平面平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用

平面、平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用一、平面的基本性質(zhì)回想：涉及三個(gè)公理、三個(gè)推論、其中公理3，推論1，推論2，推論3分別提供了構(gòu)造平面的四種：

（1）選不共線的三點(diǎn)（2）選一條直線與直線外一點(diǎn)

（3）選兩條相交直線（4）選兩條平行直線

二、證明共面的兩種辦法：

1、構(gòu)造一種平面，證有關(guān)元素在這個(gè)平面內(nèi)；2、構(gòu)造兩個(gè)平面，證能擬定平面的元素同在這兩個(gè)平面內(nèi)（同一法）。

例1．已知a//b,A∈a,B∈b,C∈b.

求證：a,b及直線AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可擬定平面α，再證ABα，ACα；

思路（2）：由a//b可擬定平面α，由直線AB，AC可擬定平面β。由于α，β都通過(guò)不共線的三點(diǎn)A、B、C，因此α，β重疊。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，還能夠由不共線的A，B，C三點(diǎn)來(lái)構(gòu)造，或者由點(diǎn)A與直線b來(lái)構(gòu)造。

另外，同窗們?cè)跁?shū)寫(xiě)證明過(guò)程的時(shí)候，一定要把公理及推論的題設(shè)交待清晰，建議同窗們書(shū)寫(xiě)時(shí)注明理由，以下所示：

寫(xiě)法（一）：

證明：∵a//b（已知）∴a,b擬定一種平面α（推論3）∵A∈a,b∈b,c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直線ABα，直線ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。

寫(xiě)法（二）：

證明：∵a//b（知）∵a,b擬定一種平面α（推3）∴A∈α，B∈b,C∈b（已知）∴a通過(guò)A，B，C三點(diǎn)，∵AB∩AC=A∴直線AB，AC擬定一種平面β（推論2）∴β通過(guò)A，B，C三點(diǎn)，

∵A∈a,B∈b,C∈b,a//b（已知）∴A，B，C不共線∴α與β重疊（公理3）∴a,b，AB，AC共面。

有關(guān)同一法證題的思路，請(qǐng)同窗們?cè)倏匆坏览}。

例2．如果三條互相平行的直線和同一條直線相交，求證：這四條直線共面。

分析：這是一種文字命題，規(guī)定畫(huà)圖，寫(xiě)出已知，求證，然后進(jìn)行證明。另外，在寫(xiě)已知，求證時(shí)，要盡量忠實(shí)原文的意思。

已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C

求證：a,b,c,d共面。

分析由a//b可擬定一種平面α；由b//c可擬定一種平面β。由于α，β都通過(guò)兩條相交的直線b和d,因此由推論2可知，α與β重疊。（注意：α和β都通過(guò)的元素，還可有其它的選用方法，請(qǐng)同窗們自己試一試）。

證明：∵a//b（已知）∴a,b擬定一種平面α（推論3）

∵b//c（已知）∴b,c擬定一種平面β（推論3）

∵A∈a,B∈b,∴A∈α,B∈α,∴直線ABα即dα（公理1）

同理可證：dβ,∴α，β都通過(guò)b和d，

∵b∩d=B∴α與β重疊（推論2）。

三、證明三線共點(diǎn)，三點(diǎn)共線的辦法

1．三線共點(diǎn)：證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上；

2．三點(diǎn)共線：證三點(diǎn)都是兩平面的公共點(diǎn)。

例3：已知如圖，α∩β=l,aα,bβ,a∩b=A.

求證：A∈l（或者a,b,l共點(diǎn)）

分析：只需證明A為α，β的公共點(diǎn)。

證明：∵a∩b=A,aα,bβ,∴A∈aα,A∈bβ,即A為α，β的一種公共點(diǎn)，

∵l是α和β的交線，∴A∈l.

