2023-2024學年江蘇省無錫市積余實驗學校九年級（上）期中數(shù)學試卷

2023-2024學年江蘇省無錫市積余實驗學校九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝0 B．2x3﹣x＝0 C．xy﹣1＝0 D．+x＝22．一元二次方程x2+x+1＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定3．如果一個一元二次方程的根是x1＝x2＝﹣3，那么這個方程可以是（）A．x2+9＝0 B．x2+6x+9＝0 C．x2＝9 D．x2﹣6x+9＝04．電影《雄兵出擊》以朝鮮戰(zhàn)爭爆發(fā)為背景，講述了中國志愿軍官兵在炮火硝煙中入朝作戰(zhàn)的歷程，展現(xiàn)了中國人民志愿軍的愛國主義精神和革命英雄主義精神，一上映就獲得全國人民的追捧，第一天票房約2億元，以后每天票房按相同的增長率增長，第三天票房為5億元，方程可以列為（）A．2（1+x）＝5 B．2（1+x）2＝5 C．2+2（1+x）2＝5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝55．已知點P與⊙O在同一平面內，⊙O的半徑為4，點P到圓心O的距離是5，則點P與⊙O的位置關系是（）A．點P在⊙Q內 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．不能確定6．下列說法中正確的命題是（）A．一個三角形只有一個外接圓 B．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧 C．過三點可以畫一個圓 D．三角形的外心到三角形的三邊距離相等7．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點M，若CD＝AM＝8cm，則直徑AB的長為（）A．12cm B．9cm C．11cm D．10cm8．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠ABC＝125°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．110° B．100° C．A20° D．125°9．如圖，半圓O的直徑AB＝8，弦CD＝4，弦CD在半圓上滑動，點C從點A開始滑動，到點D與點B重合時停止滑動，若M是CD的中點，則在整個滑動過程中線段BM掃過的面積為（）A．π B．π C．4π D．2π10．如圖，在平面直角坐標系中，點A，C，N的坐標分別為（﹣3，0），（3，0），（6，8），以點C為圓心，3為半徑畫⊙C，點P在⊙C上運動，連接AP，交⊙C于點Q，點M為線段QP的中點，連接MN，則線段MN的最小值為（）A．7 B．10 C．3 D．﹣1二、填空題（本大題共8小題，每空3分，共24分）11．關于x的方程x2＝2x的解為．12．若關于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是．13．已知圓錐的底面半徑是3cm，母線長是5cm，則圓錐的側面積為cm2．（結果保留π）14．等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關于x的方程x2﹣4x+k＝0的兩個根，則k的值為．15．如圖所示，點A、B、C是⊙O上不同的三點，點O在△ABC的內部，連接BO、CO，并延長線段BO交線段AC于點D．若∠A＝65°，∠OCD＝42°，則∠ODC＝°．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉90°后得到Rt△DCE，點B經過的路徑為，將線段AB繞點A順時針旋轉60°后，點B恰好落在CE上的點F處，點B經過的路徑為，則圖中陰影部分的面積是.（結果保留π）17．如圖，正方形ABCD的邊長是8cm，E是CD邊的中點．將該正方形沿BE折疊，點C落在點C'處．⊙O分別與AB、AD、BC'相切，切點分別為F、G、H，則⊙O的半徑為cm．18．如圖，正方形ABCD中，AB＝6，E是BC的中點．以點C為圓心，CE長為半徑畫圓，點P是⊙C上一動點，點F是邊AD上一動點，連接AP，若點Q是AP的中點，連接BF，F(xiàn)Q，則BF+FQ的最小值為．三、解答題：（本大題共9小題，共96分）19．（16分）解方程：（1）（x+1）2＝1；（2）x2+6x﹣2＝0；（3）x（x﹣3）＝5（3﹣x）；（4）x2+7x＝24+2x．20．（8分）已知關于x的一元二次方程mx2+（m+2）x+m＝0．（1）當m為何值時，方程有兩個實數(shù)根；（2）設兩個不相等的實數(shù)根分別為x1、x2，且x1＜2＜x2，求m的取值范圍．21．