廣西專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)綜合檢測B卷新人教版選擇性必修第一冊

綜合檢測(B卷)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2,則a的值為()A.18 B.-C.8 D.-8答案:B解析:由y=ax2得x2=1ay,則1a=-8,得a=-2.自點(diǎn)A(-1,4)作圓(x-2)2+(y-3)2=1的切線,則切線長為()A.5 B.3C.10 D.5答案:B解析:點(diǎn)A與圓心的距離為(2+1故切線長為10-1=3.若雙曲線C1:x22-y28=1與C2:x2a2-y2b2=A.2 B.4C.6 D.8答案:B解析:由題意得,ba=2,則b=2a.因?yàn)殡p曲線C2的焦距2c=45,所以c=a2+b2=聯(lián)立①②,得b=4.4.在平面內(nèi),A,B是兩個定點(diǎn),C是動點(diǎn),若AC·BC=1,則點(diǎn)C的軌跡為(A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線答案:A解析:設(shè)|AB|=2a(a>0),以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.則A(-a,0),B(a,0),設(shè)C(x,y),可得AC=(x+a,y),BC=(x-a,y),從而AC·BC=(x+a)(x-a)+y2整理得x2+y2=a2+1,即點(diǎn)C的軌跡是以線段AB的中點(diǎn)為圓心,a2+15.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上的點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的最近距離等于1,則半徑r的值為()A.4 B.5C.6 D.9答案:A解析:由題意可得,圓心(3,-5)到直線4x-3y-2=0的距離等于r+1,即|12+15-2|16+96.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A.23 B.C.23 D.答案:A解析:設(shè)AB=1,則AA1=2,如圖,以D1為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以D1A1,D1C1,D1D所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D1xyz,則D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),DB=(1,1,0),DC1=(0,1,-2),DC設(shè)n=(x,y,z)為平面BDC1的法向量,則n令z=1,則n=(-2,2,1)為平面BDC1的一個法向量.設(shè)CD與平面BDC1所成的角為θ,則sinθ=|cos<n,DC>|=|n7.如圖,將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,若點(diǎn)P滿足BP=12BA-12BCA.32 B.C.10-24答案:D解析:由題可知|BA|=1,|BC|=1,|BD|=2,<BA,BD>=45°,<BD,BC>=45°,<則|BP|2=12BA-12BC+BD2=14BA2+14BC28.已知過點(diǎn)M(-2,0)的直線m與橢圓x22+y2=1交于P1,P2兩點(diǎn),線段P1P2的中點(diǎn)為P,設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0),直線OP的斜率為k2,則k1k2的值為(A.2 B.-2C.12 D.-答案:D解析:設(shè)直線m:y=k1(x+2),聯(lián)立x22+y2=1,y=k1(x+2),消去整理,得(1+2k12)x2+8k12x+8k設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點(diǎn)P(x0,y0),則x1+x2=-8k122ky0=k1(x0+2)=2k于是k2=y0x0=-12k1.故k二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.對于直線l2:3x+(a-1)y+3-a=0和直線l1:ax+2y+3a=0,以下說法正確的有()A.直線l2一定過定點(diǎn)-B.若l1⊥l2,則a=2C.l1∥l2的充要條件是a=3D.點(diǎn)P(1,3)到直線l1的距離的最大值為5答案:ABD解析:直線l2:3x+(a-1)y+3-a=0,即直線為a(y-1)+(3x-y+3)=0,所以直線l2過定點(diǎn)-23,1,故A正確;當(dāng)l1⊥l2時,3a+2(a-1)=0,解得a=25,故B正確;當(dāng)l1∥l2時,a(a-1)-6=0,解得a=3或a=-2,當(dāng)a=-2時,兩直線為x-y+3=0,x-y+53=0,符合題意;當(dāng)a=3時,兩直線為3x+2y+9=0,3x+2y=0,符合題意,故C錯誤;因?yàn)橹本€l1:ax+2y+3a=0,即a(x+3)+2y=0,過定點(diǎn)(-3,0),當(dāng)直線l1:ax+2y+3a=0與點(diǎn)P(1,3)和(-3,0)的連線垂直時,P(1,3)到直線l1的距離最大,最大值為(10.已知F1,F2分別是雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線C上異于雙曲線頂點(diǎn)的一點(diǎn),且PF1·PA.雙曲線C的漸近線方程為y=±xB.以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1C.點(diǎn)F1到雙曲線的一條漸近線的距離為1D.