第九章 壓桿穩(wěn)定課件

第九章壓桿穩(wěn)定材料力學的三大任務保證材料或結構在服役期間，具有以下能力：2、抵抗變形的能力3、保持其原有平衡狀態(tài)的能力1、材料抵抗破壞的能力平衡構形——結構或構件在載荷作用下保持平衡的位置。平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性——結構或構件在載荷作用下保持其初始平衡構形的能力；經歷任意微小干擾能否回到原有平衡構形。幾個基本概念失穩(wěn)(instability)：構件或體系喪失原有平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性粗短壓桿——強度破壞§9?1

壓桿穩(wěn)定的概念低碳鋼短柱：屈服破壞鑄鐵短柱：剪切破壞FFF>FcrF>Fcr正直變形狀態(tài)是穩(wěn)定的F1干擾力細長壓桿——失穩(wěn)破壞1、當F較小時，變形狀態(tài)為正直變形狀態(tài)：橫向尺寸增大，縱向尺寸縮短。F<FcrF<Fcr拆除干擾力后2、當F較大或桿足夠細長時，微小干擾拆除后，形成另外一種彎曲變形狀態(tài)，且無法恢復到原來的正直變形狀態(tài)。即：原有平衡狀態(tài)喪失，稱壓桿失穩(wěn)或屈曲(buckling)。FFF>FcrF>Fcr正直變形狀態(tài)是穩(wěn)定的F1干擾力F<FcrF<Fcr拆除干擾力后當F逐漸增大時，壓桿平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性也在變化。當F較小時，正直平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，彎曲平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的；當F較大時，彎曲平衡是穩(wěn)定的，正直平衡是不穩(wěn)定的臨界(壓)力(criticalforce)

：壓桿臨界平衡狀態(tài)時所受的軸向壓力。Fcr或使壓桿保持正直變形狀態(tài)所能承受的最大軸向壓力。或使壓桿達到彎曲平衡狀態(tài)(失穩(wěn))所需的最小軸向壓力。本章需要回答：軸向載荷F=？時，才會出現失穩(wěn)？臨界平衡狀態(tài)：壓桿處于正直平衡狀態(tài)與彎曲平衡狀態(tài)之間的臨界狀態(tài)。兩重性：既可在直線狀態(tài)保持平衡，又可在彎曲狀態(tài)維持平衡。mM(x)=-FwxwFwxF(b)假設理想壓桿處于臨界平衡狀態(tài)的微彎狀態(tài)，材料處于線彈性范圍。距離原點x處截面m的撓度為w=w(x)。wxmδl/2xwFlF(a)

§9?2

兩端(球)鉸支細長壓桿臨界力的歐拉公式由圖(b)所示分離體的平衡可知：則撓曲線近似微分方程為：∵在所選定的坐標內，w為正時，M(x)為負。令則mM(x)=-FwxwFwxF(b)微分方程的解：邊界條件：wxmδl/2xwFlF

由于臨界力F是使壓桿失穩(wěn)的最小壓力，故n應取不為零的最小值，即取n=1。

上式即為兩端鉸支細長壓桿臨界力Fcr的計算公式，由歐拉（L.Euler）于1744年首先導出，所以通常稱為歐拉公式。應該注意，壓桿的彎曲是在其彎曲剛度最小的縱向平面內發(fā)生，因此歐拉公式中的I應該是截面的最小慣性矩?！獨W拉公式

對于各種支承情況的理想壓桿，其臨界力的歐拉公式可寫成統(tǒng)一的形式：

式中

稱為長度系數，與桿端的約束情況有關。

l稱為相當長度(equivalentlength)

。其它支承條件下細長壓桿臨界壓力公式表9?1

各種支承條件下細長壓桿的臨界力

支承情況兩端鉸支一端固定一端鉸支兩端固定一端固定一端自由失穩(wěn)時撓曲線形狀臨界力長度系數lFcrμ=1μ=0.7μ=0.5μ=22llFcrlFcr0.7llFcr一、歐拉公式的應用范圍1、實驗表明：粗短壓桿沒有失穩(wěn)現象；中等長度的壓桿失穩(wěn)時的臨界力，與歐拉公式計算的臨界力并不符合；細長壓桿失穩(wěn)時的臨界力，可以用歐拉公式來計算?！??3

歐拉公式的應用范圍·臨界應力總圖2、臨界應力

cr：為量化歐拉公式的適用范圍，定義臨界力Fcr除以壓桿橫截面面積A為臨界應力。則引入壓桿長細比或柔度(slenderness)

：式中

為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑。

撓曲線的近似微分方程建立在胡克定律基礎上，因此只有材料在線彈性范圍內工作時，即只有

cr≤

p時，歐拉公式才能適用。O

p

p

cr

歐拉臨界應力曲線

通常稱

≥

p的壓桿為大柔度桿或細長壓桿。歐拉公式的應用范圍：二、中、小柔度桿的臨界應力

如果壓桿的柔度

<

p，則臨界應力

cr大于材料的比例極限

p，此時歐拉公式不再適用。對于這類壓桿，通常采用以試驗結果為基礎的經驗公式來計算其臨界應力。直線公式

式中，a和b是與材料力學性能有關的常數，一些常用材料的a和b值見表9–2。表9?2

一些常用材料的a、b、

p、

s值材料a(MPa)b(MPa)

p

sQ235鋼σs=235MPaσb=372MPa3041.1210061.4優(yōu)質碳鋼σs=306MPaσb=470MPa4602.5710060硅鋼σs=353MPaσb≥510MPa5773.7410060鉻鉬鋼9805.29550硬鋁3923.26500松木28.70.199590*公式適用范圍：臨界應力不能大于極限應力（塑性材料為屈服極限，脆性材料為強度極限）。滿足此條件的桿件稱為中柔度桿或中長壓桿。