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線交AC的延長線于點E．（1）若∠CAB＝50°，求∠ADE的度數(shù)；（2）若AB＝10，AC＝6，求DE的長．22．關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，且一個根比另一個根小1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的兩個根是x1＝0，x2＝﹣1，則方程x2+x＝0是“鄰根方程”．（1）通過計算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：①x2﹣x﹣12＝0②x2﹣x+4＝0（2）已知關于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常數(shù)）是“鄰根方程”，求k的值．23．僅用無刻度的直尺，按要求畫圖（保留畫圖痕跡，不寫作法）．（1）如圖①，畫出⊙O的一個內接矩形；（2）如圖②，AB是⊙O的直徑，CD是弦，且AB∥CD，畫出⊙O的內接正方形．24．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O、D分別為AB、BC的中點，作⊙O與AC相切于點E，在AC邊上取一點F，使DF＝DO．（1）判斷直線DF與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）當∠A＝30°，CF＝時，求⊙O的面積．25．2023年杭州亞運會吉祥物寓意不畏艱險、積極進取、熱情好客，一開售，就深受大家的喜歡．為滿足市場需求，某超市購進一批吉祥物，進價為每個78元，第一天以每個108元的價格售出40個，為了讓更多的消費者擁有它們，從第二天起降價銷售，根據市場調查，單價每降低1元，可多售出2個．設銷售單價為x元．（1）超市從第二天起日銷售量增加個，每個可以盈利元（用含x的代數(shù)式表示）；（2）針對這種銷售情況，該商店要保證每天盈利1232元，同時又要使顧客得到實惠，那么吉祥物的銷售單價應定為多少元？26．（12分）（1）【學習心得】小宸同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD，求∠BDC的度數(shù)，若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BAC＝26°，求∠BDC的度數(shù)．小宸同學認為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：△ABD的外接圓就是以BD的中點為圓心，BD長為半徑的圓；△BCD的外接圓也是以BD的中點為圓心，BD長為半徑的圓．這樣A、B、C、D四點在同一個圓上，進而可以利用圓周角的性質求出∠BDC的度數(shù)，請運用小底的思路解決這個問題．（3）【問題拓展】①如圖3，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點H，求證：∠EFC＝∠DFC．②如圖4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，且BD＝3，CD＝1，直接寫出AD的長．27．（12分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，給出如下定義：作直線l分別交AB、AC邊于點M、N，點A關于直線l的對稱點為A，則稱A′為等腰直角△ABC關于直線l的“直角對稱點”．（點M可與點B重合，點N可與點C重合）（1）在平面直角坐標系xOy中，點A（0，4）、B（﹣4，0），直線ky＝kx+2，O'為等腰直角△AOB關于直線l的“直角對稱點”．①當k＝1時，寫出點O'的坐標；②連接BO，求BO長度的取值范圍；（2）⊙O的半徑為8，點M是⊙O上一點，以點M為直角頂點作等腰直角△MPQ，其中MP＝1，直線l與MP、MQ分別交于E、F兩點，同時M'為等腰直角△MPQ關于直線的“直角對稱點”，連接OM；當點M在⊙O上運動時，直接寫出OM'長度的最大值與最小值．2023-2024學年江蘇省無錫市積余實驗學校九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝0 B．2x3﹣x＝0 C．xy﹣1＝0 D．+x＝2【分析】利用一元二次方程定義進行解答即可．解：A、是一元二次方程，故此選項符合題意；B、未知數(shù)最高次數(shù)為3，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；C、含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】此題主要考查了一元二次方程定義，關鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．