專題10拋物線及其方程（重難點突破）

專題10拋物線及其方程考點一：拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．知識點詮釋:（1）上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定直線；一個定值（2）定義中的隱含條件：焦點F不在準線上，若F在上，拋物線變?yōu)檫^F且垂直與的一條直線.（3）拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關(guān)系，在解題時常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準線的距離互化，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化.考點二：拋物線的標準方程拋物線標準方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，。知識點詮釋：①只有當(dāng)拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標軸時，才能得到拋物線的標準方程；②拋物線的焦點在標準方程中一次項對應(yīng)的坐標軸上，且開口方向與一次項的系數(shù)的正負一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點在軸上，且開口向負方向（向下）③拋物線標準方程中一次項的系數(shù)是焦點的對應(yīng)坐標的4倍.④從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一次項系數(shù)。用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程時，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標準方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點的位置或開口方向定型），然后求一次項的系數(shù)，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論.⑤在求拋物線方程時，由于標準方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標準方程，應(yīng)寫出四種形式的標準方程來，不要遺漏某一種情況?？键c三：拋物線的簡單幾何性質(zhì)：拋物線標準方程的幾何性質(zhì)范圍：，，拋物線y2=2px（p＞0）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標（x，y）的橫坐標滿足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。對稱性：關(guān)于x軸對稱拋物線y2=2px（p＞0）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。頂點：坐標原點拋物線y2=2px（p＞0）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標是（0，0）。拋物線標準方程幾何性質(zhì)的對比圖形標準方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點O（0，0）范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點離心率e=1準線方程焦半徑知識點詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準線；（2）標準方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點到準線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點坐標和準線方程.重難點題型突破1拋物線的定義及應(yīng)用例1．(1)、（2020·福建省莆田市高三質(zhì)檢）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，A為C上一點，且|AF|＝5，O為坐標原點，則△OAF的面積為（）A．2 B． C． D．4【答案】A【解析】根據(jù)題意，拋物線：的焦點為，設(shè)，則，，，，故選A。（2）、（23·24上·常州·期中）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，則點到軸的距離為（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)拋物線定義求解即可.【詳解】由題意得，，拋物線中，所以，所以所求距離為.故選：B【變式訓(xùn)練11】、（23·24上·贛州·期中）已知是拋物線：的焦點，A是上的一點，若，則A的縱坐標為.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析求解.【詳解】由題意可知：，準線為，設(shè)A的縱坐標為，由題意可知：，解得，所以A的縱坐標為.故答案為：.【變式訓(xùn)練12】．（河南省安陽一中2019屆期末）若拋物線y2＝2x上的一點M到坐標原點O的距離為eq\r(3)，則點M到該拋物線焦點的距離為________．【答案】eq\f(3,2)【解析】設(shè)點M(xM，yM)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,M)＝2xM，,x\o\al(2,M)＋y\o\al(2,M)＝3，))即xeq\o\al(2,M)＋2xM－3＝0，解得xM＝1或xM＝－3(舍去)．故點M到該拋物線焦點的距離為xM＋eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).重難點題型突破2拋物線的幾何性質(zhì)例2．（1）、（22·23上·宜春·期末）已知拋物線：，則拋物線的焦點坐標為．【答案】/【分析】把拋物線的方程化成標準形式，再寫出焦點坐標即可.【詳解】拋物線：，即，所以拋物線的焦點坐標為.故答案為：（2）、（23·24上·銀川·期中）如果拋物線的準線是直線，那么它的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合拋物線的準線確定其焦點即可.【詳解】由于拋物線的準線是直線，所以它的焦點為.故選：D（3）、（22·23上·豐臺·開學(xué)考試）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為3，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)拋物線方程寫出其準線方程，再利用拋物線定義即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：根據(jù)題意可得拋物線的準線方程為，若到直線的距離為，則到拋物線的準線的距離為，利用拋物線定義可知.故選：A【變式訓(xùn)練21】、（23·24上·臺州·期中）準線方程為的拋物線的標準方程為.【答案】【分析】根據(jù)準線方程確定拋物線開口方向并求出值，進而求其標準方程【詳解】已知拋物線的準線方程為，得該拋物線開口向右，且，得，故拋物線的方程為：.故答案為：【變式訓(xùn)練22】、（22·23上·貴陽·期中）拋物線的焦點到圓上點的距離的最大值為（

