32江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

南京師大附中2023-2024學(xué)年度第1學(xué)期高一年級期中考試數(shù)學(xué)試卷命題人：高一數(shù)學(xué)備課組審閱人：高一數(shù)學(xué)備課組一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．已知集合，則集合（）A． B． C． D．2．函數(shù)的增區(qū)間是（）A． B． C． D．3．若命題“，使得”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知冪函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則的值為（）A． B．0 C．1 D．25．已知二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B． C． D．6．設(shè)為正整數(shù)，，人們對于的研究已經(jīng)持續(xù)了幾百年，迄今為止仍沒有得到求和公式，只是得到了它的近似公式：當(dāng)很大時，，其中稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，，至今還不確定是有理數(shù)還是無理數(shù)．由于上式在很大時才成立，故當(dāng)較小時計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際值之間存在一定的誤差，已知，用上式估算出的與實(shí)際的的誤差絕對值近似為（）A．0.03 B．0.12 C．0.17 D．0.217．函數(shù)的圖象大致為（）更多免費(fèi)優(yōu)質(zhì)滋源請家威杏MXSJ663A． B．C． D．8．已知互不相同的實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（）A． B．1 C．2 D．3二．多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）9．下列各個選項(xiàng)中，滿足的集合有（）A． B． C． D．10．下列四組函數(shù)中，與（或）表示同一函數(shù)的有（）A． B．C． D．11．下列各個選項(xiàng)中，是的充分不必要條件的有（）A．在中，是鈍角，是鈍角三角形B．均為無理數(shù)，為無理數(shù)C．D．12．當(dāng)時，用表示不超過的最大整數(shù)，如：．已知函數(shù)，則（）A． B．函數(shù)的值域?yàn)镃．存在無數(shù)多個，有D．存在無限實(shí)數(shù)集，對于，當(dāng)時，有三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知，則______．14．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．15．已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．16．已知，則的最小值為______．四．解答題（本大題共6小題，共70分．）17．計(jì)算（1）：（2）．18．設(shè)函數(shù)（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增：（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值．19．南京馬拉松作為江蘇省的省會馬拉松賽，創(chuàng)辦于2015年，六年的時間它已成為中國馬拉松金牌賽事世界田聯(lián)標(biāo)牌賽事，有穿越中華門、玄武湖、總統(tǒng)府等經(jīng)典景點(diǎn)的比賽路線，為了迎接2023年11月南京馬拉松賽的回歸，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（如圖）上設(shè)計(jì)三個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個全等的直角三角形和一個等腰三角形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為．為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度也都是），．（1）當(dāng)時，求海報紙（矩形）的周長：（2）為了節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?0．設(shè)甲：，乙：．（1）當(dāng)時，求甲中不等式的解集；（2）若甲是乙的必要不充分條件，求的取值范圍．21．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減．（1）證明：函數(shù)是偶函數(shù)；（2）解關(guān)于的不等式．22．設(shè)．（1）若對于，且，都有成立，求的取值范圍；（2）若關(guān)于的方程有實(shí)根，求的取值范圍．南京師大附中2023-2024學(xué)年度第1學(xué)期高一年級期中考試數(shù)學(xué)試卷命題人：高一數(shù)學(xué)備課組審閱人：高一數(shù)學(xué)備課組一、單項(xiàng)選擇題1．【答案】D【解析】時時．此外的取值均不滿足．2．【答案】A【解析】注意到此函數(shù)定義域?yàn)椋?．【答案】D【解析】由題意得，即，解得．4．【答案】C【解析】時，，即，滿足題意．5．【答案】A【解析】由題意得的兩根為，所以由韋達(dá)定理得，即，此時有，解得．6．【答案】B【解析】已知，令有，即．又因?yàn)?，所以．已知，所以，故差距約為0.12．7．【答案】B【解析】由分母不為零，可排除A；由時，可排除CD．8．【答案】B【解析】二、多項(xiàng)選擇題9．【答案】AC【解析】因?yàn)椋从?，所以A中定有和3，故排除B，又因?yàn)锳是的真子集，故排除D．10．【答案】BD【解析】由定義域可判斷，A和C不滿足題意，因?yàn)橹兄校?1．【答案】AC【解析】鈍角三角形中三個角都有可能為鈍角，故A對；若，則，所以不充分，故B錯；且，故C對；若，則，但，所以不充分，故D錯．12．【答案】BCD【解析】首先注意定義域，即，由定義可知時，即的定義域?yàn)椋蔄錯．遇見陌生的函數(shù)，我們不妨取一些特殊范圍進(jìn)行觀察．時，，即；時，，即；時，，即；接下來我們不妨找到一般性規(guī)律，時有：時，，即；時可同理探究，進(jìn)而函數(shù)圖象可知．綜上所述，故選BCD．三、填空題13．【答案】【解析】．14．【答案】【法一】根的分布：要滿足題意則，解得．【法二】轉(zhuǎn)化為兩圖交點(diǎn)：即，即時，與有兩個交點(diǎn)，作如下圖可知．15．【答案】【解析】不妨設(shè)，則存在，使得成立，即在上存在根．所以，即．注意此時對稱軸，故無需研究0處正負(fù)．16．【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等．四、解答題17．【解析】（1）原式；（2）原式．18．【解析】（1），則因?yàn)?，所以，所以，故．所以在單調(diào)遞增得證．（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，所以最大值為．19．【解析】設(shè)，直角三角形另一個直角邊長為．則有宣傳欄的面積為，且海報周長又已知得，即．（1），則，所以海報周長．答：海報紙的周長為．（2）當(dāng)且僅當(dāng)時取等，此時，解得．20．【解析】（1）時，甲：，根據(jù)絕對值中式子與零大小作為分類點(diǎn)：①時，甲：，解得，故；②時，甲：，解得，故；③時，甲：，解得，故；綜上所述，甲中不等式的解集為；（2）乙：．此時的大小不確定，因此我們需要首先討論與0的大小關(guān)系，進(jìn)而再拆絕對值．（ⅰ）時①時，甲：，解得；②時，甲：，解得；③時，甲：，解得；由題意得，乙中不等式的解集是甲中不等式的解集的真子集．所以要滿足題意則，解得；（ⅱ）時①時，甲：，解得；②時，甲：，解得；此時甲中不等式的解集為，滿足題意；（ⅲ）時①時，甲：，解得；②時，甲：，化簡得；③時，甲：，解得；要滿足題意則，解得．綜上所述，的取值范圍是．21．【解析】（1）令得，即；令得，即．令得，即，所以是偶函數(shù)得證；（2）由已知定義，所以即，所以因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，所以，解得．即的解集為．22．【解析】（1）無需引入凹凸函數(shù)，直接代入解析式化簡即可．已