2．一元二次方程x2+x+1＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定【分析】先計算判別式的值，然后根據判別式的意義確定方程根的情況．解：Δ＝12﹣4×1＝﹣3＜0，所以方程無實數(shù)根．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．3．如果一個一元二次方程的根是x1＝x2＝﹣3，那么這個方程可以是（）A．x2+9＝0 B．x2+6x+9＝0 C．x2＝9 D．x2﹣6x+9＝0【分析】根據一元二次方程的解的定義解答即可．解：∵一元二次方程的根是x1＝x2＝﹣3，∴這個方程是（x+3）2＝0，即x2+6x+9＝0，故選：B．【點評】本題考查的是一元二次方程的解、直接開平方法解一元二次方程，掌握方程的解的定義是解題的關鍵．4．電影《雄兵出擊》以朝鮮戰(zhàn)爭爆發(fā)為背景，講述了中國志愿軍官兵在炮火硝煙中入朝作戰(zhàn)的歷程，展現(xiàn)了中國人民志愿軍的愛國主義精神和革命英雄主義精神，一上映就獲得全國人民的追捧，第一天票房約2億元，以后每天票房按相同的增長率增長，第三天票房為5億元，方程可以列為（）A．2（1+x）＝5 B．2（1+x）2＝5 C．2+2（1+x）2＝5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝5【分析】第一天為2億元，根據增長率為x得出第二天為2（1+x）億元，第三天為2（1+x）2，根據第三天為5億元，即可得出關于x的一元二次方程．解：設平均每天票房的增長率為x，根據題意得：2（1+x）2＝5．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．5．已知點P與⊙O在同一平面內，⊙O的半徑為4，點P到圓心O的距離是5，則點P與⊙O的位置關系是（）A．點P在⊙Q內 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．不能確定【分析】點在圓上，則d＝r；點在圓外，d＞r；點在圓內，d＜r（d即點到圓心的距離，r即圓的半徑）．解：∵OP＝5，⊙O的半徑為4，即d＞r，∴點P與⊙O的位置關系是點P在⊙O外，故選：C．【點評】此題考查點與圓的關系，注意：熟記點和圓的位置關系與數(shù)量之間的等價關系是解決問題的關鍵．6．下列說法中正確的命題是（）A．一個三角形只有一個外接圓 B．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧 C．過三點可以畫一個圓 D．三角形的外心到三角形的三邊距離相等【分析】根據三角形的外接圓、垂徑定理的推論、確定圓的條件、三角形的外心的概念判斷即可．解：A、一個三角形只有一個外接圓，命題正確，符合題意；B、平分弦（不是直徑）的直徑，平分這條弦所對的弧，故本選項命題錯誤，不符合題意；C、過不在同一直線上的三點可以畫一個圓，故本選項命題錯誤，不符合題意；D、三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等，故本選項命題錯誤，不符合題意；故選：A．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．7．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點M，若CD＝AM＝8cm，則直徑AB的長為（）A．12cm B．9cm C．11cm D．10cm【分析】如圖，連接OC．設OA＝OB＝OC＝r．在Rt△OCM中，利用勾股定理構建方程即可解決問題．解：如圖，連接OC．設OA＝OB＝OC＝r．∵AB⊥CD，∴CM＝MD＝CD＝4cm，在Rt△OCM中，∵OC2＝CM2+OM2，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴AB＝2OA＝10，故選：D．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．8．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠ABC＝125°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．110° B．100° C．A20° D．125°【分析】先根據圓內接四邊形的性質求出∠D，再利用圓周角定理解答．解：∵∠ABC＝125°，∴∠D＝180°﹣∠B＝55°，∴∠AOC＝2∠D＝110°．