專題23.2 模型構(gòu)建專題:旋轉(zhuǎn)中的常見模型(原卷版)_第1頁
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專題23.2模型構(gòu)建專題:旋轉(zhuǎn)中的常見模型【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一“手拉手”模型】 1【變式1等邊三角形——等腰直角三角形】 3【變式2特殊三角形——矩形】 12【變式3特殊三角形——正方形】 16【類型二“半角”模型】 22【典型例題】【類型一“手拉手”模型】例題:(2023秋·河南信陽·九年級統(tǒng)考期末)和△ADE都是等邊三角形.將△ADE繞點旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時,連接并延長相交于點(點與點重合),有(或)成立.

(1)將△ADE繞點旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時,連接相交于點,連接,猜想線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并加以證明;(2)將△ADE繞點旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時,連接相交于點,連接,猜想線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出結(jié)論,不需要證明.【變式1等邊三角形——等腰直角三角形】例題:(2023春·吉林長春·七年級??计谀鹃喿x材料】兩個頂角相等的等腰三角形,若它們的頂角具有公共的頂點,且當(dāng)把它們底角的頂點連接起來時會形成一組全等三角形,則把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形,如圖1,在“手拉手”圖形中,若,,,則≌.(1)【材料理解】在圖1中證明.(2)【問題解決】如圖2,和都是等腰三角形,,,,線段與線段交于點F,延長交于點,求證:.下面是小明的部分證明過程:證明:∵,,∴,∵,∴.請你補全余下的證明過程.(3)【結(jié)論應(yīng)用】如圖3,是等腰三角形,,、分別為邊、上的點,且滿足,連接,將以點為旋轉(zhuǎn)中心按逆時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為,當(dāng)線段與的腰有交點,且直線垂直于的腰時,直接寫出的值.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期中)已知和都是等腰直角三角形(),.

(1)如圖①,連,,求證:;(2)若將繞點順時針旋轉(zhuǎn).①如圖②,當(dāng)點恰好在邊上時,求證:;②當(dāng)點,,在同一條直線上時,若,,請直接寫出線段的長.2.(2023春·江西吉安·八年級校聯(lián)考期中)如圖1,在中,,,點,分別在邊,上,且,連接.現(xiàn)將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為,如圖2,連接,,.(1)當(dāng)時,如圖2,求證:;(2)當(dāng)時,如圖3,延長交于點,求證:垂直平分;(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)?shù)拿娣e最大時,直接寫出此時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)和的面積.【變式2特殊三角形——矩形】例題:(2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末)矩形的邊長,,將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)角得到矩形,點、、的對應(yīng)點分別為、、.

(1)如圖,當(dāng)過點時,求的長;(2)如圖,當(dāng)點落在上時,連結(jié)、.①四邊形是何特殊的四邊形?請說明理由;②證明點、、三點共線.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末)【探索發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1,正方形的對角線相交于點O,點O又是正方形的一個頂點,而且這兩個正方形的邊長相等,我們知道,無論正方形繞點O怎么轉(zhuǎn)動,總有,連接,求證:.【類比遷移】(2)如圖2,矩形的中心O是矩形的一個頂點,與邊相交于點E,與邊相交于點F,連接,矩形可繞著點O旋轉(zhuǎn),判斷(1)中的結(jié)論是否成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由;【遷移拓展】(3)如圖3,在中,,,,直角的頂點D在邊的中點處,它的兩條邊和分別與直線相交于點E,F(xiàn),可繞著點D旋轉(zhuǎn),當(dāng)時,直接寫出線段的長度.

【變式3特殊三角形——正方形】例題:(2023·山西大同·校聯(lián)考三模)綜合與實踐:問題情景:如圖1、正方形與正方形的邊,在一條直線上,正方形以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α,在旋轉(zhuǎn)過程中,兩個正方形只有點A重合,其它頂點均不重合,連接,.

(1)操作發(fā)現(xiàn):當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時,求證:;(2)操作發(fā)現(xiàn):如圖3,當(dāng)點E在延長線上時,連接,求的度數(shù);(3)問題解決:如圖4,如果,,,請直接寫出點G到的距離.【變式訓(xùn)練】1.(2023·全國·九年級專題練習(xí))問題情境:小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后,進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動:在正方形的邊上任意取一點G,以為邊長向外作正方形,將正方形繞點B順時針旋轉(zhuǎn).

特例感知:(1)當(dāng)在上時,連接相交于點P,小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為的中點,如圖①.針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,請給出證明;(2)小紅繼續(xù)連接,并延長與相交,發(fā)現(xiàn)交點恰好也是中點P,如圖②,根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,請判斷△APE的形狀,并說明理由;規(guī)律探究:(3)如圖③,將正方形繞點B順時針旋轉(zhuǎn),連接,點P是中點,連接,,,△APE的形狀是否發(fā)生改變?請說明理由.【類型二“半角”模型】例題:(2023春·福建漳州·八年級??计谥校?)【發(fā)現(xiàn)證明】老師在數(shù)學(xué)課上提出一個問題:如圖1,點E、F分別在正方形的邊、上,,請試判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系,小聰把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至,發(fā)現(xiàn),請你利用圖1證明上述結(jié)論.(2)【類比引申】如圖2,四邊形中,,,,點E、F分別在邊、上,要使得仍然成立,則與應(yīng)滿足什么數(shù)量關(guān)系?請說明理由.(3)【探究應(yīng)用】如圖3,在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形.已知米,,,,道路、上分別有景點E、F,且,)米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長,

【變式訓(xùn)練】1.(2023春·河南信陽·八年級校考期中)通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目,可達(dá)到解一題知一類的目的,下面是一個案例,請補充完整.原題:如圖,點、分別在正方形的邊、上,,連接,則,試說明理由.

(1)梳理,把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)

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