基于彈性地基梁理論的隧道隆起計算

基于彈性地基梁理論的隧道隆起計算

1隧道起落架變形的計算方法越來越多的項(xiàng)目位于地鐵隧道。井井坍塌引起的土壤位移不可避免地導(dǎo)致周圍層的移動，隧道的提升和嚴(yán)重威脅著地鐵的安全?，F(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)對地鐵隧道的變形要求及其嚴(yán)格,結(jié)構(gòu)最終絕對位移不能超過20mm,變形曲線的曲率半徑不小于15000m,相對彎曲不大于1/2500。為保護(hù)地鐵的正常營運(yùn),研究隧道隆起變形的計算方法,準(zhǔn)確預(yù)測及控制隧道位移變形成為急需解決的問題。然而,目前大多數(shù)研究人員只是進(jìn)行現(xiàn)場量測和有限元數(shù)值模擬。在計算方法方面,主要是吉茂杰、劉國彬等提出的用開挖卸荷土體位移變化來計算小變形地鐵隧道的位移,此方法認(rèn)為在小位移變形的情況下地鐵隧道變形和土層位移基本一致,應(yīng)用基底土體隆起的殘余應(yīng)力理論計算得到土體的隆起量即為隧道隆起量。本文利用Mindlin彈性半空間應(yīng)力解,以上海東方路下立交工程為背景,推導(dǎo)了基坑開挖引起隧道結(jié)構(gòu)的附加應(yīng)力情況,進(jìn)而通過彈性地基梁理論得到求算隧道隆起的定量計算方法,所得解答更趨近隧道真實(shí)情況。2《z0-d》2r2e+b/2e2+b/2e2+z0-d2+z0-d2+z0-d2+z0-22+z0-2+z0-d2+z0-22+z0-2+z0-d2+z0-22+z0-22+z0-2+z0-22+z0-22+z0-22+z0-2+z0-22+z0-22+z0-2+z0-22+z0-22+z0-2+z0-22+z0-2+z0-22+z0-2+z0-22+z0-2+z0-22+z0-2+z02+z0-2+z0-22+z0-2+z02+z0-2+z02+bti-y2+bti-2+z02+bti-2+z02+bti-2+z02+z02+bti-2+z02+bti-2+z02+z02+z02+z02+z02+z02+z02+z02+z02+bti-2+z02+z02+z02+z02+bti-2+z02+bti-2+z02+z02+z02+bti-2+z02+z02+z02+bti-2+z0計算中的基本假定為:(1)土體為均質(zhì)、彈性半空間體;(2)坑底荷載為均布荷載,大小為開挖掉的土體重力強(qiáng)度,方向向上;(3)不考慮基坑開挖的時間、空間因素;(4)不考慮隧道存在對土體附加應(yīng)力的計算影響。對于既有隧道上方基坑開挖的力學(xué)效應(yīng),理論上可認(rèn)為是在隧道附近地表以下d深度處作用向上的均布荷載p(見圖1)。在長度為l、寬度為b、夾角為θ、作用深度為d的平行四邊形均布荷載p作用下(見圖2),對于埋深為z0、縱軸線平行于均布荷載且和荷載軸線成α角的隧道,根據(jù)Mindlin基本解其中:Q——作用在土中的集中力;ν——土的泊松比。由式(1)可知,隧道上某一點(diǎn)(x,y,z0),在均布荷載中的一點(diǎn)(ξ,η)上的力pdξdη作用下引起的隧道軸線處的豎向附加應(yīng)力σz為,σz=p8π(1-ν){(1-2ν)(z0-d)∫D∫dξdηR31+3(z0-d)3∫D∫dξdηR51-(1-2ν)(z0-d)∫D∫dξdηR32+[3(3-4ν)z0(z0+d)2-3d(z0+d)?