微專題01 角平分線+平行線通關(guān)專練解析版

微專題01角平分線+平行線通關(guān)專練一、單選題1．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)F，則線段EF的長(zhǎng)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由角的等量關(guān)系可分別得出△ABE和△DCF是等腰三角形，得出AB=AE，DC=DF，再結(jié)合AB=4，AD=6，利用線段的和差即可解決．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠FCB，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC=4，同理可證：AE=AB=4，∴EF=AE+DF-AD=4+4-6=2，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí)，一般可利用等腰三角形的性質(zhì)解題，難度不大，關(guān)鍵是解題技巧的掌握．2．（2023春·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F則CF的長(zhǎng)為（）

A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出CD=AB=6，∠DAF=∠F，進(jìn)而求出DF=AD=9的長(zhǎng)即可由FC=DF-CD得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=6，AB∥∴∠BAF=∠F，∵∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴∠BAF=∠DAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD=9，∴FC=DF-CD=9-3=3，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定．利用平行線與角平分線得出∠DAF=∠F是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過(guò)O作DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，若DE=5，BD=3，則線段CE的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．1 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得∠DBO=∠BOD,∠ECO=∠COE，進(jìn)而可得BD=OD,CE=OE，即得DE=BD+CE，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)求解即可【詳解】解：∵OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO，∵DE∥∴∠DOB=∠CBO,∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠BOD,∠ECO=∠COE，∴BD=OD,CE=OE，∴DE=DO+EO=BD+CE，∵DE=5，BD=3，∴CE=DE-BD=5-3=2；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等腰三角形的判定等知識(shí)，屬于常見(jiàn)題型，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)廣州市番禺區(qū)鐘村中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，已知AD=8cm，AB=5cm，DE平分∠ADC交BC邊于點(diǎn)E，則BE等于（

A．1cm B．2cm C．3cm【答案】C【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥CB，BC=AD=8cm，CD=AB=5cm，再利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到【詳解】解：在?ABCD中，AD∥CB，BC=AD=8cm∴∠ADE=∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC，則∠DEC=∠EDC，∴CE=CD=5cm∴BE=BC-CE=3cm故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的形、角平分線的定義、等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，證得CE=CD是解答的關(guān)鍵．5．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)校考期中）如圖，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，BC⊥OB于點(diǎn)C．若EC=1，則OF=（

）A．2 B．1.5 C．3 D．1【答案】A【分析】過(guò)E點(diǎn)作EH⊥OA于H點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EH=EC=1，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FEO=∠BOE=15°，則FE=FO，接著計(jì)算出∠EFH=30°，則利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到EF=2，從而得到OF的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)E點(diǎn)作EH⊥OA于H點(diǎn)，如圖，∵∠AOE=∠BOE=15°，∴OE平分∠AOB，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∵EF∥OB，∴∠FEO=∠BOE=15°，∴∠FEO=∠FOE，∴FE=FO，∵∠EFH=∠FEO+∠FOE=30°，∴EF=2EH=2，∴OF=2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了平行線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)．6．（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)B，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)F，若AB=3，AD=4，則EF的長(zhǎng)是（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明DF=CD，AE=AB，進(jìn)而可得AF和ED的長(zhǎng)，然后可得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD=3，∴∠DFC=∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠FCB，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC=3，同理可證：AE=AB=3，∵AD=4，∴AF=AD-DF=4-3=1，DE=AD-AE=4-3=1，∴EF=4-1-1=2，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí)，一般可利用等腰三角形的性質(zhì)解題．7．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若AB+AC=8，則△ADE的周長(zhǎng)為（A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，平行線的性質(zhì)得到∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，等量代換得到∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到BD=FD，CE=FE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，∵DE∥∴∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，∴BD=FD，CE=FE，∵AB+AC=8，∴△ADE的周長(zhǎng)為：AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=8．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，證明BD=FD，CE=FE是解本題的關(guān)鍵．8．（2023春·海南海口·九年級(jí)?？趯?shí)驗(yàn)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC交AB于點(diǎn)Q，DA．107 B．157 C．207【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到∠QBD=∠BDQ，得到QB=【詳解】解：∵∠C=90°，AB=5，∴AC=A∵PQ∥BC，∴∠CBD=∠BDQ，∵BD平分∠ABC時(shí)，∴∠CBD=∠QBD，∴∠QBD=∠BDQ，∴QB=QD，∵D為線段PQ的中點(diǎn)，∴QP=2QD=2QB，∵PQ∥BC，∴△CPQ～△CAB，∴APAC=解得QB=107，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·河南商丘·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，D、E分別BC、AC的中點(diǎn)，BF平分∠ABC，交DE于點(diǎn)F，若BC=8，則DF的長(zhǎng)是（