塑性材料：

s≤

p,

脆性材料：

b≤

p

,

*<

s的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿，屬強度破壞，其臨界應力為極限應力。

三、壓桿的臨界應力總圖

壓桿的臨界應力總圖：壓桿的臨界應力

cr與柔度

之間的關系曲線。

(1)大柔度桿：

≥

p，按歐拉公式計算；直線型經驗公式的壓桿臨界應力總圖O

p

p

cr

s

s

cr=

s

cr=a-b

(2)中柔度桿：

s≤

<

p，按直線型經驗公式計算；(3)小柔度桿：

<

s，

cr=

s，按強度問題處理。細長桿（大柔度桿）—發(fā)生彈性屈曲中長桿（中柔度桿）—發(fā)生彈塑性屈曲粗短桿（小柔度桿）—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服壓桿所承受的軸向壓力小于壓桿的臨界力，因此，壓桿的穩(wěn)定條件(stabilitycondition)為：§9?4

壓桿的穩(wěn)定計算式中：nst為壓桿的工作穩(wěn)定安全系數。F為壓桿的工作壓力。Fcr=A

cr為壓桿的臨界壓力。[nst]為規(guī)定的穩(wěn)定安全系數?；蛘逨a(a)2aF(d)例1

圖示各桿均為圓截面大柔度壓桿(

>

P)，已知各桿所用的材料和截面均相同，各桿的長度如下圖所示，問哪根桿能夠承受的壓力最大？哪根能夠承受的壓力最?。縁1.3a(b)F1.6a(c)解：比較各桿的承載能力只需比較各桿的臨界力，因為各桿均為大柔度桿，所以都可以用歐拉公式計算臨界力。由于各桿的材料和截面相同，只需比較各桿的計算長度

l即可。桿a：

l=2×a=2a桿b：

l=1×1.3a=1.3a桿c：

l=0.7×1.6a=1.12a桿d：

l=0.5×2a=a臨界力與

l的平方成反比，所以桿d能夠承受的壓力最大，桿a能夠承受的壓力最小。Fa(a)F1.3a(b)F1.6a(c)2aF(d)例2

千斤頂為圓截面桿，如圖所示，絲杠長度為l=375mm,

直徑d=40mm；材料為45號鋼，

s=60，

p=100；中柔度桿臨界應力公式為:

cr=a-bλ,其中a=589MPa,b=3.82MPa;最大起重量F=80kN,規(guī)定的穩(wěn)定安全系數[nst]=4，試校核其穩(wěn)定性。Fl(b)解：（1）計算柔度絲杠可簡化為下端固定，上端自由的壓桿，長度系數

=2。(a)l（2）選擇計算臨界應力的公式屬于中等柔度桿因此：由于工作安全系數：故：千斤頂絲杠是穩(wěn)定的。例3

空氣壓縮機活塞桿為圓截面桿，兩端約束均可簡化為鉸支座。已知桿長l=703mm，直徑d=45mm；材料為45號鋼，

s=350MPa，

p=280MPa,E=210GPa；中柔度桿臨界應力公式為:

cr=a-bλ,其中a=461MPa,b=2.568MPa;最大工作壓力Pmax=41.6KN,規(guī)定的安全系數[nst]=10，試校核其穩(wěn)定性。解：（1）計算三個柔度Pld（2）選擇計算臨界應力的公式屬于中等柔度桿因此：由于工作安全系數：故：滿足穩(wěn)定性要求。例4

圖示結構，AB為剛桿，CD為圓截面桿，直徑d=40mm，E=200GPa，

s=60,

P=100

，中柔度桿臨界應力公式為:

cr=a-bλ,其中a=461MPa,b=2.568(MPa);試按結構穩(wěn)定性求臨界荷載qcr。解：（1）確定CD

桿的臨界力首先要判定CD桿臨界力的計算公式由題可知，CD桿兩端鉸支m=1，l=1.2mCD桿柔度為：CD桿為細長壓桿，可由歐拉公式計算其臨界力（2）求結構的臨界荷載qcr研究AB桿，由結構的平衡條件得：例5(習題9-2)

截面為矩形b×h=30mm×50mm的鋼制桿如圖所示，其兩端用柱形鉸連接。若l=2m，E=200GPa，

P=100，

s=55，中柔度桿臨界應力公式為:

cr=382-2.18λ(MPa),

許用穩(wěn)定安全系數[nst]=3，試求其最大工作載荷Fmax。bhylhFFxbFFzx解：(2)若壓桿在xz平面內失穩(wěn)，則桿端約束條件為兩端固定，長度系數

2=0.5，截面慣性半徑則柔度則柔度(1)

若壓桿在xy平面內失穩(wěn)，則桿端約束條件為兩端鉸支，長度系數

1=1，截面慣性半徑bhylhFFxbFFzx

由于

1>

2，因此該桿將在xy平面內失穩(wěn)。此時

=

1=138.6>

P，該桿屬于大柔度桿，應采用歐拉公式計算其臨界應力。則：故：壓桿可承受的最大工作載荷為Fmax=51.35KN。bhylhFFxbFFzx例6(習題9-3)圖示立柱由兩根10號槽鋼組成，上端為球鉸，下端固定，柱長l=6m，試問兩槽鋼距離a值取多少時，立柱的臨界壓力剛好達到最大？其值為多少？已知材料E