故選：A．【點評】本題利用了圓周角定理，圓內接四邊形的性質求解．9．如圖，半圓O的直徑AB＝8，弦CD＝4，弦CD在半圓上滑動，點C從點A開始滑動，到點D與點B重合時停止滑動，若M是CD的中點，則在整個滑動過程中線段BM掃過的面積為（）A．π B．π C．4π D．2π【分析】根據垂徑定理得出CM＝DM＝2，再由勾股定理的逆定理可得△COM是直角三角形，進而得出OM長，再根據旋轉可得OM旋轉的圓心角為90°，半徑OM＝2，根據扇形面積的計算方法進行計算即可．解：當點C與點A重合時，如圖，連接OM，∵點M是CD的中點，∴OM⊥CD，∴∠AMO＝90°，∴OM＝＝＝2＝CM，∴∠AOM＝45°，當CD在半圓弧上旋轉到點D與點B重合時，此時可得∠BOM′＝45°，∴∠MOM′＝90°，即弦CD在半圓上滑動，點C從點A開始滑動，到點D與點B重合時停止滑動，OM就繞著點O逆時針旋轉90°，∴OMM′＝∠OM′M＝45°，∴MM′∥AB，∴S△AMM′＝S△BMM′，∴BM掃過的面積，即不規(guī)則扇形BMM′與扇形OMM′面積相等，∴在整個滑動過程中線段BM掃過的面積為S扇形S扇形OMM′＝＝2π，故選：D．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，扇形面積的計算，掌握扇形面積的計算方法以及勾股定理的逆定理是正確解答的前提．10．如圖，在平面直角坐標系中，點A，C，N的坐標分別為（﹣3，0），（3，0），（6，8），以點C為圓心，3為半徑畫⊙C，點P在⊙C上運動，連接AP，交⊙C于點Q，點M為線段QP的中點，連接MN，則線段MN的最小值為（）A．7 B．10 C．3 D．﹣1【分析】連接CM，OM，由垂徑定理得出CM⊥QP，由直角三角形的性質得出OM＝AC＝2，進而得出點M在以O為圓心，以2為半徑的⊙O上，得出當O、M、N三點共線時，MN有最小值，由N（4，3），求出ON＝5，進而求出MN＝3，即線段MN的最小值為3．解：如圖1，連接CM，OM，∵A（﹣3，0），C（3，0），∴AC＝6，O是AC的中點，∵M是QP的中點，∴CM⊥QP，∴∠AMC＝90°，∴OM＝AC＝3，∴點M在以O為圓心，以2為半徑的⊙O上，如圖2，當O、M、N三點共線時，MN有最小值，∵N（6，8），∴ON＝10，∵OM＝5，∴MN＝ON﹣OM＝10﹣3＝7，∴線段MN的最小值為7，故選：A．【點評】本題考查了坐標與圖形的性質，掌握垂徑定理，勾股定理，兩點間的距離公式，直角三角形斜邊上中線的性質，三點共線等知識是解決問題的關鍵．二、填空題（本大題共8小題，每空3分，共24分）11．關于x的方程x2＝2x的解為x1＝0，x2＝2．【分析】首先移項，再提取公因式，即可將一元二次方程因式分解，即可得出方程的解．解：∵x2＝2x∴x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝2．故答案為：x1＝0，x2＝2．【點評】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，根據題意正確的因式分解方程是解決問題的關鍵．12．若關于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是k＜﹣．【分析】由方程沒有實數(shù)根結合根的判別式，即可得出Δ＝9+4k＜0，解之即可得出k的取值范圍．解：∵關于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0沒有實數(shù)根，∴Δ＝32﹣4×1×（﹣k）＝9+4k＜0，解得：k＜﹣．故答案為：k＜﹣．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＜0時，方程無實數(shù)根”是解題的關鍵．13．已知圓錐的底面半徑是3cm，母線長是5cm，則圓錐的側面積為15πcm2．（結果保留π）【分析】圓錐的側面積＝底面周長×母線長÷2．解：底面圓的半徑為3cm，則底面周長＝6πcm，側面面積＝×6π×5＝15π（cm2）．故答案為：15π．【點評】本題考查了圓錐的有關計算，解題的關鍵是掌握圓錐的側面面積的計算公式：圓錐的側面積＝底面周長×母線長÷2．14．等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關于x的方程x2﹣4x+k＝0的兩個根，則k的值為3或4．【分析】當3為腰長時，將x＝3代入原一元二次方程可求出k的值，將k值代入原方程可求出方程的解，利用較小兩邊之和大于第三邊可得出k＝3符合題意；當3為底邊長時，利用等腰三角形的性質可得出根的判別式Δ＝0，解之可得出k值，將k值代入原方程可求出方程的解，利用較小兩邊之和大于第三邊可得出k＝4符合題意．