例4：如圖，已知延長(zhǎng)ΔABC三邊，AB∩α=D，BC∩α=E，AC∩α=F。

求證：D，E，F(xiàn)共線。

證明：∵ΔABC頂點(diǎn)不共線，∴A，B，C可擬定平面β,

∵D∈α且D∈ABβ,∴D是α，β的公共點(diǎn)。

同理可證：E，F(xiàn)也是α，β的公共點(diǎn)，

∴D，E，F(xiàn)都在α，β支線上，即D，E，F(xiàn)共線。

典型例題

一．求證兩兩相交且但是同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).

已知:直線AB、BC、CA兩兩相交,交點(diǎn)分別為A、B、C。

求證:直線AB、BC、CA共面。

證明:∵直線AB和AC相交于點(diǎn)A,∴直線AB和AC擬定一種平面α(推論2).

∵B∈AB,C∈AC,∴BCα(公理1).因此直線AB、BC、CA都在平面α內(nèi),即它們共面.

闡明:證明幾條直線共面,就是要找到一種平面,使得它們都在這個(gè)平面內(nèi),核心是如何找到這個(gè)平面。也就是如何擬定這個(gè)平面。(由公理3及它的三個(gè)推論我們懂得擬定平面有四種辦法).當(dāng)平面擬定后來(lái),再證明都在這個(gè)平面內(nèi),即完畢了這個(gè)證明.

二.證明:如果一條直線和三條平行直線都相交,那么這四條直線在同一平面內(nèi).

已知:直線a、b、c、l,a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.

求證:a、b、c、l共面。

證明:∵a∥b.∴a與b擬定一種平面(推論3).

∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α,∴直線AB,即lα.

也就是a、b、l共面于α。同法可證明b、c、l共面于β.

這就是說(shuō)b、l既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi).

而l∩b=B.由公理3的推論2可知α,β是同一種平面.∴a、b、c、l在同一平面內(nèi).

闡明:當(dāng)擬定一種平面后,闡明其它直線也在這個(gè)平面內(nèi)發(fā)生困難后,往往可采用“間接法”證明.本題采用了“同一法”,也可采用“反證法”來(lái)證明.

三．已知:延長(zhǎng)△ABC三邊.AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R.

求證:P、Q、R共線。

證明:∵△ABC三頂點(diǎn)為不共線的三點(diǎn).∴A、B、C三點(diǎn)能夠擬定一種平面β.

∵P∈AB,ABβ,∴P∈β.

又∵AB∩α=P,即P∈α?！郟∈αβ=l.

同理可證Q∈l,R∈l,即P、Q、R共線。

闡明:在空間幾何中,證明幾點(diǎn)共線.往往要用到公理2.

四.證明:三個(gè)平面兩兩相交得到三條直線.

(1)如果其中兩條直線交于一點(diǎn),那么第三條直線也過(guò)這點(diǎn).

(2)如果其中兩條直線平行.那么第三條直線也和它們平行.

已知:α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c。

(1)若a∩b=0,求證:0∈c.(2)若a∥b,求證:a∥c,b∥c。

證明:(1)∵α∩β=a,α∩γ=b,a∩b=0?！?∈β，0∈γ。

而β∩γ=c.∴0∈c(公理2)。

(2)∵α∩β=a,β∩γ=c，∴aβ,cβ,即a、c共面于β?！郺或c成平行或相交.

假設(shè)a∩c=P,則由(1)的結(jié)論可知P∈b.

即a∩b=P,這與a∥b矛盾,∴假設(shè)不成立，故a∥c,

同理可知b∥c。

闡明:本題的結(jié)論是對(duì)三個(gè)平面兩兩相交,交線的位置關(guān)系的鑒定,它對(duì)此后的畫(huà)圖有著很重要的作用.應(yīng)予以重視.

[習(xí)題]：

1．a(chǎn),b,c交于同一點(diǎn)O，直線d與a,b,c分別交于A，B，C三點(diǎn)。求證：a,b,c,d共面。2．已知：平面α，β，γ，α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,且a//b=M。求證：a,b,c三線共點(diǎn)。

3.已知:α∩β=l,aα,bβ,a∩b=A.求證:A∈l.