△PF1F2的面積為1答案:ACD解析:由雙曲線方程x2-y2=1得其漸近線方程為y=±x,故A正確;由題意得F1(-2,0),F2(2,0),則以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=2,故B錯誤;F1(-2,0),取一條漸近線y=x,點(diǎn)F1到該漸近線的距離d=|-2-不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,則|PF1|-|PF2|=2①,因?yàn)镻F1·PF2=0,所以PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2由①②得|PF1||PF2|=2,則△PF1F2的面積S=12|PF1||PF2|=12×2=11.已知圓C:x2+y2-kx+2y+14k2-k+1=0,則下列說法正確的是(A.k的取值范圍是k>0B.若k=4,過點(diǎn)M(3,4)的直線l與圓C相交所得弦長為23,則直線l的方程為12x-5y-16=0C.若k=4,圓C與圓x2+y2=1相交D.若k=4,m>0,n>0,直線mx-ny-1=0恒過圓C的圓心,則1m答案:ACD解析:對于A,方程表示圓的條件是(-k)2+22-414k2-對于B,若k=4,圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=4,因?yàn)橹本€l與圓C相交所得弦長為23,則圓心C(2,-1)到直線l的距離為1,當(dāng)直線l的斜率不存在時,x=3,滿足條件,故B錯誤;對于C,圓C的方程為(x-2)2+(y+1)2=4,圓心C(2,-1),半徑r1=2,圓x2+y2=1,圓心O(0,0),半徑r2=1,因?yàn)閞1-r2=1<|OC|=5<r1+r2=3,所以兩圓相交,故C正確;對于D,因?yàn)橹本€mx-ny-1=0恒過圓心C(2,-1),所以2m+n=1.又m>0,n>0,所以1m+2n=1m+2n(2m+n)=4+nm+412.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1,BC1⊥AB1,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),E為四邊形BCC1B1內(nèi)(包含邊界)的動點(diǎn),則下列說法正確的是()A.DA=B.若DE∥平面ABB1A1,則動點(diǎn)E的軌跡的長度等于22C.異面直線AD與BC1所成角的余弦值為6D.若點(diǎn)E到平面ACC1A1的距離等于32EB,則動點(diǎn)E答案:BCD解析:對于選項A,AD=1對于選項B,過點(diǎn)D作AA1的平行線交A1C1于點(diǎn)D1.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DB,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正三棱柱底面邊長為a(a>0),側(cè)棱長為b(b>0),則Aa2,0,0,B0,32a,0,B1所以BC1=-a2,因?yàn)锽C1⊥AB1,所以BC1即-a22-32a2分別取B1C1的中點(diǎn)F,BC的中點(diǎn)G,連接D1F,FG,DG,則FG∥BB1,D1F∥A1B1,于是平面D1FGD∥平面ABB1A1,又因?yàn)镈E∥平面ABB1A1,且E為四邊形BCC1B1內(nèi)(包含邊界)的動點(diǎn),所以點(diǎn)E的軌跡為線段FG,則動點(diǎn)E的軌跡的長度等于BB1=22AC,選項B正確對于選項C,在選項B的基礎(chǔ)上,Aa2,0,0,B0,3所以DA=a2,0,0,故異面直線AD與BC1所成角的余弦值為66,選項C正確對于選項D,如圖,設(shè)點(diǎn)E在底面ABC上的射影為點(diǎn)E1,過點(diǎn)E1作E1F⊥AC,垂足為F,則EE1∥平面ACC1A1,點(diǎn)E到平面ACC1A1的距離即為點(diǎn)E1到平面ACC1A1的距離E1F,所以E1F=32EB,又因?yàn)樵凇鰿E1F中,E1F=32E1C,所以EB=E1C,因?yàn)镋1C⊥CC1,所以點(diǎn)E到直線CC1的距離等于E1C,故點(diǎn)E滿足拋物線的定義,又點(diǎn)E為四邊形BCC1B1內(nèi)(包含邊界)的動點(diǎn),所以動點(diǎn)E的軌跡為拋物線的一部分.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若直線l過直線x-3y+1=0和直線3x+y-3=0的交點(diǎn),并且原點(diǎn)到直線l的距離為12,則直線l的方程為.答案:x=12或x-3y+1=解析:由x-3y當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=12,滿足條件;當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-32=kx-12,即2kx-2y+3-k=0,則原點(diǎn)(0,0)到直線l的距離d=|3-k|4k2+4=12,解得k=33,所以直線l的方程為x-3y+14.已知F是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),A為右頂點(diǎn),P是雙曲線C上的點(diǎn),PF⊥x軸,若|PF|=答案:5解析:由已知得|AF|=a+c,設(shè)點(diǎn)P(x,y),由PF⊥x軸,則x=-c,代入雙曲線方程可得y=±b2a,即|PF|=b2a,又|PF|=14|AF|,所以b2a=14(a+c),即b2=14a2+14ac?4(c2-a2)=a2+ac,整理可得4c2-ac-5a2=0,故4e15.設(shè)B是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn),若橢圓C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|答案:0,解析:由題意,點(diǎn)B(0,b).設(shè)P(x0,y0),則x02a2+y0∴|PB|2=x02+(y0-b)2=a21-y02b2+y02-2by0+b2=-c2b2y02由題意知當(dāng)y0=-b時|PB|2最大,∴-b3c2≤-b,得b2≥c2,即a2-c2≥∴離心率e=ca≤22,即16.在邊長為1的等邊三角形ABC中,沿邊BC的高線AD折起,使得二面角B-AD-C為60°,則點(diǎn)D到平面ABC的距離為.