解：當3為腰長時，將x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，解得：k＝3，當k＝3時，原方程為x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∵1+3＝4，4＞3，∴k＝3符合題意；當3為底邊長時，關于x的方程x2﹣4x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，解得：k＝4，當k＝4時，原方程為x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，∵2+2＝4，4＞3，∴k＝4符合題意．∴k的值為3或4．故答案為：3或4．【點評】本題考查了根的判別式、一元二次方程的解、等腰三角形的性質、三角形三邊關系以及根與系數(shù)的關系，分3為腰長及3為底邊長兩種情況，求出k值是解題的關鍵．15．如圖所示，點A、B、C是⊙O上不同的三點，點O在△ABC的內部，連接BO、CO，并延長線段BO交線段AC于點D．若∠A＝65°，∠OCD＝42°，則∠ODC＝88°．【分析】根據圓周角定理求出∠BOC的讀書，再根據三角形外角定理即可得出結論．解：在⊙O中，∠BOC＝2∠A＝2×65°＝130°，∴∠ODC＝∠BOC﹣∠OCD＝130°﹣42°＝88°．故答案為：88．【點評】本題考查了圓周角定理，三角形外角定理，熟練掌握圓周角定理是本題的關鍵．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉90°后得到Rt△DCE，點B經過的路徑為，將線段AB繞點A順時針旋轉60°后，點B恰好落在CE上的點F處，點B經過的路徑為，則圖中陰影部分的面積是+.（結果保留π）【分析】根據S陰＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF計算即可．解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，∴AB＝AF＝2AC＝2，BC＝CE＝AC＝，∴S陰＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF＝+﹣＝+，故答案為：+．【點評】本題考查扇形的面積公式，旋轉變換等知識，解題的關鍵是學會用分割法求陰影部分的面積．17．如圖，正方形ABCD的邊長是8cm，E是CD邊的中點．將該正方形沿BE折疊，點C落在點C'處．⊙O分別與AB、AD、BC'相切，切點分別為F、G、H，則⊙O的半徑為2cm．【分析】連接OG，OF，OH，延長BC′交AD于點M，連接EM，利用折疊的性質和全等三角形的判定與性質得到∠BEM＝90°，了由相似三角形的判定與性質求得C′M，DM，則AM，BM可求；利用圓的切線的性質可得OH＝OF＝OG＝⊙O的半徑r，OH⊥BM，OF⊥AB，OG⊥AD，再利用S△ABM＝S△OAB+S△OBM+S△OAM，列出關于r的方程，解方程即可得出結論．解：連接OG，OF，OH，延長BC′交AD于點M，連接EM，如圖，由題意得：△BC′E≌△BCE，∴BC′＝BC＝8cm，EC′＝EC＝CD＝4cm，∠BEC′＝∠BEC．在Rt△MC′E和Rt△MDE中，，∴Rt△MC′E≌Rt△MDE（HL），∴MC′＝MD，∠C′EM＝∠DEM，∵∠BEC+∠BEC′+∠MEC′+∠DEM＝180°，∴∠BEC′+∠MEC′＝90°，即∠BEM＝90°．∵EC′⊥BM，∴△BC′E∽△EC′M，∴，∴C′M＝2，∴BM＝BC′+C′M＝10cm，MD＝C′M＝2cm，∴AM＝AD﹣MD＝8﹣2＝6（cm）．∵⊙O分別與AB，AD，BC′相切，切點分別為F，G，H，∴OH＝OF＝OG＝⊙O的半徑r，OH⊥BM，OF⊥AB，OG⊥AD，連接OA，OB，OM，∵S△ABM＝S△OAB+S△OBM+S△OAM，∴AB?AM＝AB?OF+BM?OH+AM?OG，∴8×6＝8r+10r+6r，∴r＝2cm．即⊙O的半徑為2cm．故答案為：2．【點評】本題主要考查了正方形的性質，折疊的性質，圓的有關性質，圓的切線的性質定理，三角形的面積，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，連接經過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．18．如圖，正方形ABCD中，AB＝6，E是BC的中點．以點C為圓心，CE長為半徑畫圓，點P是⊙C上一動點，點F是邊AD上一動點，連接AP，若點Q是AP的中點，連接BF，F(xiàn)Q，則BF+FQ的最小值為2﹣1．【分析】取點D關于直線AB的對稱點D′，連接OD′交AB于點P，交半圓O于點G，連BG，連CG并延長交AB于點E，則PD+PG＝PD′+PG＝D′G，從而可求出其最小值．