4.如圖:α∩β=l,A∈α,B∈α,c∈β.試在β內(nèi)找一點(diǎn)D.使A、B、C、D四點(diǎn)為一梯形的四個(gè)頂點(diǎn),這樣的點(diǎn)D共有幾個(gè)1（提示：由a與d相交可知，a,d擬定一種平面α，再證：b,c在α內(nèi)）

2提示：由于a,b的交點(diǎn)已經(jīng)存在，因此只需證M點(diǎn)在C上即可。要證M在C上，

由于C是β，γ的交線，因此只需證M同在β，γ內(nèi)

3.證明:∵a∩b=A,aα,bβ.∴A∈α且A∈β,又∵α∩β=l,∴A∈l.

4.分析:由于梯形是平面圖形,因此D在A、B、C三點(diǎn)擬定的平面γ內(nèi),但D又在β內(nèi),因此D在平面β與γ的交線上,由于α與γ的交線AB與l交于點(diǎn)P,易知β與γ的交線也過(guò)P點(diǎn),連CP,則D在直線CP上。連BC,在平面γ內(nèi)過(guò)A作AD∥BC交CP于D.連AC,在平面γ內(nèi)過(guò)B作BD′∥AC交CP于D′,D與D′即為所求.這樣的點(diǎn)只有兩個(gè)。在線測(cè)試選擇題

1．A,B,C為空間三點(diǎn)，通過(guò)這三點(diǎn)（）

A．能擬定一種平面B．能擬定無(wú)數(shù)個(gè)平面

C．能擬定一種或無(wú)數(shù)個(gè)平面D．能擬定一種平面或不能擬定平面2．空間交于一點(diǎn)的四條直線最多能夠擬定平面（）

A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)3．空間不共線四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,在同一平面內(nèi)的射影A',B',C',D'在同一條直線上，那么A,B,C,D可擬定平面?zhèn)€數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4．四個(gè)平面互不平行，也不重疊，則它們交線的數(shù)目不能是（）

A．6B．4C．2D．15．過(guò)直線l外兩點(diǎn)作與直線l平行的平面，能夠作（）

A．0個(gè)B．1個(gè)C．無(wú)數(shù)個(gè)D．0個(gè)，1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)6．空間四點(diǎn)能夠擬定幾個(gè)平面

A．1個(gè)B．4個(gè)C．無(wú)數(shù)個(gè)D．以上狀況都可能7．三條直線兩兩相交，最多能夠擬定幾個(gè)平面

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)8．三條直線兩兩平行，最多能夠擬定幾個(gè)平面

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．1個(gè)或3個(gè)9．下列幾個(gè)說(shuō)法中，對(duì)的的是：

A．空間的三個(gè)點(diǎn)擬定一種平面B．四邊形一定是平面圖形

C．六邊形一定是平面圖形D．梯形一定是平面圖形答案與解析解析：

1．如果這三點(diǎn)不在一條直線，則能夠擬定一種平面；如果這三點(diǎn)在一條直線上，則不能擬定平面。故本題應(yīng)選（D）。

2．?dāng)M定最多平面的狀況應(yīng)是每?jī)蓷l直線所擬定的平面都不重疊，這樣若把四條直線依次編號(hào)，則相鄰兩號(hào)碼（1與4也當(dāng)作相鄰）共擬定4個(gè)平面，而相對(duì)兩號(hào)碼共擬定2個(gè)平面，最多時(shí)能擬定6個(gè)平面。故本題應(yīng)選（C）。

3．四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)的射影若在一條直線上，則這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)，故這四個(gè)點(diǎn)所擬定的平面是一種。故本題應(yīng)選（A）。

4．若四個(gè)平面交于一條直線，則交線有一條，若四個(gè)平面中每三個(gè)平面共點(diǎn)，則共有交線C=6條。若四個(gè)平面交于一點(diǎn)，但無(wú)公共交線，則共有交線四條，因此不可能有2條交線。故本題應(yīng)選（C）。

5.若兩點(diǎn)連線與l相交，則能夠作O個(gè)；若兩點(diǎn)連線與l平行，則能夠作無(wú)數(shù)個(gè)；若兩點(diǎn)連線與l異面，則能夠作1個(gè)。故本題應(yīng)選（D）。

