兩個(gè)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)

兩個(gè)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)

0多個(gè)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)隨機(jī)事件的獨(dú)立性是一個(gè)重要的評(píng)估因素的一個(gè)重要概念，它不僅在理論上對(duì)實(shí)踐具有重要的價(jià)值。然而，僅僅通過(guò)事件的相互獨(dú)立來(lái)判斷事件是否相互獨(dú)立，尤其是在多起事件上。因此，研究相互獨(dú)立事件的性質(zhì)，并評(píng)估事件的相互獨(dú)立性非常重要。一般來(lái)說(shuō)，本書(shū)只提供兩個(gè)事件的獨(dú)立定義和性質(zhì)，而對(duì)幾個(gè)事件的定義僅提供相互獨(dú)立和兩部分獨(dú)立的定義。本文以兩個(gè)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)為基礎(chǔ)，介紹了幾個(gè)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)。1事件的類型ab定義1:設(shè)(Ω,R,P)為一概率空間,若,A∈R,B∈R,若P(AB)=P(A)·P(B),則稱事件A,B相互獨(dú)立.性質(zhì)1:若事件A,B相互獨(dú)立,則下列三對(duì)事件:ˉAAˉˉˉ,B;A,ˉBBˉˉˉ;ˉAAˉˉˉ,ˉBBˉˉˉ;亦相互獨(dú)立.該性質(zhì)的證明可見(jiàn)參考書(shū)目(1),本文不再贅述.2abcp-ab定義2:設(shè)(Ω,R,P)為一概率空間,A∈R、B∈R、C∈R,若A、B、C滿足以下四個(gè)等式:則稱事件A、B、C相互獨(dú)立.若A、B、C僅滿足前三個(gè)等式,則稱事件A、B、C兩兩獨(dú)立.性質(zhì)2:若事件A、B、C相互獨(dú)立,則下列23-1組事件:ˉAAˉˉˉ、B、C;A、ˉBBˉˉˉ、C;A、B、ˉCCˉˉˉ;ˉAAˉˉˉ、ˉBBˉˉˉ、C;ˉAAˉˉˉ、B、ˉCCˉˉˉ;A、ˉBBˉˉˉ、ˉCCˉˉˉ;ˉAAˉˉˉ、ˉBBˉˉˉ、ˉCCˉˉˉ亦相互獨(dú)立.證明:(1)首先證明前六組事件相互獨(dú)立,不妨以證明ˉAAˉˉˉ、B、C相互獨(dú)立為例.由于事件A、B、C相互獨(dú)立,必兩兩獨(dú)立.再由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的性質(zhì)可得,ˉAAˉˉˉ、B、C必兩兩獨(dú)立.又因?yàn)棣?ˉABC)=Ρ(BC-A)=Ρ(BC)-Ρ(ABC)P(AˉˉˉBC)=P(BC?A)=P(BC)?P(ABC),再根據(jù)A、B、C相互獨(dú)立可得:Ρ(ˉABC)=Ρ(B)Ρ(C)-Ρ(A)Ρ(B)Ρ(C)=Ρ(ˉAΡ(B)Ρ(C)P(AˉˉˉBC)=P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)=P(AˉˉˉP(B)P(C)故事件ˉAAˉˉˉ、B、C相互獨(dú)立.同理可證A、ˉBBˉˉˉ、C;A、B、ˉC亦相互獨(dú)立.(2)證明事件ˉA、ˉB、ˉC相互獨(dú)立由于A、B、C兩兩獨(dú)立及兩個(gè)事件相互獨(dú)立的性質(zhì)可得,ˉA、ˉB、ˉC必兩兩獨(dú)立.又因?yàn)棣?ˉAˉBˉC)=Ρ(ˉA∪B∪C)=1-Ρ(A∪B∪C)=1-P(A)-P(B)-P(C)+P(BC)+P(AB)+P(AC)-P(ABC)=Ρ(ˉA)-Ρ(B∪C)+Ρ(AB∪AC)再根據(jù)A、B、C相互獨(dú)立可得Ρ(ˉAˉBˉC)=Ρ(ˉA)-Ρ(B∪C)+Ρ(A)Ρ(B∪C)=Ρ(ˉA)[1-Ρ(B∪C)]=Ρ(ˉA)Ρ(ˉB∪C)=Ρ(ˉA)Ρ(ˉBˉC)=Ρ(ˉA)Ρ(ˉB)Ρ(ˉC)故事件ˉAˉBˉC相互獨(dú)立.性質(zhì)3:若事件A、B、C相互獨(dú)立,則其中任兩個(gè)事件的并、差、交必與另一個(gè)事件相互獨(dú)立.