北師大版九年級數(shù)學上冊 專題2.1 二次函數(shù)（知識講解）下冊基礎知

專題2.1二次函數(shù)（知識講解）【學習目標】1、理解二次函數(shù)的概念；2、能根據二次函的解析式判斷是否為二次函數(shù)；3、根據二次函數(shù)概念求參數(shù)。【要點梳理】1.二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù).若b=0，則y=ax2+c；若c=0，則y=ax2+bx；若b=c=0，則y=ax2.以上三種形式都是二次函數(shù)的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)的一般式.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.特別說明：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a的絕對值越大，拋物線的開口越小.2.二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點式：（，，為常數(shù)，）；3.兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）（或稱交點式）.特別說明：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.【典型例題】類型一、二次函數(shù)的判斷1．下列函數(shù)中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函數(shù)的是______(其中x、t為自變量).【答案】①④【分析】一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．根據二次函數(shù)的定義條件判定則可．解：①y＝－x2，二次項系數(shù)為－1，是二次函數(shù)；

②y＝2x，是一次函數(shù)；

③y＝22＋x2－x3，含自變量的三次方，不是二次函數(shù)；

④m＝3－t－t2，是二次函數(shù).故填①④．【點撥】本題考查二次函數(shù)的定義．

一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．

判斷一個函數(shù)是二次函數(shù)需要注意三點：

(1)經整理后，函數(shù)表達式是含自變量的整式；

(2)自變量的最高次數(shù)為2；

(3)二次項系數(shù)不為0，尤其是含有字母系數(shù)的函數(shù)，應特別注意，二次項系數(shù)a是否為0．舉一反三：【變式1】下列各式：；其中是的二次函數(shù)的有________（只填序號）【答案】②⑤⑥【分析】根據二次函數(shù)的定義與一般形式即可求解．解：y是x的二次函數(shù)的有②，⑤，⑥．故答案是：②，⑤，⑥．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常數(shù)，x是未知數(shù)）．【變式2】當m＝____________時，函數(shù)是二次函數(shù)．【答案】-1【解析】由題意得：，解得：m=-1.【變式3】已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函數(shù)的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據二次函數(shù)的定義判斷即可；解：y＝2x﹣1是一次函數(shù)；y＝﹣2x2﹣1是二次函數(shù)；y＝3x3﹣2x2不是二次函數(shù)；④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函數(shù)；y＝ax2+bx+c，沒告訴a不為0，故不是二次函數(shù)；故二次函數(shù)有1個；故答案選A．【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，準確判斷是解題的關鍵．類型二、根據二次函數(shù)定義求參數(shù)2．已知函數(shù)y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k為常數(shù)）．（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求k的值；（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)，則k的值滿足什么條件？【答案】（1）k＝1；（2）k≠0且k≠1【分析】（1）由一次函數(shù)的定義求解可得；（2）由二次函數(shù)的定義求解可得．解：（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)，則k2﹣k＝0且k≠0，解得k＝1；（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)，則k2﹣k≠0，解得k≠0且k≠1．【點撥】本題主要考查了一次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的定義，準確分析判斷是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】已知函數(shù)y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m為常數(shù)），根據下列條件求m的值：（1）y是x的一次函數(shù)；（2）y是x的二次函數(shù)．【答案】(1)m=1;(2)m≠1和m≠0【分析】根據一次函和二次函數(shù)的定義可以解答．解：（1）y是x的一次函數(shù)，則可以知道，m2﹣m＝0，解之得：m＝1，或m＝0，又因為m≠0，所以，m＝1．（2）y是x的二次函數(shù)，只須m2﹣m≠0，∴m≠1和m≠0．【點撥】考查了一元二次方程的定義，熟記概念是解答本題的關鍵．【變式2】（1）已知函數(shù)y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若這個函數(shù)是二次函數(shù)，求m的取值范圍；（2）已知函數(shù)y=（m2+m）是二次函數(shù)，求m的值．【答案】（1）m≠0且m≠1；（2）m的值為3．【分析】（1）根據二次函數(shù)的二次項系數(shù)不等于0，可得答案；（2）直接利用一元二次方程的定義得出關于m的等式求出即可．解：（1）函數(shù)y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函數(shù)，即m2﹣m≠0，即m≠0且m≠1，∴當m≠0且m≠1，這個函數(shù)是二次函數(shù)；（2）由題意得：m2﹣2m﹣1=2，m2+m≠0，解得：m1=3，m2=﹣1（不合題意舍去），所以m的值為3．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，正確解一元二次方程是解題關鍵．【變式3】已知．（1）當m為何值時，它是y關于x的一次函數(shù)；（2）當m為何值時，它是y關于x的二次函數(shù)．【答案】（1）；（2）4或或或0或1【分析】（1）根據形如y=kx+b