6.四點(diǎn)若在同始終線上，通過(guò)這四點(diǎn)能夠有無(wú)數(shù)多個(gè)平面；四點(diǎn)若在同一平面內(nèi)，不管與否有三個(gè)點(diǎn)在同始終線上，都只能擬定一種平面；不在同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)能夠擬定四個(gè)平面，因此四個(gè)點(diǎn)擬定平面的個(gè)數(shù)可能是1個(gè)、4個(gè)或無(wú)數(shù)多個(gè),故本題應(yīng)選（D）。

7.三條直線兩兩相交，若共點(diǎn)且在同一平面內(nèi)，只能擬定一種平面；若共點(diǎn)不在同一平面內(nèi)，能擬定三個(gè)平面。若不共點(diǎn)，兩兩相交有三個(gè)公共點(diǎn)，只能擬定一種平面。故最多能夠擬定三個(gè)平面，故本題應(yīng)選（C）。

8.三條直線兩兩平行，如果一條直線在其它兩平行直線擬定的平面內(nèi)，這三條直線只能擬定一種平面；如果三條平等線不在同一平面內(nèi)，則能夠擬定三個(gè)平面，故最多能夠擬定三個(gè)平面,故本題應(yīng)選（C）。

9.若三個(gè)點(diǎn)在同始終線上，則能夠有無(wú)數(shù)個(gè)平面，因此（A）不對(duì)。四邊形、六邊形不一定是平面圖形，因此（B）、（C）不對(duì),故本題應(yīng)選（D）。

事實(shí)上，由于梯形的一組對(duì)邊互相平行，因此擬定一種平面，于是得四個(gè)頂點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)，從而推知梯形的兩腰也在這個(gè)平面內(nèi)，即梯形是一種平面圖形。

評(píng)注：從上述的分析和解答中能夠看出，由已知條件找出擬定平面的個(gè)數(shù)問(wèn)題，其根據(jù)是擬定平面的條件。分析問(wèn)題時(shí)，首先要在空間中考慮問(wèn)題，并全方面考慮全部可能出現(xiàn)的狀況。平面的基本性質(zhì)平面的概念：是一種不加定義的基本概念，對(duì)于平面概念的理解重要應(yīng)注意兩個(gè)基本特性，即很平和能夠無(wú)限延展。平面普通用一種平行四邊形來(lái)表達(dá)，畫(huà)兩相交平面時(shí)，一定要畫(huà)出它們的交線，當(dāng)一種平面的一部分被另一種平面遮住時(shí)，要把被遮住的部分的線段畫(huà)成虛線或不畫(huà)，以增強(qiáng)立體感。

平面的基本性質(zhì)：

1.如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一種平面內(nèi)，那么這條直線上的全部點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

該性質(zhì)是鑒定直線在平面內(nèi)的根據(jù)，用集合符號(hào)表達(dá)為：

lα。根據(jù)直線在平面內(nèi)，能夠判斷點(diǎn)在平面內(nèi)，即A∈l,lαA∈α.

2．如果兩個(gè)平面有一種公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線。

該性質(zhì)是鑒定兩平面有交線以及擬定交線位置的根據(jù)，用集合符號(hào)表達(dá)為：A∈α，A∈βα∩β=α且A∈α。

由此易知，如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面相交于由這兩點(diǎn)擬定的一條直線，即

α∩β=AB。

根據(jù)兩平面相交的意義，能夠判斷點(diǎn)在直線上，即A∈α，A∈β，α∩β=αA∈α。

3．通過(guò)不在同始終線上的三點(diǎn)，有且只有一種平面。

4．通過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一種平面。

5．通過(guò)兩條相交直線，有且只有一種平面。

6．通過(guò)兩條平行直線，有且只有一種平面。

上述四個(gè)性質(zhì)是擬定一種平面的根據(jù)，擬定平面是建立空間圖形的基礎(chǔ)，擬定平面的條件對(duì)解題時(shí)引入輔助平面及作幾何體的截面起著重要作用。