證明:(1)證明任兩個(gè)事件之并與第三個(gè)事件相互獨(dú)立,不妨以證明A∪B與C相互獨(dú)立為例.由于P[(A∪B)C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)再根據(jù)A、B、C相互獨(dú)立,可得P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(C)[P(A)+P(B)-P(AB)]=P(C)P(A∪B))故事件A∪B與C相互獨(dú)立.同理可證:事件A∪C與B相互獨(dú)立,B∪C與A相互獨(dú)立.(2)證明任兩個(gè)事件之差與第三個(gè)事件相互獨(dú)立,不妨以證明A-B與C相互獨(dú)立為例.由于Ρ[(A-B)C]=Ρ(AˉBC)=Ρ(A)+Ρ(ˉB)Ρ(C)=Ρ(A-B)Ρ(C)故事件A-B與C相互獨(dú)立.同理可證:事件A-C與B相互獨(dú)立,B-C與A相互獨(dú)立.(3)證明任兩個(gè)事件之交與第三個(gè)事件相互獨(dú)立,不妨以證明AB與C相互獨(dú)立為例.由于P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)故事件AB與C相互獨(dú)立.同理可證:事件AC與B相互獨(dú)立,BC與A相互獨(dú)立.3aaa定義3:設(shè)(Ω,R,P)為一概率空間Ai∈R(i=1,2,…,n),若A1,A2,…,An滿足對(duì)任意s(1<s≤n)及任意ik(k=1、2、…s,1≤i1<i2<…<is≤n)有Ρ(s∩k=1Aik=s∏k=1Ρ(Aik),則稱事件A1,A2,…An相互獨(dú)立.性質(zhì)4:若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則下列2n-1組事件:Ai1?Aik-1ˉAikAik+1?Ain(1≤ik≤n);Ai1?ˉAik1?ˉAik2?Ain(1≤ik1<ik2≤n);Ai1?ˉAik1?ˉAik2?ˉAik3?Ain(1≤ik1<ik2<ik3≤n);…;ˉA1ˉA2…ˉAn亦相互獨(dú)立.(注:Ai1?Aik-1ˉAikAik+1?Ain(1≤ik≤n)相互獨(dú)立,表示C1n組事件相互獨(dú)立;Ai1?ˉAik1?ˉAik2?Ain(1≤ik1<ik2≤n)相互獨(dú)立,表示C2n組事件相互獨(dú)立;Ai1?ˉAik1?ˉAik2?ˉAik3?Ain(1≤ik1<ik2<ik3≤n)相互獨(dú)立,表示C3n相互獨(dú)立,ˉA1ˉA2…ˉAn相互獨(dú)立,表示Cnn組事件相互獨(dú)立,故若A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則有22-1組事件相互獨(dú)立.)下面利用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)性質(zhì)4加以證明,顯然當(dāng)n=3時(shí)結(jié)論成立,設(shè)結(jié)論對(duì)n-1成立,現(xiàn)證結(jié)論對(duì)n成立.證明:(1)證明前C1n+C2n組事件Ai1?Aik-1ˉAikAik+1?Ain(1≤ik≤n)相互獨(dú)立,不妨以證明ˉAi1Ai2…Ain相互獨(dú)立為例.由于結(jié)論對(duì)n-1成立,所以ˉAi1Ai2…Ain中任n-1個(gè)事件相互獨(dú)立.又因?yàn)棣?ˉAi1Ai2?Ain)=Ρ(Ai2?Ain-Ai1)=Ρ(Ai2?Ain)-Ρ(Ai1Ai2?Ain)再根據(jù)A1,A2,…An相互獨(dú)立,可得Ρ(ˉAi1Ai2?Ain)=Ρ(Ai2?Ain)-Ρ(Ai1)Ρ(Ai2?Ain)=Ρ(Ai2?Ain)Ρ(ˉAi1)=Ρ(ˉAi1)n∏k=2Ρ(Aik)故事件ˉAi1Ai2…Ain相互獨(dú)立.同理可證:Ai1?ˉAik?Ain(1≤ik≤n)相互獨(dú)立.(2)證明事件ˉA1ˉA2…ˉAn相互獨(dú)立.由于結(jié)論對(duì)n-1成立,所以ˉA1ˉA2…ˉAn中任n-1個(gè)事件相互獨(dú)立.又因?yàn)棣?ˉA1ˉA2?ˉAn)=Ρ(ˉA1ˉA2?ˉAn-1-An)=Ρ(ˉA1ˉA2?