《工程隨機過程》復習提要

《工程隨機過程》復習提要1/29一、特征函數1.會求給定分布隨機變量特征函數2.會利用特征函數幾個簡單性質進行求解（1）線性變換特征函數（2）獨立隨機變量和特征函數（3）獨立隨機變量線性組合特征函數2/29二、隨機過程基本概念及分類1.隨機過程一維分布求解2.簡單隨機過程二維分布求解3.隨機過程數字特征求解（1）均值函數（2）自相關函數（3）協方差函數（4）方差函數4.幾個常見隨機過程特征（1）正態(tài)過程（2）Poisson過程（3）維納過程3/29三、馬爾科夫過程1.馬爾科夫鏈（1）一步轉移概率矩陣求解（2）利用一步轉移概率矩陣判斷各狀態(tài)（3）利用一步轉移概率矩陣求解高階轉移概率矩陣（4）常返態(tài)和非常返態(tài)判定（5）馬爾可夫鏈預測（6）馬爾可夫鏈平穩(wěn)分布求解2.時間連續(xù)、狀態(tài)離散馬爾可夫鏈（1）利用向前、向后方程求解轉移概率函數4/29四、平穩(wěn)過程1.寬平穩(wěn)過程判定2.二階矩過程定義3.均方極限定義5/29五、時間序列分析1.三個線性模型基本性質（1）AR(p)模型平穩(wěn)性判定（2）MA(q)模型可逆性判定（3）ARMA(p,q)模型平穩(wěn)性和可逆性判定2.自相關函數求解（1）MA(q)模型自相關函數求解（2）AR(p)模型自相關函數求解6/29例1設隨機過程X(t)=Xcos(t)(<t<+)，其中為常數，X是服從正態(tài)分布隨機變量，E(X)=0，D(X)=1。求X(t)一維分布密度函數和協方差函數。7/29例2設隨機過程X(t)和任一實數x，定義隨機過程以下證實：

Y(t)和RY(t1,t2)分別是X(t)一維和二維分布函數。8/29例3設有隨機過程{X(t)，t

T}和常數a，試以X(t)相關函數表示隨機過程Y(t)=X(t+a)

X(t)，t

T相關函數。9/29例4設Z(t)=X+Yt，<t<+。若已知二維隨機變量(X,Y)協方差矩陣為，求Z(t)協方差函數。10/29例5設有獨立重復試驗序列{xn,n

1}。以Xn=1記第n次試驗時事件A發(fā)生，且P{Xn=1}=p；以Xn=0記第n次試驗時事件A不發(fā)生，且P{Xn=0}=1

p=q。求k步轉移概率矩陣。11/29例6設{xn,nT}是一個齊次馬爾科夫鏈，其狀態(tài)空間E={a,b,c}，轉移概率矩陣為12/29例7（天氣預報問題）設明天是否有雨僅與今天天氣相關，而與過去天氣無關。又設今天下雨而明天也下雨概率為，而今天無雨明天有雨概率為；要求有雨天氣為狀態(tài)0，無雨天氣為狀態(tài)1。所以問題是兩個狀態(tài)馬爾科夫鏈。求今天有雨且第四天仍有雨概率（取=0.7，=0.4）13/29例8甲乙兩人進行一場比賽，設每局比賽甲勝概率為p，乙勝概率為q，和局概率為r，且p+q+r=1.設每局比賽勝者記1分，負者記-1分，和局記零分。當有一人取得2分時比賽結束。以Xn表示比賽至n局時甲取得分數，則{Xn，n

1}是齊次馬爾可夫鏈。（1）寫出狀態(tài)空間E；（2）求出二步轉移概率矩陣；（3）求甲已獲1分時，再賽兩局能夠結束比賽概率。14/29例9設E={1,2,3,4}，其一步轉移概率矩陣為試對其狀態(tài)進行分類，確定哪些狀態(tài)為常返態(tài)。15/29例10已知馬爾可夫鏈{xn,n

0}狀態(tài)空間為E={1,2,3,4}，其一步轉移概率矩陣如圖所表示，試對其狀態(tài)進行分類并判斷哪個是常返態(tài)。12341111/41/41/41/416/29例11設一馬爾可夫鏈轉移概率矩陣為討論此馬氏鏈遍歷性。17/29例12設齊次馬氏鏈轉移概率矩陣為討論馬氏鏈遍歷性，并求其平穩(wěn)分布。18/29例13如圖給出了六個車站間公路連通情形。設汽車天天從一個車站駛向一直接相鄰車站，并當晚抵達該站留宿，次日繼續(xù)相同活動。設天天汽車開往臨近任一車站都是等可能，試證實經很長時間后，各站每晚留宿汽車百分比趨于穩(wěn)定，求出這個百分比。21345619/29例14設參數連續(xù)、狀態(tài)離散馬爾科夫過程{X(t),t

0}，其狀態(tài)空間為E={1,2,···,m}，當i

j且i,j=1,2,···,m時，qij=1；當i=1,2,···,m時，qii=

(m

1)。求pij(t)。20/29例15設有正弦波過程X(t)=Acos(

t+

)，其中振幅A、角頻率是常數，相位是在[,]上服從均勻分布隨機變量，求X(t)均值與相關函數，判斷{X(t)，tT}是否是平穩(wěn)過程？21/29例16設{X(t)，t(,+)}是一個零均值平穩(wěn)過程，且不恒等于一個隨機變量，問X(t)+X(0)，t(,+)是否仍是平穩(wěn)過程？22/29例17設{X(t)，tT}是一均方可微實平穩(wěn)過程，令，tT，證實{Y(t),tT}是實平穩(wěn)過程。23/29例18給定一個隨機變量，其特征函數為(v)，另給定常數，結構一個隨機過程X(t)=cos(t+)，證實：當且僅當(1)=(2)=0時，X(t)是平穩(wěn)過程。24/29例19設隨機過程由下述三個樣本函數組成，且等概率發(fā)生：X(t,e1)=1，X(t,e2)=sint，X(t,e3)=cost。（1）求均值和相關函數；（2）討論{X(t),t

T}是否為平穩(wěn)過程。25/29例20設隨機過程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互獨立隨機變量，它們都分別以2/3和1/3概率取值-1和2，求Z(t)均值函數和相關函數，并討論Z(t)平穩(wěn)性。26/29例21判斷以下線性模型平穩(wěn)性和可逆性：27/29例22已知MA(2)模型Xt=at-at-