解：取點B關于直線AD的對稱點M，連接BD、AC兩線交于點O，連接OQ，CP，MO，過O作ON⊥AB于點N，∵點Q是AP的中點，∴OQ＝CP＝×3＝，∴點Q在以O為圓心，1為半徑的⊙O上運動，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OB，∴ON＝AN＝BN＝AB＝3，∵AM＝AB＝3，∴MN＝6+3＝9，∴OM＝＝＝3，∵BF+FQ+OQ＝MF+FQ+OQ≥OM，∴當M、F、Q、O四點共線時，BF+FQ+OQ＝MF+FQ+OQ＝OM＝3的值最小，∴BF+FQ的最小值為BF+FQ＝OM﹣OQ＝3﹣．故答案為：3﹣．【點評】本題考查圓的有關性質的應用，正方形的性質，兩點之間線段最短公理的應用，勾股定理，解題的關鍵是正確確定點Q的運動軌跡．三、解答題：（本大題共9小題，共96分）19．（16分）解方程：（1）（x+1）2＝1；（2）x2+6x﹣2＝0；（3）x（x﹣3）＝5（3﹣x）；（4）x2+7x＝24+2x．【分析】（1）把方程兩邊開方得到x+1＝±1，然后解兩個一次方程即可；（2）利用配方法得到（x+3）2＝11，然后利用直接開平方法解方程；（3）先移項，再利用因式分解法把方程轉化為x﹣3＝0或x+5＝0，然后解兩個一次方程即可；（4）先把方程化為一般式，再利用因式分解法把方程轉化為x+8＝0或x﹣3＝0，然后解兩個一次方程即可．解：（1）（x+1）2＝1，x+1＝±1，所以x1＝0，x2＝﹣2；（2）x2+6x﹣2＝0，x2+6x+9＝11，（x+3）2＝11，x+3＝±，所以x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；（3）x（x﹣3）＝5（3﹣x），x（x﹣3）+5（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x+5）＝0，x﹣3＝0或x+5＝0，所以x1＝3，x2＝﹣5；（4）x2+7x＝24+2x，方程化為一般式為x2+5x﹣24＝0，（x+8）（x﹣3）＝0，x+8＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣8，x2＝3．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．20．（8分）已知關于x的一元二次方程mx2+（m+2）x+m＝0．（1）當m為何值時，方程有兩個實數(shù)根；（2）設兩個不相等的實數(shù)根分別為x1、x2，且x1＜2＜x2，求m的取值范圍．【分析】（1）根據一元二次方程的二次項系數(shù)不等于0，方程有兩個實數(shù)根，則Δ≥0列不等式組解出即可；（2）根據一元二次方程的根與相應二次函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標的關系解答即可．解：（1）∵關于x的一元二次方程mx2+（m+2）x+m＝0有兩個實數(shù)根，∴，解得m≥﹣1，且m≠0；（2）由題意，得，當﹣1＜m＜0時，二次函數(shù)y＝mx2+（m+2）x+m的圖象開口向下，∵x1＜2＜x2，∴當x＝2時，y＞0，即4m+（m+2）×2+m＞0，解得m＞，∴當＜m＜0時，兩根滿足x1＜2＜x2要求；當m＞0時，二次函數(shù)y＝mx2+（m+2）x+m的圖象開口向上，∵x1＜2＜x2，∴當x＝2時，y＜0，即4m+（m+2）×2+m＜0，解得m＜，與m＞0矛盾，舍去，綜上可得，m的取值范圍為＜m＜0．【點評】本題考查一元二次方程根的判別式，用函數(shù)觀點看一元二次方程，掌握根的判別式的作用，理解一元二次方程的根與相應二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標關系是解題的關鍵．21．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線交AC的延長線于點E．（1）若∠CAB＝50°，求∠ADE的度數(shù)；（2）若AB＝10，AC＝6，求DE的長．【分析】（1）結合角平分線和切線的性質，連接OD計算即可得解；（2）作OF⊥AC于F，如圖，利用垂徑定理得到AF＝CF＝AC＝3，在Rt△OAF中利用勾股定理計算出OF＝4，然后證明四邊形OFED為矩形，從而得到DE＝OF＝4．解：（1）連OD，如圖1，∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，∵∠CAB＝50°，∠BAC的平分線交⊙O于點D，∴，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA＝25°，∴∠ADE＝∠ODE﹣∠ODA＝65°；（2）連接OD，作OF⊥AC于F，如圖2，則AF＝CF＝AC＝3，在Rt△OAF中，OF＝＝4，∵∠OFE＝∠FED＝∠EDO＝90°，∴四邊形OFED為矩形，∴DE＝OF＝4．