遼寧省重點(diǎn)高中沈陽(yáng)市郊聯(lián)體2024屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省重點(diǎn)高中沈陽(yáng)市郊聯(lián)體2024屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題1.已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由知：，當(dāng)，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；當(dāng)，即或，若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；若，則，，滿(mǎn)足要求.綜上，.故選：A.2.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，由題意可知的定義域?yàn)?，所以是偶函數(shù)且在上不是單調(diào)遞減，不符合題意；故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意可知的定義域?yàn)?，所以是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，符合題意；故B正確；對(duì)于C，由題意可知的定義域?yàn)?，所以是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增；不符合題意；故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，定義域?yàn)?，不是偶函?shù)，不符合題意；故D錯(cuò)誤；故選：B.3.中，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示，因?yàn)?，由向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則,可得因?yàn)?，所以，所?故選：D.4.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人第一天走的路程為（）A.228里 B.192里 C.126里 D.63里〖答案〗B〖解析〗由題意得，該人所走路程構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，令該數(shù)列為，其前項(xiàng)和為，則有，解得，故選：B.5.已知函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以是?為周期的函數(shù)，所以，故選：D.6.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則φ的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為則，，又因?yàn)槠潢P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，即，則，解得，且，所以.D正確.故選：D.7.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且恒成立，可得.故選：C.8.給定函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，易知，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在取得最小值，易知當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，在同一坐標(biāo)系下分別畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如下圖所示：由圖可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9.下列命題中正確的是（）A.若，則B.命題：“”的否定是“”C.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镈.若函數(shù)則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，由，得，，則，，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，“”的否定是“”，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，函數(shù)的定義域?yàn)?，則中的范圍為，即，所以，由抽象函數(shù)的定義域可得，中的范圍為，故函數(shù)的定義域?yàn)?；所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，令，則，，由得，，所以，，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則一定是鈍角三角形B.若，則有兩解C.若，則為等腰三角形D.若為銳角三角形，則〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，故角為鈍角，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，在，，，，，則由正弦定理得，，得，所以無(wú)解，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，即，整理可得，所以，或，故為等腰三角形或直角三角形，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若為銳角三角形，所以，所以，則，D選項(xiàng)正確.故選：AD.11.已知的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值可能為（）．A.﹣12 B.﹣8 C.﹣2 D.0〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以由正弦定理得，，又，故，又，，故⊥，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，則，因?yàn)?，所以，A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是周期為的奇函數(shù) B.在上為增函數(shù)C.在內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn) D.在上恒成立的充要條件是〖答案〗BCD〖解析〗A選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，，是奇函數(shù)，但是，不是周期為的函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，且在連續(xù)，故在單調(diào)遞增，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，令得，，當(dāng)時(shí)，，，令得，,且以上零點(diǎn)均為變號(hào)零點(diǎn)，故均為極值點(diǎn)，因此，在內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；D選項(xiàng)，由題意得在上恒成立，令，當(dāng)時(shí)，，令，，，因?yàn)?，所以，則，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故在上單調(diào)遞增，所以，故滿(mǎn)足在上恒成立；當(dāng)時(shí)，，由于，所以，則，又，故，若，此時(shí)，則在單調(diào)遞減，則，不合要求，若，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取得極小值，且，不合要求.綜上：，故D正確；故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題13.已知單位向量滿(mǎn)足若向量則_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)闉閱挝幌蛄?，所以，又因?yàn)樗?，，又因?yàn)?，所?故〖答案〗為：.14.在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和．若，則數(shù)列的公差d＝______．〖答案〗2〖解析〗由題意得，故，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，得，故〖答案〗為：215.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，若，，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，，，，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，，故，所以．故〖答案〗為：?6.數(shù)列滿(mǎn)足則數(shù)列的前60項(xiàng)和為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由，得，，所以，即，又，所以，所以數(shù)列為各項(xiàng)均為1的常數(shù)數(shù)列，所以，又由得，，即，所以，所以數(shù)列的前60項(xiàng)和為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知函數(shù)最大值為1．（1）求a的值；（2）將的圖象向上平移1個(gè)單位，再把圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（橫坐標(biāo)不變），再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若求面積的最大值．解：（1）∵函數(shù)，函數(shù)的最大值為，∴，．（2）由已知?jiǎng)t因?yàn)樵谥?，，所以所以，所以又由余弦定理及得：，即，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．所以.18.已知等差數(shù)列的公差，其前n項(xiàng)和為，若，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，所以，由成等比數(shù)列，得，即，因?yàn)椋?，所以，故；?）因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)?，即遞增數(shù)列，所以，所以19.設(shè)函數(shù)．（1）若，求在處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．（1）解：時(shí)，所以，所以在處的切線(xiàn)方程為．（2）證明：當(dāng)時(shí)，化為.令，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，所以只要證明，即證明即可．令，，,可得時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，，所以在上恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，成立．20.如圖，的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，外一點(diǎn)（與在同一平面內(nèi)）滿(mǎn)足，，.（1）求；（2）若的面積為2，求線(xiàn)段的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，?，即.又，，故，即，所以，即，因?yàn)?，，所以，?（2）因?yàn)榈拿娣e，所以，即，，由余弦定理得，所以，因?yàn)槠椒?，所以，所?21.已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意，都有．等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由得，……………①當(dāng)時(shí)，，………………②由①－②得，，即，整理得，∵，∴，由已知得，當(dāng)時(shí)，，即，解得．故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．∴．設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以．故，即，解得．故．（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．則．當(dāng)偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各有項(xiàng)．則；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)為項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)為項(xiàng)．則．所以．22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；（2）若上，使得成立，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，令0，得且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