重點(diǎn)問(wèn)題剖析

如果直線上全部的點(diǎn)都在某一種平面內(nèi)，那么就稱這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，其判斷的根據(jù)是只要直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一種平面內(nèi)時(shí)，這條直線上全部的點(diǎn)就都在這個(gè)平面內(nèi)，從而這條直線就在這個(gè)平面內(nèi)。這是性質(zhì)1給出的平面的一種基本性質(zhì)。

運(yùn)用性質(zhì)2能夠鑒定兩個(gè)平面與否相交或證明若干個(gè)點(diǎn)共線，其它性質(zhì)用于擬定平面。擬定平面是將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題來(lái)解決的重要條件。

精確地使用數(shù)學(xué)中的字母和符號(hào)，能夠使命題的敘述和證明顯得簡(jiǎn)捷明快，符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言間的互相轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)能力的構(gòu)成部分和重要體現(xiàn)。另外還要理解用反證法證明命題的思路，并會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)樸命題。典型例題例題一：不共點(diǎn)的四條直線兩兩相交，求證這四條直線在同一平面內(nèi)。

分析不共點(diǎn)的四條直線兩兩相交，是指這四條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，但其中每?jī)蓷l直線都有一種交點(diǎn)，可分兩種狀況來(lái)考慮。第一種狀況，有三條直線共點(diǎn)，第二種狀況沒(méi)有任何三條直線共點(diǎn)，證明這四條直線在同一平面內(nèi)，應(yīng)根據(jù)已知條件先擬定一種平面，然后證明全部四條直線都在這個(gè)擬定平面內(nèi)，文字?jǐn)⑹龅拿}應(yīng)先寫(xiě)出已知和求證。

已知直線a、b、c、d不共點(diǎn)，且兩兩相交，求證：a、b、c、d在同一平面內(nèi)。證明：第一種狀況：

a、b、c、d中有三條共點(diǎn)的狀況，設(shè)直線a、b、c相交于一點(diǎn)Q,Q不在d上，直線d與直線a、b、c分別相交于M、N、P，如圖1.

∵Qd,∴點(diǎn)Q與直線d擬定一種平面a.∵M(jìn)∈d,∴M∈α,又∵Q∈α,∴aα.

同理可證bα,cα.∴a、b、c、d在同一平面內(nèi)。

第二種狀況：a、b、c、d中沒(méi)有三條直線共點(diǎn)的狀況。

設(shè)直線c與直線a、b分別交于M、N，如圖2

∵a、b是相交直線?！郺、b擬定一種平面a.

∵M(jìn)∈a,N∈b,∴M∈α,N∈α,∵M(jìn)∈c,N∈c,∴cα.同理可證d∈α,

∴a、b、c、d在同一平面內(nèi)。

注意證明幾條直線在同一平面內(nèi)，應(yīng)先由已知的直線或點(diǎn)，根據(jù)擬定平面的條件擬定一種平面，再由公理1證明其它直線都在所擬定的平面內(nèi)。

例題二：已知直線a//b，直線a與平面α相交于點(diǎn)A，求證b與平面α必有一種公共點(diǎn)。分析運(yùn)用a//b，巧妙地構(gòu)造輔助平面b，把有關(guān)元素集中使用，不僅發(fā)明了新的線面關(guān)系，并且將三維降至二維，使得平面幾何知識(shí)有了用武之地。

證明∵a//b,∴可設(shè)直線a、b擬定一種平面β.又∵a∩α=A且aβ，

∴A∈β，由公理2知，α∩β＝c,即有a、b、cβ，

在平面β內(nèi)，∵a//b,a∩c=A,∴b與c必相交于一點(diǎn)，設(shè)為B（平面幾何知識(shí)的應(yīng)用），又∵cα，

∴B∈α,∴b與α有一種公共點(diǎn)B。

例題三：已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面體，G是三角形A1BD的重心，求證：A、G、G1三點(diǎn)共線。

