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文檔簡介

群與環(huán)教學歡迎各位同學來到《群與環(huán)》課程。本課程將帶領你進入一個新的數(shù)學領域并深入探究群與環(huán)的性質(zhì)和分類等關鍵內(nèi)容。群的基本性質(zhì)1二元性、封閉性群中任意兩個元素的運算結(jié)果都在群內(nèi)。2結(jié)合律、單位元素、逆元素群具有結(jié)合律，含有單位元素并且任意元素都有逆元素。3置換群置換在群論中占有重要地位，是一類特殊的群。群同態(tài)1定義在兩個群之間的一個函數(shù)映射，保持群運算。2核保持群運算的函數(shù)映射，使得同一個元素映射到同一個元素。3同構(gòu)一種特殊的同態(tài)映射，保持群運算和結(jié)構(gòu)?？梢酝ㄟ^置換群構(gòu)建。歐拉函數(shù)與循環(huán)群歐拉函數(shù)表示小于等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)。是求循環(huán)群例子的關鍵。循環(huán)群由一個元素n的若干個冪(包括n^-1)作為群元素，它們組成的群為循環(huán)群。擴大群如果某個元素的冪次是質(zhì)數(shù)，則它可以擴大群的元素數(shù)，用于計算歐拉函數(shù)。環(huán)的定義與性質(zhì)定義環(huán)是可加、可乘，具有分配律和結(jié)合律的數(shù)學結(jié)構(gòu)。性質(zhì)具有開放閉合定律、有限性、非退化性、反對稱性和同調(diào)等多種性質(zhì)。分類同態(tài)環(huán)、域、歐幾里德環(huán)等。帶有單位元素的環(huán)1定義一個充實了0和1的環(huán)。2單位元素在加法運算下為0，在乘法運算下為1。3自反性、對稱性、傳遞性帶有單位元素的環(huán)具有反自反性、反對稱性和傳遞性三種性質(zhì)。配對理論與歐拉對積1配對一個元素在環(huán)中找到一個“搭檔”。2歐拉對積兩個群上的操作，使得域上的對積滿足乘法結(jié)合律。3現(xiàn)實中的應用密碼學、數(shù)字簽名、點擊象限曲線密碼術(shù)等多種領域。環(huán)的模和商環(huán)定義環(huán)理論的基礎概念之一，用于求解同余方程組。歐拉定理如果整數(shù)n對于模數(shù)m（m>1）相對質(zhì)，則n的歐拉函數(shù)是m的單位元素的原根。商環(huán)的概念解釋簡單來說就是把一個環(huán)通過某個環(huán)的子集來定義一個新的環(huán)。域擴張的定義與性質(zhì)定義在保持一個域?qū)傩缘那疤嵯聰U張。性質(zhì)

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