）A．2 B．3 C．52 D．【答案】D【分析】首先根據(jù)條件D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)可得DE∥AB，再求出∠BFD=∠DBF，根據(jù)等角對(duì)等邊可得到【詳解】解：∵△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴DE∥AB，∴∠ABF=∠BFD，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC=∠ABF，∴∠BFD=∠DBF，∴DB=DF=4，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的中位線定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明DE∥AB，可得到10．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，若AB=12，DE=7，則AE的長(zhǎng)為（A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，得到∠ABD=∠EDB，則BE=DE=7，即可求出答案．【詳解】解：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥∴∠CBD=∠EDB，∴∠ABD=∠EDB，∴BE=DE=7，∴AE=AB-BE=12-7=5；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算．11．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB=4，AC=5，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作MN∥BC分別交AB，AC于A．8 B．9 C．10 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義和MN∥BC可以得出MB=ME，NC=NE，繼而可以得出△AMN的周長(zhǎng)【詳解】解：∵M(jìn)N∥∴∠MEB=∠EBC．∵BE平分∠ABC，∴∠MBE=∠EBC，∴∠MEB=∠MBE．∴MB=ME．同理，NC=NE，∴C△AMN故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，利用角平分線及平行線的性質(zhì)得出∠MEB=∠MBE是解題的關(guān)鍵.12．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周長(zhǎng)為33，AB=15，則AC為（

）A．15 B．18 C．20 D．23【答案】B【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明MO=BM，∠NO=CN，再根據(jù)等角對(duì)等邊證明MO=BM，NO=CN，求出AB+AC=33，即可得出答案．【詳解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴MO=BM，NO=CN，∴MN=MO+ON=BM+CN，∴AM+MN+AN=AM+BM+AN+NC=AB+AC=33，∵AB=15，∴AC=33-15=18，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件證明MN=MO+ON=BM+CN，求出AB+AC=33．13．（2021秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，BE是角平分線，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE=7，AD=5，則AB=（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠ABE＝∠CBE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEB＝∠CBE，等量代換得到∠ABE＝∠DEB，求得BD＝DE＝7，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DEB，∴BD＝DE＝7，∵AB＝AD＋BD，∴AB＝5＋7＝12．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．14．（2022·安徽·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線BD，CD交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若BE=2，CF=3，BC=9，則AE的長(zhǎng)為（

）A．2.5 B．4.5 C．3.75 D．6.75【答案】A【分析】由角平分線的性質(zhì)得到∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，進(jìn)而證明BE=ED，【詳解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠DBC∵EF∴∠EDB=∠DBC∴∠ABD=∠EDB∴BE=ED∵BE=2∴EF=DE+DF=BE+FC=2+3=5∵EF∴△AEF～△ABC∴∴∴4AE=10∴AE=2.5故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等角對(duì)等邊、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．15．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分線，DE∥AB交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，連接DF、EF．已知DC=5，CE=12，則A．30 B．32.5 C．60 D．78【答案】B【分析】在Rt△DCE中，依據(jù)勾股定理求出DE=13，由“BD是△ABC的角平分線，DE∥AB”，依據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等量代換及等角對(duì)等邊，可得BE=DE=13，由等底等高的三角形面積相等可知，【詳解】解：∵在Rt△DCE中，∠C=90°，DC=5∴DE=D∵BD是△ABC的角平分線，DE∥∴∠EBD=∠FBD，∠FBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE=13，∵DE∥∴△DEF和△DEB的面積相等，∴S△DEF=S故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識(shí)的掌握情況，解題的關(guān)鍵是理解△DEF和△DEB的面積相等．二、填空題16．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，則FG的長(zhǎng)為_(kāi)_．

