2024屆高考數(shù)學一輪總復(fù)習第六章立體幾何第五講直線平面垂直的判定與性質(zhì)課件

第五講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課標要求考情分析1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題1.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)是高考中的重點考查內(nèi)容，涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定及其應(yīng)用、直線與平面所成角等內(nèi)容.2.題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的推理論證能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想1.直線與平面垂直(1)定義

如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直

?l⊥α(2)判定定理與性質(zhì)定理定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行

?a∥b(續(xù)表)

2.直線和平面所成的角

(1)定義

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角.3.平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直

?α⊥β(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直?l⊥α(續(xù)表)【名師點睛】(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).

(3)使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”.

考點一線面垂直的判定與性質(zhì)

[例1](2021年彭州市期中)如圖6-5-1，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝

，AA1＝3，E為CD上一點，DE＝1，EC＝3. (1)證明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求三棱錐B1-EA1C1

的體積.圖6-5-1(1)證明：如圖6-5-2，過點B作CD的垂線交CD于點F，圖6-5-2【題后反思】證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明線面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性；③面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì).【變式訓練】(2022年南京市模擬)如圖6-5-3，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥E為PD的中點.(1)求證：CE∥平面PAB；(2)求證：CD⊥面PAC.圖6-5-3證明：(1)如圖D34，取PA的中點F，連接EF，BF，圖D34∵E為PD的中點，∴AC2＋CD2＝AD2，即AC⊥CD.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得CD⊥PA，而PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC.考點二面面垂直的判定與性質(zhì)

[例2]

如圖6-5-4所示，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.圖6-5-4證明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，PA?平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四邊形ABED為平行四邊形.∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又∵PD?平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分別是CD和PC的中點，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.【題后反思】(1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理.

(2)已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

【變式訓練】

如圖6-5-5，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點，∠APC＝90°. (1)證明：平面PAB⊥平面PAC；P-ABC的體積.圖6-5-5(1)證明：如圖

D35，連接OA，OB，OC.∵D為圓錐頂點，O為底面圓心，∴OD⊥平面ABC.∵P在DO上，OA＝OB＝OC，∴PA＝PB＝PC.圖D35∵△ABC是圓內(nèi)接正三角形，∴AC＝BC，△PAC≌△PBC.∵∠APC＝90°，∴∠APC＝∠BPC＝90°，即PA⊥PC，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB.∵PC?平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC.

考點三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

[例3]如圖

6-5-6，AB是⊙O

的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點. (1)證明：△PBC是直角三角形；

(2)若PA＝AB＝2，且當直線PC與平面ABC所成角的正切值為

時，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.圖6-5-6(1)證明：∵AB

是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動點.∴BC⊥AC， ∵PA⊥平面ABC， ∴BC⊥PA.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形.(2)解：如圖

6-5-7，過點A作AH⊥PC于點H，圖6-5-7∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH.又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直線AB與平面PBC所成的角.【題后反思】(1)證明垂直關(guān)系時，要充分利用定義、判定和性質(zhì)實現(xiàn)線線垂直、線面垂直、面面垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.(2)線面角的計算，首先要利用定義和題目中的線面垂直作出所求角，然后在一個直角三角形中求解.

【變式訓練】

在四棱錐P-ABCD中，△PAD是等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)在AD上是否存在一點M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；(2)若△PCD的面積為8，求四棱錐P-ABCD的體積.

解：(1)當M為AD的中點時，使得平面PCM⊥平面ABCD.證明如下：

如圖D36，連接CM，PM，

由△PAD是等邊三角形，可得PM⊥AD，

而平面PAD⊥平面ABCD，PM?平面PAD，AD為平面PAD和平面ABCD的交線，可得PM⊥平面ABCD，圖D36又因為PM?平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.

⊙邏輯推理、直觀想象在平行、垂直關(guān)系證明中的體現(xiàn)

邏輯推理在該部分主要體現(xiàn)在空間平行、垂直關(guān)系的證明與探究，其理論根據(jù)就是空間垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，需要掌握推理的基本形式，表述論證的過程.平行、垂直關(guān)系證明的起點就是平面圖形中的線線平行、垂直關(guān)系.

[例4](2022年高臺縣校級月考)如圖6-5-8所示，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA且PA＝2ED＝2. (1)證明：CE∥平面ABP；(2)證明：平面PAC⊥平面BDE；(3)若∠ABC＝60°，求棱錐P-ACE的體積.圖6-5-8(1)證明：因為

ED∥PA，ED

平面ABP，PA?平面ABP，所以ED∥平面ABP，又因為ABCD是菱形，CD∥AB，同理可得CD∥平面ABP，因為CD∩ED＝D，CD?平面CDE，ED?平面CDE，所以平面CDE∥平面ABP，因為CE?平面CDE，所以CE∥平面ABP.

(2)證明：如圖6-5-9，連接BD，因為PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，

所以PA⊥BD，

又因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，圖6-5-9因為PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又因為BD?平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.【題后反思】處理平行與垂直的綜合問題的主要數(shù)學思想是轉(zhuǎn)化，要熟練掌握線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉(zhuǎn)化.【高分訓練】1.如圖6-5-10，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，PA⊥CD，E為側(cè)棱PC上一點.(1)若BE⊥PC，求證：PC⊥平面BDE；(2)若PA∥平面BDE，求平面BDE把四棱錐P-ABCD分成兩部分的體積比.圖6-5-10(1)證明：如圖D37，連接AC，因為四邊形ABCD為菱形，圖D37所以AC⊥BD.因為PA⊥AD，PA⊥CD，且AD∩CD＝D，所以PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.又因為PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.又因為BE⊥PC，BD∩BE＝B，所以PC⊥平面BDE.(2)解：設(shè)

AC∩BD＝O，如圖D37，連接OE，因為四邊形ABCD為菱形，所以AO＝OC.

因為PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE，

所以平面BDE把四棱錐P-ABCD分成兩部分的體積比為1∶3(或3∶1).2.(2021年定遠縣模擬)如圖

6-5-11，在三棱柱ABC-A1B1C1

中，AA1⊥底面A1B1C1，D是AB中點.(1)證明：AC1∥平面B1CD；(2)若∠ACB＝90°，AA1＝BC，證明：平面A1C1B⊥平面B1CD.圖6-5-11

證明：(1)如圖D38，設(shè)BC1

與B1C相交于點