【點評】本題考查了切線的判定與性質：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經過切點的半徑，熟練掌握切線的性質是解答本題的關鍵．22．關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，且一個根比另一個根小1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的兩個根是x1＝0，x2＝﹣1，則方程x2+x＝0是“鄰根方程”．（1）通過計算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：①x2﹣x﹣12＝0②x2﹣x+4＝0（2）已知關于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常數(shù)）是“鄰根方程”，求k的值．【分析】（1）①利用因式分解法解方程得x1＝4，x2＝﹣3，然后根據“鄰根方程”的定義進行判斷；②利用公式法解方程，然后根據“鄰根方程”的定義進行判斷；（2）先利用因式分解法解方程得x1＝k，x2＝﹣3，再根據“鄰根方程”的定義得到k+1＝﹣3或k﹣1＝﹣3，然后分別解一次方程得到k的值．解：（1）①x2﹣x﹣12＝0，（x﹣4）（x+3）＝0，x﹣4＝0或x+3＝0，解得x1＝4，x2＝﹣3，∵x1﹣x2＝7≠1，∴方程x2﹣x﹣12＝0不是“鄰根方程”：②x2﹣x+4＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×4＝1＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝，∵x1﹣x2＝1，∴方程x2﹣x+4＝0是“鄰根方程”：（2）x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0，（x﹣k）（x+3）＝0，、x﹣k＝0或x+3＝0，解得x1＝k，x2＝﹣3，∵關于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常數(shù)）是“鄰根方程”，∴k+1＝﹣3或k﹣1＝﹣3，解得k＝﹣4或﹣2，即k的值為﹣4或﹣2．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了閱讀理解能力．23．僅用無刻度的直尺，按要求畫圖（保留畫圖痕跡，不寫作法）．（1）如圖①，畫出⊙O的一個內接矩形；（2）如圖②，AB是⊙O的直徑，CD是弦，且AB∥CD，畫出⊙O的內接正方形．【分析】（1）根據對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，畫出圓的兩條直徑，即可得到⊙O的一個內接矩形；（2）根據對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，畫出圓的一條直徑，使其與AB互相垂直，即可得到⊙O的內接正方形．解：（1）如圖所示，過O作⊙O的直徑AC與BD，連接AB，BC，CD，DA，則四邊形ABCD即為所求；（2）如圖所示，延長AC，BD交于點E，連接AD，BC交于點F，連接EF并延長交⊙O于G，H，連接AH，HB，BG，GA，則四邊形AHBG即為所求．【點評】本題主要考查了復雜作圖以及圓的性質的運用，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．24．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O、D分別為AB、BC的中點，作⊙O與AC相切于點E，在AC邊上取一點F，使DF＝DO．（1）判斷直線DF與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）當∠A＝30°，CF＝時，求⊙O的面積．【分析】（1）結論：DF是⊙O的切線．作OG⊥DF于G．連接OE．想辦法證明OG＝OE即可解決問題；（2）由FA，F(xiàn)D是⊙O的切線，推出FG＝FE，設FG＝FE＝x，由△OGD≌△DCF（AAS），推出DG＝CF＝，推出OD＝DF＝+x，由AC＝2OD，CE＝OD，推出AE＝EC＝OD＝+x，由∠A＝30°，推出CD＝OE＝，在Rt△DCF中，根據DF2＝CD2+CF2，構建方程即可解決問題．解：（1）DF是⊙O的切線．理由如下：作OG⊥DF于G．連接OE．