【答案】2【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，由角平分線的定義得到∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD，于是得到BE=EG，CD=DF，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵ED∥∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，∵∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，∴∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD，∴∠EGB=∠EBG，∠DCF=∠DFC，∴BE=EG，CD=DF，∵BE=3，CD=4，ED=5，∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG，即3+4=5+FG，∴FG=2，故答案為2．

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是等腰三角形的證明，屬于基礎(chǔ)題．17．（2023春·山西太原·八年級(jí)山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，CE是△ABC的角平分線，EF∥BC交AC于點(diǎn)F，則△FEC是【答案】等腰三角形【分析】根據(jù)角平分線的定義得出∠ACE=∠BCE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FEC=∠BCE，等量代換得出∠ACE=∠FEC，根據(jù)等角對(duì)等邊得出FE=FC，即可求解．【詳解】解：∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE=∠BCE，∵EF∥∴∠FEC=∠BCE，∴∠ACE=∠FEC，∴FE=FC，∴△FEC是等腰三角形．故答案為：等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，等角對(duì)等邊，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·湖北黃岡·八年級(jí)校考期中）如圖，DE為△ABC的中位線，且BF平分∠ABC交DE于點(diǎn)F．若AB=6，BC=10，則EF=_____________．【答案】2【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得ED∥BC，ED=12BC【詳解】解：∵DE是△ABC的中位線，BC=10，∴ED∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，∴∠DBF=∠DFB，∴BD=FD，∵AB=6，ED是△ABC的中位線，∴BD=1∴EF=DE-DF=DE-BD=5-3=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，以及等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟記性質(zhì)以及定理，求出BD=FD是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·陜西西安·八年級(jí)西安市華山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，AD是角平分線，DE∥AC，E點(diǎn)在AB邊上，如果△BED周長(zhǎng)為25cm，BD=8cm，則【答案】17【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠EDA=∠EAD，根據(jù)等角對(duì)等邊得出ED=EA，根據(jù)△BED周長(zhǎng)為25cm，BD=8cm，求出【詳解】解：∵AD是角平分線，∴∠EAD=∠CAD，∵DE∥∴∠EDA=∠CAD，∴∠EDA=∠EAD，∴ED=EA，∵C△BED∴BD+AE+BE=25cm即BD+AB=25cm∵BD=8cm∴AB=25-8=17cm故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是證明ED=EA．20．（2023秋·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BE，CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，ED∥AC，交BC于點(diǎn)D，EF⊥AB于點(diǎn)F．若BC=35，EF=5，DE=13，則△EBD的面積為_(kāi)_______．【答案】55【分析】過(guò)E作EM⊥BC于M，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可求得EM，根據(jù)平行線和角平分線的性質(zhì)易證∠DCE=∠DEC，根據(jù)等角對(duì)等邊求得CD，從而求得BD，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：過(guò)E作EM⊥BC于M，∵BE平分∠ABC，EM⊥BC，EF⊥AB，EF=5，∴EM=EF=5，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠DCE，∵ED∥AC，∴∠ACE=∠DEC，∴∠DCE=∠DEC，∴CD=DE=13，∵BC=35，∴BD=BC-CD=35-13=22，∴S故答案為：55．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及等角對(duì)等邊的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．21．