ˉAn-1)-Ρ(ˉA1ˉA2?ˉAn-1An)=Ρ(ˉA1ˉA2?ˉAn-1)-Ρ(ˉA1ˉA2?ˉAn-1)Ρ(An)故事件ˉA1ˉA2…ˉAn相互獨(dú)立.性質(zhì)5:若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則其中任i(2≤i≤n-1)個(gè)事件之并及交必與其余n-1個(gè)事件相互獨(dú)立;其中任兩個(gè)事件之差必與其余n-2個(gè)事件相互獨(dú)立.證明:(1)證明中任A1,A2,…,An中任i(2≤i≤n-1)個(gè)事件之并必與其余n-1個(gè)事件相互獨(dú)立,不妨以證明B=i∪k=1AΚ與AI+1…An相互獨(dú)立為例.首先證明B與Ai+1…An兩兩獨(dú)立.利用概率的多除少補(bǔ)性質(zhì)及A1,A2,…,An相互獨(dú)立的定義,可得Ρ(BAj)=Ρ(i∪k=1AΚAj)=i∑Κ=1Ρ(AkAj)-∑1≤k1<k2≤iΡ(Ak1Ak2Aj)+∑1≤k1<k2<k3≤nΡ(Ak1Ak2Ak3Aj)-?+(-1)iΡ(A1A2?AiAj)=Ρ(Aj)[i∑k=1Ρ(Ak)-∑1≤k1<k2≤iΡ(Ak1Ak2)+∑1≤k1<k2<k3≤iΡ(Ak1Ak2Ak3)-?+(-1)iΡ(A1A2?Ai)]=Ρ(Aj)Ρ(i∪k=1AΚ)=Ρ(Aj)Ρ(B)(j=i+1,?,n)故事件B=i∪k=1AΚ與Ai+1…An兩兩獨(dú)立.同理可證:A1,A2,…,An中任i(2≤i≤n-1)個(gè)事件之并與其余n-1個(gè)事件兩兩獨(dú)立.然后證明B,Ai+1,…,An中任三個(gè)事件相互獨(dú)立.由于Ai+1…An相互獨(dú)立,所以其中任三個(gè)事件也相互獨(dú)立,現(xiàn)只要證B與Ai+1…An中任兩個(gè)事件相互獨(dú)立即可.不妨以證明B與Aj1、Aj2(i<j1<j2≤n)相互獨(dú)立為例.利用概率的多除少補(bǔ)性質(zhì)及A1,A2,…,An相互獨(dú)立的定義,可得Ρ(BAj1Aj2)=Ρ(i∪k=1AΚAj1Aj2)=i∑k=1Ρ(AkAj1Aj2)-∑1≤k1<k2≤iΡ(Ak1Ak2Aj1Aj2)+∑1≤k1<k2<k3≤iΡ(Ak1Ak2Ak3Aj1Aj2)-?+(-1)iΡ(A1A2?AiAj1Aj2)=Ρ(Aj1)Ρ(Aj2)[i∑k=1Ρ(Ak)-∑1≤k1<k2≤iΡ(Ak1Ak2)+∑1≤k1<k2<k3≤iΡ(Ak1Ak2Ak3)-?(-1)iΡ(A1A2?Ai)]=Ρ(Aj1)Ρ(Aj2)Ρ(i∪k=1AΚ)=Ρ(B)Ρ(Aj1)Ρ(Aj2)又由于B與Aj1、Aj2兩兩獨(dú)立,所以B與Aj1、Aj2相互獨(dú)立.同理可證:A1,A2,…,An中任i個(gè)事件之并與其余n-1個(gè)事件中的任三個(gè)事件相互獨(dú)立.顯然我們用類似的方法可證得B=i∪k=1AΚ與Aj1,Aj2,…,Ajn-1(i<j1<j2<…<jn-1≤n)中任四個(gè)事件,任五個(gè)事件相互獨(dú)立,…,乃至Aj1,Aj2,…,Ajn-1相互獨(dú)立.同理可證:A1,A2,…,An中任i個(gè)事件之并與其余n-i個(gè)事件相互獨(dú)立.(2)證明A1,A2,…,An中任兩個(gè)事件之差與其余n-2個(gè)事件相互獨(dú)立.不妨以證明B=A1-A2與A3,…,An相互獨(dú)立為例.由于B=A1=A2=A1ˉA2,根據(jù)性質(zhì)4可知A1ˉA2與A3,…,An相互獨(dú)立.同理可得A1,A2,…,An中任兩個(gè)事件之差與其余n-2個(gè)事件相互獨(dú)立.(3)證明A1,A2,…,An中任i個(gè)事件之交與其余n-i個(gè)事件相互獨(dú)立.由n個(gè)事件相互獨(dú)立的定義,顯而易見(jiàn)若A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則其中任i個(gè)事件之交與其余n-i個(gè)事件相互獨(dú)立.4事件相互獨(dú)立的性質(zhì)從下面的例題中我們可見(jiàn)利用相互獨(dú)立事件的性質(zhì)判斷某些事件的獨(dú)立性將是很方便的.例如1998年全國(guó)碩士研究生入