函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)2021/5/91（4）.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（5）.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

（3）.三角函數(shù)：（1）.常函數(shù)：(C)/

0,(c為常數(shù))；

（2）.冪函數(shù)：(xn)/

nxn1一、復(fù)習(xí)回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2021/5/92函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間G上，當(dāng)x1、x2∈G且x1＜x2時(shí)函數(shù)單調(diào)性判定單調(diào)函數(shù)的圖象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在G上是增函數(shù)；2）都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在G上是減函數(shù)；若f(x)在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)則f(x)在G上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。G稱為單調(diào)區(qū)間G=(a,b)二、復(fù)習(xí)引入:2021/5/93oyxyox1oyx1在（－∞，0）和（0,＋∞）上分別是減函數(shù)。但在定義域上不是減函數(shù)。在（－∞，1）上是減函數(shù)，在（1,＋∞）上是增函數(shù)。在(－∞,＋∞)上是增函數(shù)概念回顧畫出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2021/5/94(1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；(2)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概念。這個(gè)區(qū)間是定義域的子集。(3)單調(diào)區(qū)間：針對(duì)自變量x而言的。若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增區(qū)間；若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。

以前,我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設(shè)x1<x2的前提下,比較f(x1)<f(x2)與的大小,在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜的情況下,比較f(x1)與f(x2)的大小并不很容易.如果利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡單.如何利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性呢?2021/5/95觀察:

下圖(1)表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)的圖象,圖(2)表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)的圖象.

運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn),以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別?aabbttvhOO①運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn),離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而增加,即h(t)是增函數(shù).相應(yīng)地,

②從最高點(diǎn)到入水,運(yùn)動(dòng)員離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而減少,即h(t)是減函數(shù).相應(yīng)地,(1)(2)2021/5/96xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3

觀察下面一些函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系.

在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果恒有，則是?。常數(shù)2021/5/97例1已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息:當(dāng)1<x<4時(shí),當(dāng)x>4,或x<1時(shí),當(dāng)x=4,或x=1時(shí),試畫出函數(shù)的圖象的大致形狀.解:

當(dāng)1<x<4時(shí),可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>4,或x<1時(shí),可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)x=4,或x=1時(shí),

綜上,函數(shù)圖象的大致形狀如右圖所示.xyO142021/5/98例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解:(1)因?yàn)?所以因此,函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)因?yàn)?所以當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.2021/5/99例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解:(3)因?yàn)?所以因此,函數(shù)在上單調(diào)遞減.(4)因?yàn)?所以

當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.2021/5/9101、求可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)(3)確認(rèn)并指出遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）2、證明可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的方法：(1)求f’(x)(2)確認(rèn)f’(x)在(a,b)內(nèi)的符號(hào)(3)作出結(jié)論歸納:2021/5/911練習(xí)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:2021/5/912例3如圖,水以常速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO2021/5/913

一般地,如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大,那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快,這時(shí),函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);

反之,函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

如圖,函數(shù)在或內(nèi)的圖象“陡峭”,在或內(nèi)的圖象平緩.2021/5/914練習(xí)2.討論二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:

由,得,即函數(shù)的遞增區(qū)間是;相應(yīng)地,函數(shù)的遞減區(qū)間是

由,得,即函數(shù)的遞增區(qū)間是;相應(yīng)地,函數(shù)的遞減區(qū)間是2021/5/915練習(xí)3.求證:函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù).解:

由,解得,所以函數(shù)的遞減區(qū)間是,即函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù).2021/5/9162021/5/917增例2：求參數(shù)解：由已知得因?yàn)楹瘮?shù)在（0，1]上單調(diào)遞增2021/5/918增例2：2021/5/919本題用到一個(gè)重要的轉(zhuǎn)化：在某個(gè)區(qū)間上，，f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）；但由f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而僅僅得到是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于0也能使f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)，所以對(duì)于能否取到等號(hào)的問題需要單獨(dú)驗(yàn)證說明:2021/5/920例3：方程根的問題求證：方程只有一個(gè)根。2021/5/921小結(jié):

1.在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

如果,那么函數(shù)