應(yīng)用舉例-角度問題

應(yīng)用舉例——角度問題在浩瀚無垠的海面上，要確保輪船不迷失方向，必須要能測出輪船的航速和航向，你能利用三角形的正弦定理和余弦定理進(jìn)行測量嗎？

例1如下圖，一艘輪船從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后到達(dá)海島C．如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少的距離？（角度精確到0.1°，距離精確到0.01nmile）

分析：根據(jù)已知條件，可以先求出∠ABC，再用余弦定理算出AC，然后根據(jù)正弦定理可以算出∠CAB．解：在△ABC中，根據(jù)余弦定理，AC=√AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=√67.52+54.02-2×67.5×54.0×cos137°≈113.15∠ABC=180°-75°+32°=137°根據(jù)正弦定理，BCsin∠CAB=ACsin∠ABCsin∠CAB=BCsin∠ABCAC54.0sin137°113.15=≈0.3255所以∠CAB=19.0°75°-∠CAB=56.0°答：此船應(yīng)該沿北偏東56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile．

例2

在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前進(jìn)30m，至點C處測得頂端A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點，測得頂端A的仰角為4θ，求的大小和建筑物AE的高．√3

解：由已知可得，在△ACD中，因為sin4θ=2sin2θcos2θ

√3AC=BC=30，AD=DC=10，∠ADC=180°-4θ

根據(jù)正弦定理，=30sin（180°-4θ）10√3sin2θ所以30sin2θ=10×2sin2θcos2θ√3cos2θ=√32得2θ=30° θ=15°在Rt△ADE中，AE=ADsin60°=×=1510√3√32答：所求角θ為15°，建筑物高度為15m．

例3

我艦在敵島A南偏西50°相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島北偏西10°的方向以10海里的速度航行．問我艦需以多大速度，沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？

解：如圖，在△ABC中由余弦定理得：ABC50°10°BC2=AC2+AB2-2·AB·AC·cos∠BAC=202+122-2×12×20×cos120°=784BC=2828÷2=14（海里/小時）在△ABC中，由正弦定理得：=ACsinBBCsinAsinB==ACsinABC5√314B≈38.21°50°-38.21°=11.79°答：我艦的追擊速度為14海里/小時，艦行的方向為北偏東大約11.79°．ABC50°10°解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解．在分析解決具體問題的過程中，關(guān)鍵要分析題意，分清已知與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，并正確運用正弦定理和余弦定理解題．

在解實際問題的過程中，貫穿了數(shù)學(xué)建模的思想，其流程圖可表示為：數(shù)學(xué)模型的解畫圖形解三角形檢驗（答）數(shù)學(xué)模型實際問題的解實際問題

1.如圖，3.5m長的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在離堤足1.2m的地面上，另一端在沿堤上2.8m的地方．求堤對地面的傾斜角α．αABC解：如右圖，題目轉(zhuǎn)化為已知△ABC的三條邊，求α.由余弦定理的推論，可得2.82+1.22-3.522×2.8×1.2=≈-0.442∠ACB

≈116.23°AC2+BC2-AB22AC×BCcos∠ACB=α

=180°-∠ACB≈180°-116.23°≈63.77°

2.同步通訊衛(wèi)星在赤道上空35800km的軌道上，它每24小時繞地球一周，所以它定位于赤道上某一點的上空．如果此點與北京在同一條子午線上，北京的緯度是北緯39°54′，求在北京觀察此衛(wèi)星的仰角（取地球半徑是6400km）？分析：根據(jù)題意，可以畫出如下圖形BCA解：在△ABC中，根據(jù)余弦定理BCAAC=√AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=√422002+64002-2×42200×6400×cos39°54′＝37515.44（km）64002+37515.442-4220022×6400×37515.44=≈-0.6924∠BAC

≈133.82°AB2+AC2-BC22AB×ACcos∠BAC=∠BAC-90°≈43.82°某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O(如圖)的東偏南θ(cosθ=)方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動．臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大．問幾小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲？受到臺風(fēng)的侵襲時間有多少小時？√210解：設(shè)經(jīng)過t小時臺風(fēng)中心移動到Q點時，臺風(fēng)邊沿恰經(jīng)過O城，由題意可得：OP=300，PQ=20t，OQ=r(t)=60+10t√210∵cosθ=，α=θ-45°，∴sinθ=

，cosα=

7√210