答案:15解析:∵AD⊥CD,AD⊥BD,∴AD⊥平面BCD,且∠BDC為二面角B-AD-C的平面角,∴∠BDC=60°.以D為原點(diǎn),過點(diǎn)D作DC的垂線為x軸,DC,DA所在直線分別為y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.則D(0,0,0),A0,0,32,C0DC=0,12,0,設(shè)n=(x則n取y=3,則x=1,z=1,∴n=(1,3,1)為平面ABC的一個法向量,則點(diǎn)D到平面ABC的距離d=|DC四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知兩條直線l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,當(dāng)m為何值時,l1與l2(1)相交?(2)平行?(3)重合?解:當(dāng)m=0時,l1:x+6=0,l2:x=0,l1∥l2.當(dāng)m=2時,l1:x+4y+6=0,l2:3y+2=0,l1與l2相交.當(dāng)m≠0,且m≠2時,由1m-2=m23m得m=-故(1)當(dāng)m≠-1,且m≠3,且m≠0時,l1與l2相交.(2)當(dāng)m=-1或m=0時,l1∥l2.(3)當(dāng)m=3時,l1與l2重合.18.(12分)如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=12PD(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;(2)求平面QBP與平面PBC的夾角的余弦值.(1)證明:如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)DA=1,則D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).于是DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0).因而PQ·DQ=0,PQ即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,又DQ∩DC=D,∴PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ.(2)解:由題意得B(1,0,1),則CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1).設(shè)n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,則n因此可取平面PBC的一個法向量為n=(0,-1,-2).同理可得平面QBP的一個法向量為m=(1,1,1).設(shè)平面QBP與平面PBC的夾角為θ,則cosθ=|cos<m,n>|=m·n|m||n|19.(12分)如圖,已知圓M的圓心在第一象限,與x軸相切于點(diǎn)A(2,0),與直線y=22x相切于點(diǎn)B.(1)求圓M的方程;(2)圓M和圓x2+y2=1相交于P,Q兩點(diǎn),求線段PQ的長度.解:(1)已知圓M的圓心在第一象限,與x軸相切于點(diǎn)A(2,0),設(shè)圓心M(2,b)(b>0),則圓M的方程為(x-2)2+(y-b)2=b2,由于圓M與直線y=22x相切于點(diǎn)B,故有|22×2故圓M的方程為(x-2)2+(y-1)2=1.(2)∵圓M和圓x2+y2=1相交于P,Q兩點(diǎn),把兩個圓的方程相減,可得直線PQ的方程為22x+2y-3=0.由于點(diǎn)O到直線PQ的距離d=|0+0-3|8+4=32,故|PQ|=220.(12分)如圖,P-ABC是一個三棱錐,AB是圓的直徑,C是圓上的一點(diǎn),PC垂直于圓所在的平面,D,E分別是棱PB,PC的中點(diǎn).(1)求證:DE⊥平面PAC;(2)若二面角A-DE-C是45°,AB=PC=4,求AE與平面ACD所成角的正弦值.(1)證明:因?yàn)锳B是圓的直徑,所以BC⊥AC.因?yàn)镻C垂直于圓所在的平面,BC?平面ABC,所以BC⊥PC.又因?yàn)锳C∩PC=C,AC?平面PAC,PC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC,因?yàn)镈,E分別是棱PB,PC的中點(diǎn),所以BC∥DE,從而有DE⊥平面PAC.(2)解:由(1)可知,DE⊥平面PAC,AE,AC?平面PAC,所以DE⊥AE,DE⊥EC,所以∠AEC為二面角A-DE-C的平面角,從而有∠AEC=45°,則AC=EC=12PC=2,又BC⊥AC,AB=4,得BC=23以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB,CA,CP的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(0,2,0),E(0,0,2),B(23,0,0),P(0,0,4),D(3,0,2),所以AE=(0,-2,2),CA=(0,2,0),CD=設(shè)n=(x,y,z)是平面ACD的一個法向量,則n·CA=0,n·CD=0,即2y=0故sinθ=|cos<n,AE>|=|n·AE||n||21.(12分)已知動圓P過點(diǎn)F0,18,且與直線y=-18相切,圓心(1)求曲線C的方程;(2)若A,B是曲線C上的兩點(diǎn),且直線AB過△AOB的外心,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:直線AB過定點(diǎn).(1)解:設(shè)點(diǎn)P(x,y),則(x整理得x2=12y∴曲線C的方程為x2=12y(2)證明:由題意可知直線AB的斜率一定存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m(m≠0),