分析：要證三點(diǎn)共線，只要證明G在AC1上，進(jìn)一步證明平行六面體對(duì)角線AC1與三角形一條中線的交點(diǎn)就是重心即可。證明：連AC交BD于O，則O為BD的中點(diǎn)，重心G必在A1O上，在平行六面體的對(duì)角面AA1C1C中，A1O與AC1必相交，設(shè)交點(diǎn)為G'，如圖1-11，由于對(duì)角面AA1C1C是平行四邊形，故可證得：△AG'O∽△A1G'G1，且有

，即.∴G'與G重疊，故A、G、C1三點(diǎn)共線。

注意在證明若干點(diǎn)共線的時(shí)候，普通辦法有：

①分析分別證M、N、D'是截面ACD‘和截面BD'的公共點(diǎn)。

證明∵AC∩BD=M,∵AC截面ACD'，BD截面BD'，∴M是截面AD'C=N，

∴N∈截面AD'C，又∵DB'∈截面BD'，∴N∈截面BD'，N是兩截面的公共點(diǎn)，

又∵D'也是截面ACD'和截面BD'的公共點(diǎn)，∴M、N、D'三點(diǎn)在截面ACD'和截面BD'的交線D'M上。

因此，M、N、D'三點(diǎn)在同一條直線上。

例題五：已知在四周體ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H、M、N分別為AB、BC、CD、DA、AC、BD的中點(diǎn)。求證：EG、FH、MN三線共點(diǎn)。

分析本題先證EFGH是平行四邊形，故EG與HF的交點(diǎn)為O，最后證MN也過(guò)O點(diǎn)。

連結(jié)EF、FG、GH、HE?！郋HBD.同理FGBD.∴EHFG.

故EFGH是平行四邊形，設(shè)EG與FH相交于O。因此EG通過(guò)HF的中點(diǎn)O。

連結(jié)MF、FN、NH、HM。同理：MN通過(guò)FH的中點(diǎn)O。故EG、FH、MN相交于一點(diǎn)O。

課外練習(xí)

判斷題答案對(duì)的的在括號(hào)內(nèi)打“√”，不對(duì)的的在括號(hào)內(nèi)打“×”號(hào)。

（1）兩條直線擬定一種平面。（）

（2）通過(guò)一點(diǎn)的三條直線能夠擬定一種平面。（）

（3）點(diǎn)A在平面α內(nèi)，也在直線α上，則直線α在平面α內(nèi)。（）

（4）平面α和平面β相交于不同在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C。（）

（5）兩兩相交的三條直線不共面。

分析與解答：

（1）兩條直線能否擬定平面，應(yīng)看這兩條直線的位置，不給出位置關(guān)系要分狀況討論后，得出結(jié)論。兩條相交直線可擬定一種平面，兩條平行直線可擬定一種平面，除此之外的任何兩條直線,不能擬定平面。因此，“兩條直線擬定一種平面”這個(gè)命題是錯(cuò)的，應(yīng)當(dāng)畫(huà)“×”號(hào)。

（2）通過(guò)一點(diǎn)的兩條直線擬定一種平面，三條直線不能擬定平面，應(yīng)畫(huà)“×”號(hào)。

（3）根據(jù)命題的條件，直線α上只有一種點(diǎn)在平面α內(nèi)，而根據(jù)公理1，直線α上必須有兩個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)，直線α才干在平面α內(nèi)，這個(gè)命題是錯(cuò)的，應(yīng)畫(huà)“×”號(hào)。

（4）平面α和平面β的公共點(diǎn)一定在一條直線上，因此，平面α和平面β相交于不同在始終線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C是錯(cuò)的，應(yīng)畫(huà)“×”號(hào)。

（5）三條直線兩兩相交，若不共點(diǎn)時(shí)這三條直線必共面，應(yīng)畫(huà)“×”號(hào)。高考題萃例1．用集合符號(hào)看圖填空：（1）如圖1-1，A___m,A___a,B____l,B____a,l___a,m___a=___.

（2）如圖1-2，A____a,A____b,A____l,a____b=___,AB____b=___.

分析：本例是圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言間的互相轉(zhuǎn)化問(wèn)題，認(rèn)真觀察圖形，用精確的符號(hào)表達(dá)其意義。

解：（1）A∈m,Aa,Bl,B∈a,la,m∩a=B.（2）A∈a,Ab,Al,a∩b=l,AB∩b=B.