(5z0-d)]∫D∫dξdηR52+30dz0(z0+d)3∫D∫dξdηR72}(2)其中∶R1=√(x-ξ)2+(y-η)2+(z0-d)2R2=√(x-ξ)2+(y-η)2+(z0+d)2上式中各積分可分別計算如下:?dξdηR31=∫b/2-b/2∫ηctgθ+l/2ηctgθ-*5〗l/2dξdη[(x-ξ)2+(η-y)2+(z0-d)2]32∫b/2-b/2ξ-x[(η-y)2+(z0-d)2]√(ξ-x)2+(η-y)2+(z0-d)2|ηctgθ+l/2ηctgθ-l/2dη∫b/2-b/2{ηctgθ+12-x[(η-y)2+(z0-d)2]√ηctgθ+l2-x)2+(η-y)2+(z0-d)2-ηctgθ-12-x[(η-y)2+(z0-d)2]√ηctgθ-l2-x)2+(η-y)2+(z0-d)2}上式采用五節(jié)點(diǎn)高斯勒讓德積分,可得:η=b2t=2∑i=-2{ωi(b2tictgθ+l2-x)b2[(b2ti-y)2+(z0-d)2]√(b2tictgθ+l2-x)2+(b2ti-y)2+(z0-d)2-ωi(b2tictgθ-l2-x)b2[(b2ti-y)2+(z0-d)2]√(b2tictgθ-l2-x)2+(b2ti-y)2+(z0-d)2}上式中:系數(shù)?ω=[0.23690.47860.56880.47860.2369]節(jié)點(diǎn)t=[-0.9061-0.538500.53850.9062]?DdξdηR32=2∑i=-2{ωi(b2tictgθ+l2-x)b2[(b2ti-y)2+(z0-d)2]√(b2tictgθ+l2-x)2+(b2ti-y)2+(z0+d)2-ωi(b2tictgθ-l2-x)b2[(b2ti-y)2+(z0-d)2]√(b2tictgθ-l2-x)2+(b2ti-y)2+(z0+d)2}?DdξdηR51=∑j=-22∑i=-2ωj?ωil2b2[(b2sjctgθ+l2ti-x)2+(b2sj-y)2+(z0-d)2]52?DdξdηR52=∑j=-22∑i=-2ωj?ωil2b2[(b2sjctgθ+l2ti-x)2+(b2sj-y)2+(z0+d)2]52?DdξdηR72=∑j=-22∑i=-2ωj?ωil2b2[(b2sjctgθ+l2ti-x)2+(b2sj-y)2+(z0+d)2]72故有:σz=p8π(1-ν)?{(1-2ν)(z0-d)2∑i=-2[ωi(b2tictgθ+12-x)b2[(b2ti-y)2+(z0-d)2]√(b2tictgθ+l2-x)2+(b2ti-y)2+(z0-d)2ωi(b2tictgθ-12-x)b2[(b2ti-y)2+(z0-d)2]√(b2tictgθ-l2-x)2+(b2ti-y)2+(z0-d)2]+3(z0-d)32∑j=-22∑i=-2ωj?ωil2b2[(b2sjctgθ+12ti-x)2+(b2sj-y)2+(z0-d)2]52-(1-2)ν(z0-d)2∑i=-2[ωi(b2tictgθ+12-x)b2[(b2ti-y)2+(z0-d)2]√(b2tictgθ+l2-x)2+(b2ti-y)2+(z0+d)2ωi(b2tictgθ-12-x)b2[(b2ti-y)2+(z0-d)2]√(b2tictgθ-l2-x)2+(b2ti-y)2+(z0+d)2]+[3(3-4ν)z0(z0+d)2-3d(z0+d)(5z0-d)]∑j=-22∑i=-2ωj?ωil2b2[(b2sjctgθ+12ti-x)2+(b2sj-y)2+(z0+d)2]52+30dz0(z0+d)32∑j=22∑i=-2ωj?ωil2b2[(b2sjctgθ+12ti-x)2+(b2sj-y)2+(z0+d)2]52(3)上式即為求算作用在隧道軸線處的附加應(yīng)力計算公式。3隧道起落架值的求解當(dāng)隧道附加作用廣義荷載引起垂直于隧道的附加應(yīng)力時,可以將隧道縱向看作是分布荷載下的Winkler彈性地基無限長梁,因此,隧道與地層相互作用的力學(xué)方程可寫為:EΙd4S(x)dx4=-Dp+q(x)引入Winkler地基模型:地基沉降與基礎(chǔ)梁的撓曲變形協(xié)調(diào)p=kS(x),可得隧道與地層相互作用的力學(xué)方程為:EΙd4S(x)dx4+Κ?S(x)=q(x)(4)式中:EI是隧道剛度,S(x)是隧道豎向位移,K是綜合地基基床系數(shù)k與隧道外徑D的乘積,q(x)是作用在隧道上的附加分布荷載由豎向附加應(yīng)力σz乘以隧道外徑D得到。