項系數(shù)為負數(shù)的一元二次式，在求和時要注意，本題主要考查考生對基本概念的掌握情況和基本運算能力.5.【2015高考福建，文22】已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；【答案】(Ⅰ)；【解析】（I），．由得解得．故的單調遞增區(qū)間是．【考點定位】導數(shù)的綜合應用．【名師點睛】利用導數(shù)判斷或求函數(shù)的單調區(qū)間，通過不等式或求解，但是要兼顧定義域；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，再用單調性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，解題技巧是構造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或最值，從而證得不等式，注意與不等價，只是的特例，但是也可以利用它來證明，在2014年全國Ⅰ卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導數(shù)的強大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù)．學科網(wǎng)6.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù)滿足，其導函數(shù)滿足，則下列結論中一定錯誤的是（）A．B．C．D．【答案】C【考點定位】函數(shù)與導數(shù)．【名師點睛】聯(lián)系已知條件和結論，構造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題．7.【2015高考江蘇，19】（本小題滿分16分）已知函數(shù).（1）試討論的單調性；【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減．【考點定位】利用導數(shù)求函數(shù)單調性.【名師點晴】求函數(shù)的單調區(qū)間的步驟：①確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；②求導數(shù)y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定義區(qū)間內的一切實根；③把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；④確定f′(x)在各個區(qū)間內的符號，根據(jù)符號判定函數(shù)在每個相應區(qū)間內的單調性．8.【2015高考天津，理20（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中.(I)討論的單調性；【答案】(I)當為奇數(shù)時，在，上單調遞減，在內單調遞增；當為偶數(shù)時，在上單調遞增，在上單調遞減.【解析】(I)由，可得，其中且，下面分兩種情況討論：(2)當為偶數(shù)時，當，即時，函數(shù)單調遞增；當，即時，函數(shù)單調遞減.所以，在上單調遞增，在上單調遞減.學科網(wǎng)9.【2015高考四川，理21】已知函數(shù)，其中.（1）設是的導函數(shù)，評論的單調性；【答案】（1）當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；當時，在區(qū)間上單調遞增.【考點定位】本題考查導數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用、函數(shù)的零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合，化歸與轉化等數(shù)學思想.【名師點睛】本題作為壓軸題，難度系數(shù)應在0.3以下.導數(shù)與微積分作為大學重要內容，在中學要求學生掌握其基礎知識，在高考題中也必有體現(xiàn).一般地，只要掌握了課本知識，是完全可以解決第（1）題的，所以對難度最大的最后一個題，任何人都不能完全放棄，這里還有不少的分是志在必得的.解決函數(shù)題需要的一個重要數(shù)學思想是數(shù)形結合，聯(lián)系圖形大膽猜想.在本題中，結合待證結論，可以想象出的大致圖象，要使得在區(qū)間內恒成立，且在內有唯一解，則這個解應為極小值點，且極小值為0，當時，的圖象遞減；當時，的圖象單調遞增，順著這個思想，便可找到解決方法.【反饋練習】1.【2015-2016年河北保定一中高二下第一次段考數(shù)學試卷，文5】函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：,令得.所以函數(shù)的單調減區(qū)間為.故B正確.學科網(wǎng)考點：用導數(shù)求單調性.2.【2015-2016學年四川省達州市高二下學期期末考試數(shù)學，試卷理3】函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】C考點：用導數(shù)求函數(shù)的單調性．3.【2017屆新疆生產(chǎn)建設兵團二中高三上月考二數(shù)學試卷，文10】若函數(shù)在內是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：，由函數(shù)在內是減函數(shù)等價于，恒成立，即，得，解得，故選B．考點：（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；（2）恒成立問題．4.【2016屆新疆烏魯木齊八一中學高三上學期月考一數(shù)學試卷，理8】是函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)是增函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)），與的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：令，則，∵函數(shù)是增函數(shù)，，即，故選D．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性5.【2016屆河南鄭州一中教育集團高三押題二數(shù)學試卷，文12】定義在上的函數(shù)滿足：，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為．【答案】【解析】考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．6.【2014-2015學年四川省達州市高二下學期期末考試數(shù)學試卷，理6】已知，