評(píng)注：用符號(hào)語(yǔ)言精確表達(dá)圖形的實(shí)際意義是邏輯推理的基礎(chǔ)，同時(shí)它能夠使推理過(guò)程十分簡(jiǎn)捷。

例2．判斷題（對(duì)的在括號(hào)內(nèi)打“√”號(hào)，不對(duì)的的在括號(hào)內(nèi)打“×”號(hào)）

（1）兩條直線擬定一種平面。（）

（2）通過(guò)一點(diǎn)的三條直線能夠擬定一種平面。（）

（3）點(diǎn)A在平面a內(nèi)，也在直線l上，則直線l在平面a內(nèi)。（）

（4）平面a和平面b相交于不同在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C。（）

（5）三條直線兩兩相交則不共面。（）

（6）任何三個(gè)點(diǎn)都不在同始終線上的四點(diǎn)必不共面。（）

分析與解答：

（1）應(yīng)對(duì)兩條直線的位置關(guān)系進(jìn)行討論。當(dāng)兩條直線相交或平行時(shí)可擬定一種平面，除此之外的任何兩條直線不能擬定平面。因此，“兩條直線擬定一種平面”這個(gè)命題是錯(cuò)的，應(yīng)打“×”號(hào)。

（2）通過(guò)一點(diǎn)的兩條直線擬定一種平面，三條直線不能擬定平面，應(yīng)打“×”號(hào)。

（3）由公理1知，一條直線上必須含有有兩個(gè)點(diǎn)在一種平面內(nèi)，那么這條直線才干在這個(gè)平面內(nèi)，而命題的條件是直線a上只有一種點(diǎn)在平面a內(nèi)，因此這個(gè)命題是錯(cuò)的，應(yīng)打“×”號(hào)。

（4）若平面a和平面b相交，則其公共點(diǎn)一定在一條直線上，因此，平面a和平面b相交于不同在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C是錯(cuò)的，應(yīng)打“×”號(hào)。

（5）三條直線兩兩相交，若不共點(diǎn)時(shí)這三條直線必共面，應(yīng)打“×”號(hào)。

（6）如矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，沒(méi)有任何三點(diǎn)在一條直線上，但四個(gè)頂點(diǎn)是共面的，故應(yīng)打“×”號(hào)。

評(píng)注：平面的基本性質(zhì)是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，必須精確地掌握這些性質(zhì)的條件和結(jié)論，并能靈活運(yùn)用性質(zhì)分析解答有關(guān)問(wèn)題。

例3．已知直線a//b//c，直線d和直線a、b、c分別相于點(diǎn)A、B、C（如圖），求證：四條直線a、b、c、d共面。

分析：要證明a//b,∴a,b擬定一種平面，記為a,

∵A∈a,B∈b,∴A∈a,B∈a,

又∵A∈d,B∈d,∴da,

∵C∈d,∴C∈a,且Ca,∴平面a也是直線a和點(diǎn)C擬定的平面

∵C∈c且c//a,∴ca,故直線a、b、c、d都在同一種平面a內(nèi)，即四條直線a、b、c、d共面。

評(píng)注：通過(guò)上述的證明，能夠把命題推廣為：與同一條直線相交的全部平行線都在同一種平面內(nèi)。

例4．已知空間四點(diǎn)A、B、C、D不在同一種平面內(nèi)，求證：直線AB和直線CD既不相交也不平行。

分析：要證明直線AB和直線CD既不相交也不平行，可借助于反證法，運(yùn)用公理3的推論2、3來(lái)證明出矛盾即可。

證明：（反證法）假設(shè)直線AB和直線CD相交或平行，由公理3的推論2和推論3知，這兩條直線擬定一種平面。

設(shè)這個(gè)平面為a，于是得ABa，CDa。

由公理1知A∈a，B∈a，C∈a，D∈a，即四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D同在平面a內(nèi)，這與已知矛盾。

