人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))同步講義第28講 4.5.2用二分法求方程的近似解（原卷版）

第06講4.5.2用二分法求方程的近似解課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解運(yùn)用二分法逼近方程近似解的數(shù)學(xué)思想。②了解二分法只能用于求變號(hào)零點(diǎn)的方法。③借助數(shù)學(xué)工具用二分法求方程的近似解。④能解決與方程近似解有關(guān)的問(wèn)題。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)用二分法進(jìn)行簡(jiǎn)單方程近似解的求解，并能根據(jù)題的要求，解決與二分法相關(guān)的參數(shù)問(wèn)題的處理。知識(shí)點(diǎn)01：區(qū)間中點(diǎn)對(duì)于區(qū)間SKIPIF1<0，其中點(diǎn)SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)02：二分法1、二分法的概念對(duì)于在區(qū)間SKIPIF1<0上圖象連續(xù)不斷且SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0，通過(guò)不斷的把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法（bisection)【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列圖象中，不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】根據(jù)零點(diǎn)存在定理，對(duì)于A，在零點(diǎn)的左右附近，函數(shù)值不改變符號(hào)，所以不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn).故選：A．2、用二分法求零點(diǎn)的近似值給定精確度SKIPIF1<0，用二分法求函數(shù)SKIPIF1<0零點(diǎn)SKIPIF1<0的近似值的一般步驟如下：（1）確定零點(diǎn)SKIPIF1<0的初始區(qū)間SKIPIF1<0，驗(yàn)證SKIPIF1<0；（2）求區(qū)間SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0（3）計(jì)算SKIPIF1<0;①若SKIPIF1<0（此時(shí)SKIPIF1<0)，則SKIPIF1<0就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若SKIPIF1<0（此時(shí)SKIPIF1<0)，則令SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0（此時(shí)SKIPIF1<0)，則令SKIPIF1<0；（4）判斷是否達(dá)到精確度SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則得到零點(diǎn)近似值SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)，否則重復(fù)2--4【即學(xué)即練2】（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的表達(dá)式為SKIPIF1<0，用二分法計(jì)算此函數(shù)在區(qū)間SKIPIF1<0上零點(diǎn)的近似值，第一次計(jì)算SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，第二次計(jì)算SKIPIF1<0的值，第三次計(jì)算SKIPIF1<0的值，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)，故SKIPIF1<0為區(qū)間SKIPIF1<0的中點(diǎn)值，因此，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型01二分法概念的理解【典例1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值適合于（

）A．變號(hào)零點(diǎn) B．不變號(hào)零點(diǎn)C．都適合 D．都不適合【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)圖象與x軸都有公共點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（

）A． B．C． D．【典例3】（多選）（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡梅溪湖中學(xué)?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中，能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2023春·全國(guó)·高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)一定能用“二分法”求其零點(diǎn)的是（

）A．SKIPIF1<0（k，b為常數(shù)，且SKIPIF1<0）B．SKIPIF1<0（a，b，c為常數(shù)，且SKIPIF1<0）C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，k為常數(shù)）【變式3】（2023·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)圖象均與SKIPIF1<0軸有交點(diǎn)，其中能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是題型02確定零點(diǎn)（根）所在區(qū)間【典例1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點(diǎn)必屬于區(qū)間（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)SKIPIF1<0，對(duì)區(qū)間SKIPIF1<0利用兩次“二分法”，可確定SKIPIF1<0所在的區(qū)間為．【典例3】（2023秋·山東濟(jì)寧·高一?？计谀┮阎x在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，若在SKIPIF1<0內(nèi)關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則SKIPIF1<0的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2023春·江蘇宿遷·高一校考期中）用二分法求方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的近似解，已知SKIPIF1<0判斷，方程的根應(yīng)落在區(qū)間（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用二分法求函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用二分法求方程SKIPIF1<0近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型03用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值【典例1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）某同學(xué)在用二分法研究函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)時(shí)，．得到如下函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)：x11.251.3751.406251.43751.5SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00.05670.14600.3284則下列說(shuō)法正確的是（