（k≠0）是一次函數(shù)，可得答案；（2）根據形如y=ax2+bx+c

（a≠0）是二次函數(shù)，可得答案．解：（1）由是關于x的一次函數(shù)，得解得．所以當時，它是y關于x的一次函數(shù)．（2）由是關于x的二次函數(shù)，得①，解得；②，解得；③解得；④，解得或．綜上所述，當m的值為4或或或0或1時，它是y關于x的二次函數(shù)．【點撥】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的一般形式中，二次項系數(shù)，解此類題易出現(xiàn)只關注滿足指數(shù)的要求，而忽略對二次項系數(shù)的限制，從而導致錯誤．類型三、列二次函數(shù)解析式3、王大爺生產經銷一種農副產品，其成本價為20元每千克．市場調查發(fā)現(xiàn),該產品每天的銷售量(千克)與銷售價(元/千克)有如下關系:．若這種產品每天的銷售利潤為(元).求與之間的函數(shù)關系式．【答案】【分析】利用單價利潤總銷售量=總利潤.解：..舉一反三：【變式1】有一個周長為80cm的正方形，從四個角各減去一個正方形，做成一個無蓋盒子。設這個盒子的底面面積為ycm，減去的正方形的邊長為xcm，求y與x的函數(shù)關系式.【答案】y＝4x2-80x+400.【分析】首先計算出正方形的邊長，再利用正方形的性質表示出無蓋盒子的底邊邊長，進而得出函數(shù)關系式．解：正方形的邊長為80÷4＝20cm，根據題意可得：y＝(20?2x)2＝4x2-80x+400．【點撥】此題主要考查了根據實際問題列二次函數(shù)解析式，表示出正方形盒子的底邊長是解題關鍵．【變式2】已知，如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，點P從點A沿AB以每秒2cm的速度向點B運動，點Q從點C以每秒1cm的速度向點A運動，設點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，運動時間為t（秒）（0＜t＜6），回答下列問題：（1）直接寫出線段AP、AQ的長（含t的代數(shù)式表示）：AP＝______，AQ＝______；（2）設△APQ的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關系式；（3）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形，那么是否存在某一時間t，使四邊形為菱形？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）2t，；（2）；（3）存在，t＝4時，四邊形是菱形．【分析】（1）根據∠A＝60°，AB＝12cm，得出AC的長，進而得出AP＝2t，．（2）過點P作PH⊥AC于H．由AP＝2t，AH＝t，得出，從而求得S與t的函數(shù)關系式；（3）過點P作PM⊥AC于M，根據菱形的性質得PQ＝PC，則可得出求得t即可．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，∴AC＝6，∴由題意知：AP＝2t，故答案為：（2）如圖①過點P作PH⊥AC于H．∵∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，∴∠B＝30°，∴∠HPA＝30°，∵AP＝2t，AH＝t，∴∴（3）當t＝4時，四邊形PQP′C是菱形，理由如下：證明：如圖②過點P作PM⊥AC于M，∵CQ＝t，由（2）可知，AM＝AP＝t，∴QC＝AM，由對折可得：當PC＝PQ時，四邊形是菱形，CM＝MQ＝AQ＝AC＝2，當t＝4時，四邊形是菱形．【點撥】本題考查的是含的直角三角形的性質，勾股定理的應用，列二次函數(shù)關系式，菱形的判定與性質，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式3】下列每個圖形都是由若干個邊長為1的等邊三角形組成的等邊三角形，它們的邊長分別為2，3，4，…，設邊長為的等邊