備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學一輪復習知識解讀專題01輔助圓定點定長

專題01輔助圓定點定長（知識解讀）【專題說明】最值問題的必要條件是至少有一個動點，因為是動態(tài)問題，所以才會有最值。初中階段動點的運動軌跡主要是“一條直線”或“圓”。在這類題目中，題目很少直接告訴我們動點軌跡是個圓，也很少把這個圓畫出來，因此，結合題目給的條件，分析出動點的軌跡圖形，將是我們面臨的最大的問題。【方法技巧】模型一：定點定長作圓點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓。模型一：點圓最值已知平面內(nèi)一定點D和O，點E是O上一動點，設點O與點D之間距離為d，O半徑為r.位置關系點D在O內(nèi)點D在O上點D在O外圖示DE的最大值d＋r

2r

d＋r此時點E的位置連接DO并延長交O于點E

DE的最小值r－d0d－r此時點E的位置連接OD并延長交O于點E點E與點D重合連接OD交O于點E【典例分析】【典例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，則∠BDC＝．【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，AB＝AC＝AD，請畫出滿足條件時點C的軌跡．【典例2】如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E是邊AC上的任意一點（點E不與點C重合），沿DE翻折△DCE使點C落在點F處，請畫出點F的軌跡．【變式2】如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，將△AEB繞點B順時針旋轉，使AB與邊BC重合，得到△MNB，請畫出在旋轉過程中點M的運動軌跡．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，，，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線面BC邊上的動點，將沿EF所在的直線折疊得到，連接，求的最小值?！咀兪?-1】（2019?錦州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD邊的中點，N是AB邊上的動點，將△AMN沿MN所在直線折疊，得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是．【變式3-2】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直線AB上的一個動點，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，連接PF、EF，則FC的最小值是，點F到線段BC的最短距離是．【典例4】（2021秋?邗江區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，0），B（3，0），C為平面內(nèi)的動點，且滿足∠ACB＝90°，D為直線y＝x上的動點，則線段CD長的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【變式4-1】（2021秋?武江區(qū)校級期末）如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標為（5，12），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則AB的最小值為．【變式4-2】（2021秋?薩爾圖區(qū)校級期末）如圖，點A，B的坐標分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，OM的最大值為．專題01輔助圓定點定長（知識解讀）【專題說明】最值問題的必要條件是至少有一個動點，因為是動態(tài)問題，所以才會有最值。初中階段動點的運動軌跡主要是“一條直線”或“圓”。在這類題目中，題目很少直接告訴我們動點軌跡是個圓，也很少把這個圓畫出來，因此，結合題目給的條件，分析出動點的軌跡圖形，將是我們面臨的最大的問題。【方法技巧】模型一：定點定長作圓點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓。模型一：點圓最值已知平面內(nèi)一定點D和O，點E是O上一動點，設點O與點D之間距離為d，O半徑為r.位置關系點D在O內(nèi)點D在O上點D在O外圖示DE的最大值d＋r

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d＋r此時點E的位置連接DO并延長交O于點E

DE的最小值r－d0d－r此時點E的位置連接OD并延長交O于點E點E與點D重合連接OD交O于點E【典例分析】【典例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，則∠BDC＝．【解答】解：以A為圓心，AB為半徑畫圓，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CAD＝2∠BAC，∴∠CBD＝2∠BDC，∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，∴3∠CBD+105°＝180°，∴∠CBD＝25°．故答案為：25°．【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，AB＝AC＝AD，請畫出滿足條件時點C的軌跡．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴點C在以A為圓心，AB為半徑的圓上運動，∵四邊形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，∴點C的運動軌跡為（不與B、D重合）．【典例2】如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E是邊AC上的任意一點（點E不與點C重合），沿DE翻折△DCE使點C落在點F處，請畫出點F的軌跡．【解答】解：∵DF＝DC，∴則點F在以點D為圓心DC為半徑的圓上運動，當點E與A重合時，AD與⊙D交于Q，則即為點F的運動軌跡．∠FDE＝∠CDE＝∠CDA，則軌跡為優(yōu)弧MQC，滿足∠MDA＝∠CDA，此時點F的軌跡為．【變式2】如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，將△AEB繞點B順時針旋轉，使AB與邊BC重合，得到△MNB，請畫出在旋轉過程中點M的運動軌跡．【解答】解：如圖，弧AM即為所求．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，，，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線面BC邊上的動點，將沿EF所在的直線折疊得到，連接，求的最小值。解：如圖，點E為圓心，為半徑作圓，當點E，，D三點共線時的值最小。，，，【變式3-1】（2019?錦州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD邊的中點，N是AB邊上的動點，將△AMN沿MN所在直線折疊，得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是．【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)．版權所有【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，∵M是AD邊的中點，∴AM＝MD＝1∵將△AMN沿MN所在直線折疊，∴AM＝A'M＝1∴點A'在以點M為圓心，AM為半徑的圓上，∴如圖，當點A'在線段MC上時，A'C有最小值，∵MC＝＝∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1故答案為：﹣1【變式3-2】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直線AB上的一個動點，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，連接PF、EF，則FC的最小值是，點F到線段BC的最短距離是．【解答】解：連接CE，作EG⊥BC于G，∵AE＝EF＝2，∴點F在以E為圓心，AE為半徑的圓上運動，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∴FC的最小值為CE﹣2＝2﹣2，∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，∴四邊形ABGE是矩形，∴EG＝AB＝4，∴點F到線段BC的最短距離是2，故答案為：2﹣2，2．【典例4】（2021秋?邗江區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，0），B（3，0），C為平面內(nèi)的動點，且滿足∠ACB＝90°，D為直線y＝x上的動點，則線段CD長的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴點C在以AB為直徑的圓上，AB為直徑的圓的圓心為E點，如圖，連接DE交⊙E于C′，∵A（1，0），B（3，0），∴AB＝2，AE＝1，∴DC≤DE﹣CE（當且僅當D、C、E共線時取等號）即DC≤DE﹣1，∵DE⊥直線y＝x時，DE最短，DE的最小值為OE＝，∴線段CD長的最小值為﹣1．故選：C．【變式4-1】（2021秋?武江區(qū)校級期末）如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標為（5，12），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則AB的最小值為．【解答】解：連接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交⊙M于點P′，當點P位于P′位置時，OP′取得最小值，過點M作MQ⊥x軸于點Q，則OQ＝5，MQ＝12，∴OM＝13，又∵MP′＝4，∴OP′＝9，∴AB＝2OP′＝18，故答案是：18．【變式4-2】（2021秋?薩爾圖區(qū)校級期末）如圖，點A，B的坐標分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝2，點M為線段AC的