如圖，∵BD＝DC，BO＝OA，∴OD∥AC，∴∠ODG＝∠DFC，∵∠OGD＝∠DCF＝90°，OD＝DF，∴△OGD≌△DCF（AAS），∴OG＝CD，∵AC是⊙O的切線，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE∥BC，∵OD∥CE，∴四邊形CDOE是平行四邊形，∴CD＝OE，∴OG＝OE，∴DF是⊙O的切線；（2）∵FA，F(xiàn)D是⊙O的切線，∴FG＝FE，設FG＝FE＝x，∵△OGD≌△DCF（AAS），∴DG＝CF＝，∴OD＝DF＝+x，∵AC＝2OD，CE＝OD，∴AE＝EC＝OD＝+x，∵∠A＝30°，∴CD＝OE＝，在Rt△DCF中，DF2＝CD2+CF2，∴（+x）2＝（）2+（）2，解得x＝3﹣或﹣3﹣（舍棄），∴OE＝＝．∴⊙O的面積為：π?（）2＝3π．【點評】本題考查切線的性質和判定，勾股定理，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質，切線長定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題．25．2023年杭州亞運會吉祥物寓意不畏艱險、積極進取、熱情好客，一開售，就深受大家的喜歡．為滿足市場需求，某超市購進一批吉祥物，進價為每個78元，第一天以每個108元的價格售出40個，為了讓更多的消費者擁有它們，從第二天起降價銷售，根據市場調查，單價每降低1元，可多售出2個．設銷售單價為x元．（1）超市從第二天起日銷售量增加2（108﹣x）個，每個可以盈利（x﹣78）元（用含x的代數(shù)式表示）；（2）針對這種銷售情況，該商店要保證每天盈利1232元，同時又要使顧客得到實惠，那么吉祥物的銷售單價應定為多少元？【分析】（1）利用每個吉祥物的盈利金額＝銷售單價﹣進貨單價，即可用含x的代數(shù)式表示出每個吉祥物的盈利金額；利用第二天起日銷售量增加的數(shù)量＝2×（原價﹣降價后的銷售單價），即可用含x的代數(shù)式表示出從第二天起日銷售量增加的數(shù)量；（2）利用銷售總利潤＝每個的銷售利潤×日銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．解：（1）當銷售單價定為x元時，每個吉祥物盈利（x﹣78）元，從第二天起日銷售量增加2（108﹣x）個．故答案為：2（108﹣x）；（x﹣78）．（2）根據題意得（x﹣78）[40+2（108﹣x）]＝1232，整理得：x2﹣206x+10600＝0，解得：x1＝100，x2＝106．答：吉祥物的銷售單價應定為100元或106元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及列代數(shù)式，解題的關鍵是：（1）根據各數(shù)量之間的關系，用含x的代數(shù)式表示出各數(shù)量；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．26．（12分）（1）【學習心得】小宸同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD，求∠BDC的度數(shù)，若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝45°．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BAC＝26°，求∠BDC的度數(shù)．小宸同學認為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：△ABD的外接圓就是以BD的中點為圓心，BD長為半徑的圓；△BCD的外接圓也是以BD的中點為圓心，BD長為半徑的圓．這樣A、B、C、D四點在同一個圓上，進而可以利用圓周角的性質求出∠BDC的度數(shù)，請運用小底的思路解決這個問題．（3）【問題拓展】①如圖3，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點H，求證：∠EFC＝∠DFC．②如圖4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，且BD＝3，CD＝1，直接寫出AD的長．【分析】（1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解；（2）由A、B、C、D共圓，得出∠BDC＝∠BAC；（3）先判斷出點A、F、H、E在以AH為直徑的同一個圓上，得出∠EFC＝∠DAC，同理得出∠DFC＝∠CBE，即可得出結論；（4）如圖4，作△ABC的外接圓，過圓心O作OE⊥BC于點E，作OF⊥AD于點F，連接OA、OB、OC．利用圓周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，結合