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BE、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，過(guò)點(diǎn)E作DF∥BC交AB于D、交AC于F，若AB=4，AC=3，則△ADF周長(zhǎng)為【答案】7【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出BD=DE，EF=FC，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：∵DF∥∴∠DEB=∠EBC，∠FEC=∠ECB，∵BE、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴∠DBE=∠EBC，∠FCE=∠ECB，∴∠DBE=∠DEB，∠FEC=∠FCE，∴BD=DE，EF=FC，∴C=AD+AF+DE+EF=AD+AF+BD+FC=AB+AC=4+3=7．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，有效的進(jìn)行線段的等量代換是解題的關(guān)鍵．22．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，若BC=9，則【答案】3【分析】先根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)，得出AC=12BC=92，再證明∠ECD=∠EDC=30°【詳解】解：∵∠A=90°，∠B=30°，BC=9，∴AC=12BC=∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=1∵DE∥∴∠ADE=∠B=30°，∠EDC=∠BCD=30°，∴∠ECD=∠EDC=30°，∴CE=DE，∵∠A=90°，∠EDC=30°，∴AE=1∴AE=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，得出AE=123．（2020秋·江蘇南京·八年級(jí)南京第五初中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知△ABC，過(guò)頂點(diǎn)A的直線DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分線分別交DE于點(diǎn)E、D，若AC＝3，AB＝4，BC＝5，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】7【分析】BE為∠ABC的角平分線，∠EBC=∠ABE，CD為∠ACB的角平分線，則∠ACD=∠DCB，因?yàn)锽C∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得出AD=AC，AB=AE，所以DE=AD+AE=AB+AC，從而可求出DE的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵BE為∠ABC的角平分線，CD為∠ACB的角平分線，∴∠EBC=∠ABE，∠ACD=∠DCB；∵DE∥BC，∴∠DCB=∠CDE，∠EBC=∠BED；∴∠ADC=∠ACD，∠ABE=∠AEB，∴AD=AC，AB=AE；∴DE=AD+AE=AB+AC=3+4=7；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了勾股定理、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．24．（2023秋·河北保定·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，交AB于點(diǎn)（1）若AE＝4，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____；（2）若AB＝10，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】45【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得DE=AE=4．(2)由∠ADB=90°，可得∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90°．易證∠ADE=∠BAD,∠BDE=∠ABD，可得EB=ED=AE,則可求出DE的長(zhǎng)．【詳解】(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∵DE∥AC，∴∠ADE=∠CAD，∴∠BAD=∠ADE，∴DE=AE．∵AE=4，∴DE=4．故答案為4．(2)∵BD丄AD，∴∠ADB=90o．∴∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90o．∵DE=AE，∴∠ADE=∠BAD，∴∠BDE=∠ABD，∴EB=ED，∴EB=ED=AE=12AB=12∴DE=5．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，以及等角對(duì)等邊．熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)期末）如圖，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周長(zhǎng)為10cm，那么BC的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】10cm【分析】由角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得OD=BD，OE=CE，從而B(niǎo)C的長(zhǎng)等于△ODE的周長(zhǎng)，問(wèn)題即解決．【詳解】∵BO平分∠ABC∴∠ABO=∠DBO∵OD∥AB∴∠DOB=∠ABO∴∠DBO=∠DOB∴OD=BD同理OE=CE∵OD+DE+OE=10cm∴BC=BD+DE+CE=OD+DE+OE=10cm故答案為：10cm【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得到兩個(gè)等腰三角形．三、解答題26．（2023春·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交∠ABC的角平分線于點(diǎn)D，連接CD．求證：△ACD為等腰三角形．

