amuacarlo上半格序廣義逆半群

amuacarlo上半格序廣義逆半群

1廣義逆半群的擬合半群稀疏理論仍然是最活躍的代數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域之一。自然序列在研究半群理論方面發(fā)揮著重要作用。著名的代數(shù)學(xué)家d.b.mcalister將反演集的自然序列推廣到反演集（左、右）中，并給出了反演集的（左、右）amanable序列的定義。在這項(xiàng)工作中，我們研究了廣義半部分的半格序和廣義半部分的半部分。設(shè)S是正則半群,若S中的冪等元集E(S)滿足E(S)≤S,則稱(S,·)為純正半群;若E(S)是正規(guī)帶,即?x,y,z,w∈E(S),xyzw=xzyw,則稱(S,·)為廣義逆半群;若E(S)是半格,則稱(S,·)為逆半群;若E(S)是右正規(guī)帶,即?x,y,z∈E(S),xyz=yxz,則稱(S,·)為右正規(guī)純正半群;類似的,若E(S)是左正規(guī)帶,即?x,y,z∈E(S),xyz=xzy,則稱(S,·)為左正規(guī)純正半群.設(shè)(S,·)為逆半群.若?a∈S都有aa-1=a-1a成立,則稱S為Clifford半群.設(shè)S為半群.如果S上存在偏序關(guān)系≤使得?a,b∈S和x,y∈S1,a≤b?xay≤xby,那么稱(S,·,≤)為偏序半群.1.1最大界ab設(shè)(S,·,≤)是偏序半群,若它滿足(1)?a,b∈S,a和b在偏序≤下的最小上界(最大下界)存在,記a和b的最小上界為a∨b(最大下界為a∧b);(2)S滿足分配律:?a,b,c∈S,a(b∨c)=ab∨ac,(a∨b)c=ac∨bc(a(b∧c)=ab∧ac,(a∧b)c=ac∧bc),則稱(S,·,∨)((S,·,∧))在給定偏序≤下為上(下)半格序半群.若S在給定偏序下既是上半格序半群也是下半格序半群,則稱S在給定偏序下為格序半群,記為(S,∨,∧,·).1.2自然偏序若S是正則半群,其中E(S)是S的冪等元集,則S上的自然偏序?是指?a,b∈S,a?b?(?e,f∈E(S))a=eb=bf.然而,若S是逆半群,則S上的自然偏序?是指?a,b∈S,a?b?(?e∈E(S))a=eb.1.3s,,,amoabcffford半群著名的代數(shù)學(xué)者D.B.McAlister將逆半群上的自然偏序進(jìn)行了推廣,給出了逆半群上的(左.右)amenable序的定義.設(shè)(S,·,≤)是偏序逆半群,如果給定偏序≤是自然偏序?的擴(kuò)張,即??≤,并且?a,b∈S,a≤b?a-1a?b-1b(aa-1?bb-1),那么稱≤為S上的左(右)amenable序,于是(S,·,≤)為左(右)amenable.序逆半群.若≤既是左amenable序,又是右amenable序,則稱≤是S上的amenable序.于是(S,·,≤)為amenable序逆半群.相應(yīng)的也有amenable序Clifford半群的概念.設(shè)(S,·,≤)是amenable序逆半群,若在給定的偏序≤下,(S,·,∨)為上半格序半群,則稱(S,·,∨)為amenable上半格序逆半群.設(shè)(S,·,≤)是amenable序逆半群.若在該偏序下(S,·,∨,∧)為格序半群,則稱(S,·,∨,∧)為amenable格序逆半群.相應(yīng)的也有amenable格序Clifford半群的概念.文獻(xiàn)給出了正則半群S上的amenable序的概念.正則半群S上的偏序≤是amenable序,如果它滿足(1)≤與S中的乘法相容;(2)≤與自然偏序?在冪等元集上的限制是一致的,即≤|E(S)=?|E(S);(3)?a,b∈S,a?b?a∈bS∩Sb.本文則是給正則半群中的純正半群,裝上amenable上半格序,并對其進(jìn)行了研究,得出了一些有趣的結(jié)果.2efb文獻(xiàn)中的定理表明,若S是純正半群,給它裝上amenable序后,它就是廣義逆半群.定義1設(shè)(S,·,≤)是偏序廣義逆半群,其中≤為S上的amenable序.若在給定的偏序≤下,(S,·,∨)是上半格序半群,則稱(S,·,∨)為amenable上半格序廣義逆半群.定理1設(shè)S是右正規(guī)純正半群,若(S,·,∨)在給定的amenable序≤下為上半格序半群,則(S,·)為逆半群.證明因?yàn)镾是右正規(guī)純正半群,于是它的冪等元集E(S)是右正規(guī)帶,要證明(S,·)為逆半群,只需證明(E(S),·)為半格,即?e,f∈E(S),ef=fe.