上式的求解條件為在無窮遠(yuǎn)處隧道位移S和S′轉(zhuǎn)角為零,是一個有邊值條件的四階常微分方程。直接求解該方程無論是采用解析解還是數(shù)值解都是很困難的,但可先部分得到解析解且有確定的積分常數(shù),將上式轉(zhuǎn)化為一個一階積分方程,再使用數(shù)值積分的方法便可求得最終解答。為此首先分析一集中力P0作用下的地鐵隧道,即:EΙd4S(x)dx4+Κ?S(x)=Ρ0(5)其通解為:S(x)=eλx(C1cosλx+C2sinλx)+e-λx(C3cosλx+C4sinλx)上式中:C1、C2、C3、C4為待定系數(shù);λ=4√Κ4EΙ式(3)坐標(biāo)原點(diǎn)位于集中力P0作用點(diǎn),則S(x)|x→∞=0,得C1=C2=0;由于對稱性,S′(x)|x→∞=0,得C3=C4=C;因此方程(5)得通解可寫為:S(x)=Ce-λx(cosλx+sinλx)在原點(diǎn)右側(cè)x=ε(ε為無窮小量)處將隧道切開,隧道截面上的剪力為:Q=-EΙS?(x)|x→∞=-Ρ0從而得到C=Ρ0λ2,則方程(5)的解為:S(x)=Ρ0λ2Κe-λx(cosλx+sinλx)(6)對于附加分布荷載q(x)作用下的隧道,坐標(biāo)原點(diǎn)如圖3所示,則對一點(diǎn)ξ,作用的集中荷載q(ξ)dξ,根據(jù)式(6),該荷載引起隧道上任意點(diǎn)x的位移d(x)為:dS(x)=q(ξ)λ2Κe-λ|x-ζ|(cosλ|x-ζ|+sinλ|x-ζ|)dζ對上式在隧道附加分布荷載范圍內(nèi)積分,則得到方程(4)的解為:S(x)=λ2Κ∫-∞+∞q(ξ)e-λ|x-ξ|(cosλ|x-ξ|+sinλ|x-ξ|)dξ(7)上式即為隧道隆起值的計算公式。相應(yīng)的隧道縱向曲率半徑為:ρ=S″(x)=λ3Κ∫-∞+∞q(ξ)e-λ|x-ξ|(cosλ|x-ξ|+sinλ|x-ξ|)dξ=2λ2S(x)(8)4地下區(qū)間東方路下立交工程位于東方路、世紀(jì)大道和張楊路交叉口,工程范圍為東方路沿商城路至濰坊路以北200m,全長600m,地鐵二號線上、下行隧道分別在N01段、N02段正下方穿過,夾角為45°(α),隧道頂距底板最近處為2.76m,這兩個基坑形狀近似為長26m、寬18.1m、夾角為66°(θ)的平行四邊形,開挖深度為6.5m。為減少基坑開挖引起的地鐵隧道的回彈隆起,采取了Ф850深層攪拌樁插H型鋼的SMW工法圍護(hù)、土體注漿和旋噴加固,坑內(nèi)土體開挖采用分塊分層等考慮時空效應(yīng)的施工方法。隧道的外徑為6.2m、剛度EI為6.676×107kN·m2,綜合地基基床系數(shù)k=1.0×104kN/m3(未考慮坑底土回彈)。上海地鐵隧道縱向處于彈塑性臨界狀態(tài)時對應(yīng)的曲率半徑ρ=4685m,此時λ=Κ4EΙ4=6.2×1044×6.676×1074=0.1234m-1根據(jù)式(8),得隧道縱向最大隆起值為Smax=12λ2ρ=12×0.12342×4685=7mm實(shí)測值上下行線最大隆起值分別為17.21mm、12.44mm。計算值與實(shí)測值的差異其主要原因在于前者計算中綜合地基基床系數(shù)k僅考慮基坑開挖卸荷,未考慮坑底土體回彈。如由實(shí)測值反算基床系數(shù)k(既有開挖卸荷影響又有坑底土體回彈影響),其取值范圍在2000～3000kN/m3。5不同荷載作用下隧道基床系數(shù)k(1)Mindlin公式可以得到隧道軸線處的附加應(yīng)力