從而假設(shè)不成立，故AB和CD既不相交也不平行。

評(píng)注：在運(yùn)用反證法證明問(wèn)題時(shí)，要注意原結(jié)論相反的方面是只有一種狀況還是有若干狀況。如果只有一種情形，那么只需就這種情形導(dǎo)出矛盾；如果有若干情形，那么必須針對(duì)每一種情形分別去導(dǎo)出矛盾。由此可知，若命題結(jié)論的背面情形多于兩種時(shí)，用反證法就不適宜了。

例5．已知空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，并且EFGH是平面圖形，試判斷EH和FG相交的交點(diǎn)位置。

分析：由已知條件EFGH是平面圖形且EH和FG相交，根據(jù)平面的基本性質(zhì)判斷交點(diǎn)的位置。

解：∵ABCD是空間四邊形，

∴A、B、D三點(diǎn)不在同一條直線上，能夠擬定一種平面ABD

同理，B、C、D三點(diǎn)也能夠擬定平面BCD

∵B、D是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn)，

∴平面ABD和平面BCD相交于過(guò)B、D的一條直線，即直線BD

由于EH和FG相交，設(shè)交點(diǎn)為P。

∵E、H兩點(diǎn)分別在AB、DA上，∴EH在平面ABD內(nèi)∴交點(diǎn)P也在平面ABD內(nèi)，

同理，交點(diǎn)P也在平面BCD內(nèi)，即交點(diǎn)P是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn)，

∴點(diǎn)P在BD上。

評(píng)注：在上述解答過(guò)程中，運(yùn)用了平面的基本性質(zhì)。由公理2，兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)都在同一條相交直線上，由公理1，分別在這兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條相交直線的交點(diǎn)必是兩平面的公共點(diǎn)。因此，分別在兩相交平面內(nèi)的兩相交直線的交點(diǎn)必在兩平面的交線上，同時(shí)解答中要特別注意平面的無(wú)限延展性。課內(nèi)拓展題目一：三個(gè)正方形兩兩垂直，求過(guò)這三個(gè)正方形的中心的平面與三個(gè)正方形的交線。分析1連O1O2，由于O1、O2皆為正方形的中心，兩個(gè)正方形又都垂直于面DF，因此可猜想O1O2//平面DF。為了證明這個(gè)猜想，方便進(jìn)一步分析，不妨在平面AC內(nèi)作O1M⊥DC，則O1M=CB,O1M⊥平面DF。同樣，可作出O2M=CB,O2N⊥平面DF。于是得到矩形O1O2NM.進(jìn)而得O1O2//MN，又能推出O1O2//平面DF。根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理知，過(guò)O1、O2、O3的平面與平面DF的交線過(guò)O3且與O1O2平行，這樣的直線只能是DF，其它兩條顯然是BD、BF。

分析2許多人在解此題時(shí)，未必作過(guò)前面所做的具體分析。人的思維是很“怪”的，在許多狀況下，直覺(jué)將幫我們很大的忙，就以本題而言，當(dāng)人們看到已知的是這樣三個(gè)特殊點(diǎn)時(shí)，就很容易產(chǎn)生一種念頭：另外三個(gè)點(diǎn)也可能是特殊點(diǎn)。而圖中正好就有與O1、O2、O3關(guān)系比較近的三個(gè)點(diǎn)B、D、F。對(duì)于平面幾何知識(shí)較熟的人來(lái)說(shuō)，自然會(huì)對(duì)的地把它們連起來(lái)，從而得到解法。

分析3前兩種分析，本質(zhì)上是同樣的：都是在面DF內(nèi)找到一條交線，一下子便把問(wèn)題解決了。因此不同的是，一種通過(guò)分析，一種通過(guò)“猜想”?，F(xiàn)在我們給自己提出任務(wù)：用其它辦法試著在某個(gè)面內(nèi)再找一種除中心外的公共點(diǎn)。

假定我們想在面BF上找另一種公共點(diǎn)，這并不難，只要在O1O2上任取一點(diǎn)S（除O2），過(guò)O3S的直線與平面BF的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)。這種想法較好，但實(shí)際難以操作。重要是由于S是任取的點(diǎn)，因此無(wú)法擬定直線O3S與平面BF交