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用平行線的性質(zhì)得出∠1=∠3，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)得出AC=AD即可.【詳解】證明：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．

∵AD∥BC∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴AB=AD．∵AB=AC，∴AC=AD，∴△ACD為等腰三角形；【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記等角對(duì)等邊是解本題的關(guān)鍵．27．（2023春·上海閔行·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在△ABC中，已知BD平分∠ABC，DE∥BC，點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)．請(qǐng)說(shuō)明

解：因?yàn)锽D平分∠ABC（已知），所以∠CBD=______（角平分線的意義）．因?yàn)镈E∥所以∠CBD=∠BDE（______）．所以∠BDE=______（______）．所以EB=ED（______）．因?yàn)辄c(diǎn)M是BD的中點(diǎn)（已知），所以EM⊥BD（______）．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)可得∠BDE=∠ABD，再由等角對(duì)等邊可得EB=ED，根據(jù)等腰三角形三線合一，即可得出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)锽D平分∠ABC（已知），所以∠CBD=∠ABD（角平分線的意義）．因?yàn)镈E∥所以∠CBD=∠BDE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．所以∠BDE=∠ABD（等量代換）．所以EB=ED（同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊）．因?yàn)辄c(diǎn)M是BD的中點(diǎn)（已知），所以EM⊥BD（等腰三角形三線合一）．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的意義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．28．（2023春·江西撫州·八年級(jí)江西省撫州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．

(1)若∠B=37°，求∠CAD的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E在邊AC上，EF∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：【答案】(1)53°(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形底角相等，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求得∠CAD；（2）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，再根據(jù)AD是∠BAC的角平分線即可得到∠DAC=∠F，從而證得AE=FE．【詳解】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠B=∠C=37°，∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=53°；（2）證明：∵EF∥∴∠BAF=∠F，∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAF=∠DAC，∴∠DAC=∠F，∴AE=FE．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形、平行線、直角三角形的相關(guān)知識(shí)．29．（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整．求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC，求證：證明：∵AD∥∴∠1=∠B（

），∠2=∠C（

），∵AD平分∠CAE，∴∠1=∠2（角平分線的定義），∴∠B=∠C（

），∴AB=AC（

）．【答案】?jī)芍本€平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊【分析】只需要利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明∠B=∠C，即可證明AB=AC．【詳解】證明：∵AD∥∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵AD平分∠CAE，∴∠1=∠2（角平分線的定義），∴∠B=∠C（等量代換），∴AB=AC（同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊）故答案為：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，證明∠B=∠C是解題的關(guān)鍵．30．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知△ABC中，過(guò)點(diǎn)B作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，作DE∥AC交AB于E．求證：

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，推出∠BAD=∠EDA，進(jìn)而得到AE=ED，根據(jù)垂線的定義，推出∠ABD=∠BDE，進(jìn)而得到BE=ED，即可證明AE=BE．【詳解】證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥∴∠EDA=∠CAD，∴∠BAD=∠EDA，∴AE=ED，∵AD⊥BD，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠EDA+∠BDE=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=ED，∴AE=BE．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，垂線的定義，熟練掌等角對(duì)等邊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．31．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，以∠AOB的頂點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與射線OA，OB分別交于點(diǎn)C，D，再分別以C，D為圓心，以大于12CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)N，畫(huà)射線ON，過(guò)點(diǎn)N作MN∥OB，交OA于點(diǎn)(1)射線ON是∠AOB的；(2)證明：OM=MN．【答案】(1)平分線；(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖過(guò)程，即可得到答案；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠AON=∠BON，再利用平行的性質(zhì)，得到∠BON=∠MNO，最后根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：由尺規(guī)作圖過(guò)程可知，射線ON是∠AOB的平分線．故答案為：平分線．（2）證明：∵ON是∠AOB的平分線，∴∠AON=∠BON，∵M(jìn)N//OB，∴∠BON=∠MNO，∴∠AON=∠MNO，∴OM=MN．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖—角平分線，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．32．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，BE是△ABC的角平分線，點(diǎn)D在AB上，且DE∥(1)求證：DB=DE；(2)若∠A=60°，∠C=50°，求∠BED的大?。敬鸢浮?1)見(jiàn)解析(2)35°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出∠DBE=∠EBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DEB=∠EBC，證明∠DEB=∠DBE，即可得出DB=DE；（2）∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-60°-50°=70°，根據(jù)角平分線的定義得出∠EBC=12∠ABC=35°【詳解】（1）證明：∵BE是△ABC的角平分線，∴∠DBE=∠EBC，∵DE∥∴∠DEB=∠EBC，∴∠DEB=∠DBE，∴DB=DE．（2）解：∵∠A=60°，∠C=50°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-60°-50°=70°，∵BE是△ABC的角平分線，∴∠EBC=1∵DE∥∴∠BED=∠EBC=35°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．33．（2023秋·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如右圖，在△ABC中