專題05 數(shù)學(xué)定理證明問(wèn)題（解析版）

2023年中考不?？紳M分當(dāng)成寶數(shù)學(xué)10個(gè)特色專題精煉（中等難度）專題05數(shù)學(xué)定理證明與應(yīng)用問(wèn)題1．定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．已知：如圖，∠ACD是△ABC的外角．求證：∠ACD＝∠A+∠B．證法1：如圖，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定義），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代換）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性質(zhì)）．證法2：如圖，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器測(cè)量所得）又∵135°＝76°+59°（計(jì)算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換）．下列說(shuō)法正確的是（）A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整 B．證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理 C．證法2用特殊到一般法證明了該定理 D．證法2只要測(cè)量夠一百個(gè)三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理【答案】B【解析】依據(jù)定理證明的一般步驟進(jìn)行分析判斷即可得出結(jié)論．∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確，具有一般性，無(wú)需再證明其他形狀的三角形，∴A的說(shuō)法不正確，不符合題意；∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確，∴B的說(shuō)法正確，符合題意；∵定理的證明必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，不能用特殊情形來(lái)說(shuō)明，∴C的說(shuō)法不正確，不符合題意；∵定理的證明必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，與測(cè)量次解答數(shù)的多少無(wú)關(guān)，∴D的說(shuō)法不正確，不符合題意；綜上，B的說(shuō)法正確．故選：B．2．如圖，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c．（1）若a＝6，b＝8，c＝12，請(qǐng)直接寫出∠A與∠B的和與∠C的大小關(guān)系；（2）求證：△ABC的內(nèi)角和等于180°；（3）若＝，求證：△ABC是直角三角形．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，∴∠A+∠B＜∠C；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作MN∥BC，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（兩直線平行，同位角相等），∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定義），∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代換），即：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°；（3）∵＝，∴ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]，∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．3.勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1）后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請(qǐng)敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個(gè)；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷，，的關(guān)系并證明；（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到如圖8所示的“勾股樹(shù)”．在如圖9所示的“勾股樹(shù)”的某部分圖形中，設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為定值，四個(gè)小正方形，，，的邊長(zhǎng)分別為，，，，已知，則當(dāng)變化時(shí)，回答下列問(wèn)題：（結(jié)果可用含的式子表示）①_______；②與的關(guān)系為_(kāi)______，與的關(guān)系為_(kāi)______．【答案】（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為，斜邊為c，那么，（或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．）；②證明見(jiàn)解析；（2）①3，②結(jié)論；（3）①，②，．【解析】【分析】（1）①根據(jù)所學(xué)的知識(shí)，寫出勾股定理的內(nèi)容即可；②根據(jù)題意，利用面積相等的方法，即可證明勾股定理成立；（2）①根據(jù)題意，設(shè)直角三角形的三邊分別為a、b、c，利用面積相等的方法，分別求出面積的關(guān)系，即可得到答案；②利用三角形的面積加上兩個(gè)小半圓的面積，然后減去大半圓的面積，即可得到答案；（3）①由（1）（2）中的結(jié)論，結(jié)合勾股定理的應(yīng)用可知，；②由，則，同理可得，利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案．【詳解】解：（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為，斜邊為c，那么．（或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．）②證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡(jiǎn)得．在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡(jiǎn)得．在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即，化簡(jiǎn)．（2）①根據(jù)題意，則如下圖所示：在圖4中，直角三角形的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則由勾股定理，得，∴；在圖5中，三個(gè)扇形的直徑分別為a、b、c，則，，，∴，∵，∴，∴；在圖6中，等邊三角形的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則，，，∵，，∴，∴；∴滿足的有3個(gè)，故答案為：3；②結(jié)論；，；（3）①如圖9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d、e、f、m，則有由（1）（2）中的結(jié)論可知，面積的關(guān)系為：A+B=E，C+D=F，E+F=M，∴，，，∴故答案為：；②∵，∴，，由解直角三角形和正方形的性質(zhì)，則，，∴；同理：；；；∴，∴，∵，∴．故答案為：；．【點(diǎn)睛】考查求扇形的面積，解直角三角形，勾股定理的證明，以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，注意歸納推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、歸納總結(jié)能力，是中檔題．4．（1）閱讀理解我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過(guò)程；（2）問(wèn)題解決勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過(guò)正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，將它分成4份，所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；（3）拓展探究如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到“勾股樹(shù)”的部分圖形．設(shè)大正方形N的邊長(zhǎng)為定值n，小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d．已知∠1＝∠2＝∠3＝α，當(dāng)角α（0°＜α＜90°）變化時(shí)，探究b與c的關(guān)系式，并寫出該關(guān)系式及解答過(guò)程（b與c的關(guān)系式用含n的式子表示）．【答案】見(jiàn)解析。【解析】（1）由題意得4△ADE的面積+正方形EFGH的面積＝正方形ABCD是面積，即4×ab+（b﹣a）2＝c2，整理即可；（2）設(shè)EF＝a，F(xiàn)D＝b，則a+b＝12①，再由題意得E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，則a﹣b＝5②，由①②求出a＝即可；（3）設(shè)正方形E的邊長(zhǎng)為e，正方形F的邊長(zhǎng)為f，證△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，得＝，＝，則e2＝cn，f2＝bn，再由勾股定理得：e2+f2＝n2，則cn+bn＝n2，即可得出結(jié)論．解：（1）a2+b2＝c2（直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方），證明如下：∵如圖①是由直角邊長(zhǎng)分別為a，b的四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)邊長(zhǎng)為（b﹣a）的小正方形拼成的一個(gè)邊長(zhǎng)為c的大正方形，∴4△ADE的面積+正方形EFGH的面積＝正方形ABCD是面積，即4×ab+（b﹣a）2＝c2，整理得：a2+b2＝c2；（2）由題意得：正方形ACDE被分成4個(gè)全等的四邊形，設(shè)EF＝a，F(xiàn)D＝b，∴a+b＝12①，∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4個(gè)全等的四邊形和正方形CBLM拼成，∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，∵E'F'﹣KF'＝E'K，∴a﹣b＝5②，由①②得：，解得：a＝，∴EF＝；（3）c+b＝n，理由如下：如圖③所示：設(shè)正方形E的邊長(zhǎng)為e，正方形F的邊長(zhǎng)為f，∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，∴＝，＝，即＝，＝，∴e2＝cn，f2＝bn，在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e2+f2＝n2，∴cn+bn＝n2，∴c+b＝n．5.（2022北京）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°，已知：如圖，,求證：方法一證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作方法二證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作【答案】答案見(jiàn)解析【解析】選擇方法一，過(guò)點(diǎn)作，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到，，再根據(jù)平角的定義，即可得到三角形的內(nèi)角和為．證明：過(guò)點(diǎn)作，則，．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）點(diǎn)，，在同一條直線上，．（平角的定義）．即三角形的內(nèi)角和為．【點(diǎn)睛】主要考查平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.（2022重慶）我們知道，矩形的面積等于這個(gè)矩形的長(zhǎng)乘寬，小明想用其驗(yàn)證一個(gè)底為a，高為h的三角形的面積公式為．想法是：以為邊作矩形，點(diǎn)A在邊上，再過(guò)點(diǎn)A作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來(lái)得到驗(yàn)證．按以上思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)D．（只保留作圖痕跡）在和中，∵，∴．∵，∴______①____．∵，∴______②_____．又∵_(dá)___③______．∴（）．同理可得：_____④______．．【答案】圖見(jiàn)解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE【解析】根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可，利用垂直的定義