(1)證明e∨f∈E(S).因?yàn)?S,·,∨)在給定的amenable序≤下為上半格序半群,于是,?e,f∈E(S),(e∨f)(e∨f)=(e∨f)e∨(e∨f)f=e∨fe∨ef∨f,又由于fe?e,ef?f.這是因?yàn)閑f,fe∈E(S),且E(S)是右正規(guī)帶,則fe=fee=efe,同理可證得ef=eff=fef.又因?yàn)樵趦绲仍稀??,于是有fe≤e,ef≤f,則(e∨f)(e∨f)=e∨f,于是e∨f∈E(S).(2)證明(E(S),·)為半格.因?yàn)閑≤e∨f,則有e?e∨f,于是e=e(e∨f)=e∨ef,則ef?e,從而ef=efe,(1)又由e=(e∨f)e=e∨fe,可以得到fe?e,即有fe=efe,(2)由式(1)與(2)得ef=fe,于是(E(S),·)為半格.所以(S,·)為逆半群.定理1證畢.定理2設(shè)S是左正規(guī)純正半群,若(S,·,∨)在給定的amenable序≤下為上半格序半群,則(S,·)為逆半群.定理3設(shè)S是純正半群,若(S,·,∨)在給定的amenable序≤下為上半格序半群,則(S,·)為逆半群.證明因?yàn)镾是純正半群,于是它的冪等元集E(S)為正規(guī)帶.要證明(S,·)為逆半群,只需證明(E(S),·)為半格,即?e,f∈E(S),ef=fe.(1)證明e∨f∈E(S).因?yàn)?S,·,∨)在給定的amenable序≤下為上半格序半群,于是?e,f∈E(S),(e∨f)(e∨f)=(e∨f)e∨(e∨f)f=e∨fe∨ef∨f即(e∨f)(e∨f)≥e∨f.(3)又因?yàn)閑≤e∨f,于是e∈(e∨f)S∩S(e∨f),則?u,v∈S,e=(e∨f)u=v(e∨f),于是V(e)=V(v(e∨f)).因?yàn)镾是純正半群,由文獻(xiàn)定理6.2.1,就有V(e∨f)V(v)?V(e),即?e-1∈V(e),(e∨f)-1∈V(e∨f),v-1∈V(v)),使得e-1=(e∨f)-1v-1,所以e-1e=(e∨f)-1v-1v(e∨f),則(e∨f)-1(e∨f)e-1e=(e∨f)-1(e∨f)(e∨f)-1v-1v(e∨f)=(e∨f)-1v-1v(e∨f)=e-1e即(e∨f)-1(e∨f)e-1e=e-1e,(4)由e=v(e∨f),得到e(e∨f)-1(e∨f)=v(e∨f)(e∨f)-1(e∨f)=v(e∨f)=e,則e-1e=e-1e(e∨f)-1(e∨f).(5)由式(4)與(5)可得e-1e≤(e∨f)-1(e∨f).進(jìn)一步有(e∨f)e-1e≤(e∨f).又因?yàn)?e∨f)e-1e=e∨fe-1e=e∨fe-1ee=e∨fee-1e,因?yàn)閑-1∈E(S),所以(e∨f)e-1e=e∨fe=(e∨f)e,從而(e∨f)e≤e∨f,(6)同理可得(e∨f)f≤e∨f.(7)由式(6)與(7)得到(e∨f)e∨(e∨f)f≤e∨f.于是(e∨f)(e∨f)≤e∨f.(8)由式(3)與(8)得(e∨f)(e∨f)=e∨f.(2)證明(E(S),·)是半格.因?yàn)?e,f∈E(S)),e≤e∨f即e?e∨f,于是有e=e(e∨f)=(e∨f)e,由e=e(e∨f)=e∨ef,則ef?e,于是ef=efe.(9)又由e=(e∨f)e=e∨fe,得到fe?e,于是fe=efe.(10)由式(9)與(10)可得到ef=fe.于是(E(S),·)是半格,所以(S,·)是逆半群.定理3證畢.amenable上半格序廣義逆半群就是amenable上半格序逆半群.結(jié)合文獻(xiàn)與文獻(xiàn)中的結(jié)論得到了一些有趣的結(jié)果.引理1設(shè)S是左amenable序逆半群,其中≤擴(kuò)充了自然偏序.若在≤下S是上半格半群,則S是格序半群,并且?a,b∈S都有(a∨b)-1(a∨b)=a-1a∨b-1b和(a∧b)-1(a∧b)=a-1a∧b-1b成立.更進(jìn)一步,S的冪等元集是分配格.定理4若S是amenbale上半格序廣義逆半群,則S是格序半群.更進(jìn)一步S的冪等元集E(S)是分配格.引理2若S是amenable格序逆半群,其中偏序≤擴(kuò)充了自然偏序,則S在偏序≤下是分配格.文獻(xiàn)中的定理5.20和定理5.25表明了左amenbale上半格序逆半群一定是amenable格序clifford半群.又因?yàn)閍menable格序clifford半群是amenable格序逆半群,結(jié)合引理2可以得到定