）A．1.25是滿(mǎn)足精確度為0.1的近似值 B．1.5是滿(mǎn)足精確度為0.1的近似值C．1.4375是滿(mǎn)足精確度為0.05的近似值 D．1.375是滿(mǎn)足精確度為0.05的近似值【典例2】（多選）（2023秋·高一單元測(cè)試）某同學(xué)求函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)時(shí)，用計(jì)算器算得部分函數(shù)值如表所示：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則方程SKIPIF1<0的近似解（精確度SKIPIF1<0）可取為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法求函數(shù)SKIPIF1<0的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0據(jù)此數(shù)據(jù)，可知SKIPIF1<0的一個(gè)零點(diǎn)的近似值可取為（誤差不超過(guò)0.005）．【變式1】（2023春·江蘇南通·高一?？计谀┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0的部分函數(shù)值如下表所示：那么函數(shù)SKIPIF1<0的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1）為（

）x10.50.750.6250.5625SKIPIF1<00.6321SKIPIF1<00.27760.0897SKIPIF1<0A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0那么方程的一個(gè)近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【變式3】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州市廣陵區(qū)紅橋高級(jí)中學(xué)校考期中）用二分法求方程的近似解，求得SKIPIF1<0的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：SKIPIF1<0121.51.6251.751.8751.8125SKIPIF1<0-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793則當(dāng)精確度為0.1時(shí)，方程SKIPIF1<0的近似解可取為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型04二分法的過(guò)程【典例1】（2023春·江蘇宿遷·高一?？计谥校┯枚址ㄇ蠓匠蘏KIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的近似解，已知SKIPIF1<0判斷，方程的根應(yīng)落在區(qū)間（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用二分法求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí)，精度為0.001，則經(jīng)過(guò)一次二分就結(jié)束計(jì)算的條件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零點(diǎn)，用二分法求零點(diǎn)的近似值（精確度小于0.1）時(shí)，至少需要進(jìn)行次函數(shù)值的計(jì)算.【變式1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，要使零點(diǎn)的近似值的精確度為0.001，若只從二等分區(qū)間的角度來(lái)考慮，則對(duì)區(qū)間SKIPIF1<0至少需要二等分（

）A．8次 B．9次 C．10次 D．11次【變式2】（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的表達(dá)式為SKIPIF1<0，用二分法計(jì)算此函數(shù)在區(qū)間SKIPIF1<0上零點(diǎn)的近似值，第一次計(jì)算SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，第二次計(jì)算SKIPIF1<0的值，第三次計(jì)算SKIPIF1<0的值，則SKIPIF1<0．【變式3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用“二分法”研究函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算SKIPIF1<0，可知必存在零點(diǎn)SKIPIF1<0，則第二次應(yīng)計(jì)算，這時(shí)可以判斷零點(diǎn)SKIPIF1<0．A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·吉林·高一吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谀┖瘮?shù)SKIPIF1<0的圖象是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，在用二分法求方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)近似解的過(guò)程中可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則方程的解所在區(qū)間為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．不能確定2．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表：x00.50.531250.56250.6250.751SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00.0660.2150.5121.099由二分法，方程SKIPIF1<0的近似解（精確度為0.05）可能是（

）A．0.625 B．SKIPIF1<0 C．0.5625 D．0.0663．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用二分法求函數(shù)SKIPIF1<0的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（誤差不超過(guò)SKIPIF1<0）時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，關(guān)于下一步的說(shuō)法正確的是（）A．已經(jīng)達(dá)到對(duì)誤差的要求，可以取SKIPIF1<0作為近似值B．已經(jīng)達(dá)到對(duì)誤差的要求，可以取SKIPIF1<0作為近似值C．沒(méi)有達(dá)到對(duì)誤差的要求，應(yīng)該接著計(jì)算SKIPIF1<0D．沒(méi)有達(dá)到對(duì)誤差的要求，應(yīng)該接著計(jì)算SKIPIF1<04．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）用二分法研究函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第二次應(yīng)計(jì)算SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．0.25 D．0.755．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在用“二分法”求函數(shù)SKIPIF1<0零點(diǎn)近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為SKIPIF1<0，則第三次所取區(qū)間可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023春·全國(guó)·高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023春·福建福州·高一福州三中?？计谥校┯枚址ㄇ蠛瘮?shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點(diǎn),要求精確度為SKIPIF1<0時(shí),所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在使用二分法計(jì)算函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)的近似解時(shí)，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為SKIPIF1<0，如果要求近似解的精確度為0.1，則接下來(lái)至少需要計(jì)算（

）次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值．A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題9．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在用二分法求函數(shù)SKIPIF1<0的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的一個(gè)誤差不超過(guò)SKIPIF1<0的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)可以為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．S