平面向量的正交分解及坐標表示講課

平面向量的正交分解坐標表示及坐標運算1.1、平面向量的根本定理:2、向量的基底:不共線的平面向量e1,e2

叫做這一平面內所有向量的一組基底.如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量

a

，有且只有一對實數(shù)λ1,λ2

使得a=λ1e1+λ2e2復習引入2.(1)基底不唯一；(2)要求這兩個向量不共線；(3)如果基底選定，那么，唯一確定,可以為零.時,，與共線.時,，與共線.時,特別的：3.如圖，光滑斜面上一個木塊受到的重力為G，下滑力為F1，木塊對斜面的壓力為F2，這三個力的方向分別如何？三者有何相互關系？GF1F2新課引入4.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解aλ1a1λ2

a2F1F2G正交分解5.思考：我們知道，在平面直角坐標系，每一個點都可用一對有序實數(shù)〔即它的坐標〕表示，對直角坐標平面內的每一個向量，如何表示？6.Oxya任一向量a，用這組基底能不能表示?分別與x軸、y軸方向相同的兩單位向量i、j能否作為平面向量的基底?ij思考：7.yOxji向量的坐標表示axiyj分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數(shù)x、y,使得a=x

i+y

j探究一、平面向量的坐標表示:把(x,y)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y)其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標8.向量的坐標表示i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)9.yxAa如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起點作OA=a，那么點A的位置由唯一確定。yxOjia(x,y)因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)唯一表示。反過來，點A的坐標（x,y)也就是向量OA的坐標。a設OA=xi+yj，則向量OA的坐標（x,y)就是點A的坐標；10.yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐標相同向量a、b有什么關系?a＝b能說出向量b的坐標嗎?b=(x,y)11.jyxOiaA1AA2bcd例2:用基底i，j分別表示向量a、b、c、d,并求出它們的坐標.解：12.

思考：已知你能得出的坐標嗎？探究二：平面向量的坐標運算:

13.平面向量的坐標運算：兩個向量和〔差〕的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和〔差〕實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的坐標14.

例題:已知求的坐標。變式練習：15.例3.如圖，已知求的坐標。xyOBA解：

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。這是一個重要結論！探究三：點的坐標與向量坐標的關系16.yxOB(x2,y2)A(x1,y1)P你能在圖中標出坐標為的P點嗎？17.ABCDxyO解法１：設點D的坐標為〔x,y〕解得x=2,y=2所以頂點D的坐標為〔2，2〕例3.如圖，已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），試求頂點D的坐標。18.ABCDxyO解法2：由平行四邊形法那么可得而所以頂點D的坐標為〔2，2〕例4.如圖，已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），試求頂點D的坐標。19.隨堂練習坐標是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)BA、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B標坐標為A、(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)C、(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)C20.BB標的坐標為(i,j),則點A的坐標為A、(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)C、(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)A21.課堂小結:2加、減法法那么.3實數(shù)與向量積的運算法那么：4向量坐標.1向量坐標定義