2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（全國通用）：專題04 三角形中的導(dǎo)角模型-高分線模型、雙（三）垂直模型（原卷版）

專題04三角形中的導(dǎo)角模型-高分線模型、雙（三）垂直模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型、子母型雙垂直模型（射影定理模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1：高分線模型條件：AD是高，AE是角平分線結(jié)論：∠DAE=例1．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，為的平分線，于點(diǎn)，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點(diǎn)，BG的延長線交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，CF與AD垂直，交AD于點(diǎn)H，則下面判斷正確的有（）①AD是△ABE的角平分線；②BE是△ABD的邊AD上的中線；③CH是△ACD的邊AD上的高；④AH是△ACF的角平分線和高A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例3．（2023·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AD、AE分別是Rt△ABC的高和中線，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，試求：（1）AD的長度；（2）△ACE和△ABE的周長的差．例4．（2023·廣東東莞·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，分別是的高和角平分線，若，．(1)求的度數(shù)．(2)試寫出與關(guān)系式，并證明．(3)如圖，F(xiàn)為AE的延長線上的一點(diǎn)，于D，這時(shí)與的關(guān)系式是否變化，說明理由．

模型2：雙垂直模型結(jié)論：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。例1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．例2．（2022秋·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，和分別是邊上的高，若，，則的值為（）．A． B． C． D．例3．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，于點(diǎn)F，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，．(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．

模型3：子母型雙垂直模型(射影定理模型)（三垂直模型）結(jié)論：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。例1．（2023·廣東廣州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，于D，求證：．例2．（2023·山東泰安·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AD，BF分別是△ABC的高線與角平分線，BF，AD交于點(diǎn)E，∠1＝∠2．求證：△ABC是直角三角形．例3．（2022秋·北京通州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長為（

）A．2 B． C． D．例4．（2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州中學(xué)校考期中）已知，在中，，是角平分線，D是上的點(diǎn)，、相交于點(diǎn)F．

(1)若時(shí)，如圖所示，求證：；(2)若時(shí)，試問還成立嗎？若成立說明理由；若不成立，請比較和的大小，并說明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，，則的長為（

）

A．1 B．2 C．3 D．42．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．3．（2023·綿陽市八年級月考）如圖，在中，平分交于點(diǎn)、平分交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，是邊上的高，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，分別是的中線、角平分線和高線，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，下面說法中一定正確的是（

）的面積等于的面積；

②；③；

④．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③5．（2023·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，下面結(jié)論：的面積＝的面積；；；．其中結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．6．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，，，在腰上取一點(diǎn)D，，垂足為E，另一腰上的高交于點(diǎn)G，垂足為F，若，則的長為．7．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則．

8．（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點(diǎn)．

(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請你用其中的兩個(gè)事項(xiàng)作為條件，余下的事項(xiàng)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并給出證明；條件：______，結(jié)論：______．（填序號(hào)）證明：(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）9．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度數(shù)；(2)試說明：．

10．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）對于下列問題，在解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．如圖．在直角中，是斜邊上的高，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．解：（1）（已知），______°，（______），______°______°（等量代換），（2）（______），_____（等式的性質(zhì)），（已知），____________°（等量代換）．11．（2023·廣東中山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，(1)求證：平分；(2)若，求證：．

12．（2023·浙江溫州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CE平分∠DCB交AB于點(diǎn)E，(1)求證：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB的長．13．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，分別是的角平分線和高線，，．(1)若，則_______；(2)小明說：“無需給出的具體數(shù)值，只需確定與的差值，即可確定的度數(shù)．”請通過計(jì)算驗(yàn)證小明的說法是否正確．

14．（2023·安徽安慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，是邊上的高，是的平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，試探求、、之間的數(shù)量關(guān)系．

15．（2023·福建莆田·八年級校考期中）規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”．(1)如圖1，在中，，，請寫出圖中兩對“等角三角形”；(2)如圖2，在中，為的平分線，，．求證：為的“等角分割線”；(3)在中，若，是的“等角分割線”，請求出所有可能的的度數(shù)．16．（2023·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，交于，過點(diǎn)作于.（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，請用含，的代數(shù)式表示的面積，___________（直接寫出結(jié)果）17．（2023春·江蘇徐州·七年級?？茧A段練習(xí)）在中，，平分．(1)如圖①，若于D，求的度數(shù)．(2)如圖②若點(diǎn)P為上一點(diǎn)，，求的度數(shù)．

18．（2023春·陜西咸陽·八年級