）A．6 B．2 C．5 D．8【答案】A【分析】求出拋物線的焦點坐標，再利用圓的性質(zhì)求解作答.【詳解】拋物線的焦點為，圓C：的圓心為，半徑，，所以F到圓C上點的距離的最大值為.故選：A【變式訓(xùn)練23】、（2022·安徽蚌埠·一模）已知點是拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于兩點，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】設(shè)直線的傾斜角為，用表示出，再應(yīng)用基本不等式求目標式的最小值，注意等號成立條件.【詳解】拋物線，焦點，設(shè)直線的傾斜角為，得：，則，.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：D重難點題型突破3求拋物線的標準方程例3．（1）、（22·23上·津南·期末）準線為的拋物線的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的準線得到，進而寫出拋物線方程.【詳解】由準線為，即拋物線焦點為，即，所以拋物線方程為.故選：D（2）、（22·23上·梅州·階段練習(xí)）設(shè)拋物線C：的焦點為F，點M在C上，，若以MF為直徑的圓過點，則C的方程為.【答案】或.【分析】先由拋物線的定義得到點M的橫坐標，進而得到圓心的橫坐標為，結(jié)合其半徑也為，得到圓與y軸的切點為，從而得到圓心為，進而得到點M的坐標，代入拋物線方程求解.【詳解】解：由題意得，設(shè)，則由拋物線的定義得，則，所以圓心的橫坐標為，其半徑也為，所以圓與y軸相切，又因為以MF為直徑的圓過點，所以切點為，所以圓心為，則，又因為點M在拋物線上，所以，即，解得或，所以拋物線方程為：或.故答案為：或.【變式訓(xùn)練31】、（23·24上·焦作·階段練習(xí)）頂點在原點，準線方程為的拋物線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線的標準方程與準線方程的關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】因為準線方程為的拋物線方程為，所以準線方程為的拋物線方程為.故選：D.【變式訓(xùn)練32】、（23·24上·浦東新·期中）拋物線的準線方程為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的方程得出的值，進而得解.【詳解】拋物線，即為，∴，∴拋物線的準線方程為.故答案為：.例4．（22·23下·和田·期中）（1）求焦距是，離心率等于的橢圓的標準方程；（2）求頂點在原點，對稱軸是軸，并經(jīng)過點的拋物線的標準方程.【答案】（1）答案見解析；（2）【分析】（1）由焦距、離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系求出橢圓參數(shù)，討論焦點位置寫出對應(yīng)橢圓標準方程；（2）由題意設(shè)，結(jié)合所過的點求參數(shù)，即得標準方程.【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)焦點在x軸時，橢圓標準方程為；當(dāng)焦點在y軸時，橢圓標準方程為.（2）由題意，設(shè)拋物線方程為，則，所以拋物線的標準方程為.【變式訓(xùn)練41】、（22·23·江蘇·假期作業(yè)）求適合下列條件的拋物線的標準方程和準線方程：(1)拋物線的焦點到準線的距離是3，而且焦點在軸的正半軸上；(2)拋物線的焦點是.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）首先設(shè)出拋物線的標準形式，再根據(jù)題意確定的值，即可求解；（2）根據(jù)焦點坐標設(shè)出拋物線的標準方程的形式，并確定的值，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，拋物線的標準方程具有的形式，而且，因此所求標準方程為，準線方程為.（2）因為拋物線的焦點坐標是，所以拋物線的標準方程具有的形式，而且因此，從而所求拋物線的標準方程是，準線方程為.重難點題型突破4直線與拋物線位置關(guān)系例5、（23·24上·云南·階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，是上一點，其中，且．(1)求拋物線的方程；(2)過點的直線與相交于P，Q兩點，若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意列方程求解出p，即可求得答案.（2）設(shè)的方程并聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，即可求出的表達式，結(jié)合化簡可得a的值.【詳解】（1）由題可知，其中，解得，或（舍去）．故拋物線C的方程為．（2）設(shè)的方程為，，，聯(lián)立方程組，整理得，，則，．，，同理，則，由，得，整理得．因為，所以，即．【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于設(shè)出直線方程并聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合化簡，計算稍顯復(fù)雜，需要細心些.【變式訓(xùn)練51】、（23·24上·茂名·階段練習(xí)）已知拋物線：（）上的一點到準線的距離為1．(1)求拋物線的方程；(2)若正方形的三個頂點、、在拋物線上，求這種正方形面積的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)拋物線定義可求解；（2）設(shè)出，，點的坐標，的斜率為，根據(jù)斜率公式可得，，再根據(jù)，可得，可求出正方形面積的表達式，利用不等式放縮可求出面積的最小值.【詳解】（1）拋物線的準線方程為，由拋物線上點到準線的距離為1，結(jié)合拋物線的定義得，∴，拋物線的方程為.（2）方法一：如圖設(shè)三個頂點有兩個在軸的右側(cè)（包括軸），設(shè)在拋物線上的三個點，，點的坐標分別為，，，，的斜率為（）．則有，，即，．所以，，①又，所以即,代入①，得,即,∵，，，∴，化簡得，正方形的面積為，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，∴.方法二：的斜率為（），點的坐標為，則由，得，∴，，又，∴，即，∴，即，∴，正方形的面積，令，，則，設(shè)，，則，，∵，∴，∴單調(diào)遞增，.方法三：設(shè)直線：，（為參數(shù)）代入拋物線，得，即，∴，，設(shè)，則，同理，，不妨設(shè)，∵，∴，化簡得，∴，，設(shè)，則，，，∵，∴，∴單調(diào)遞增，.重難點題型突破5拋物線與其他圓錐曲線的綜合問題例6.（1）、（21·22上·玉林·期末）已知拋物線的焦點F在直線上，過點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，△的面積是△面積的4倍，則直線l的方程為．【答案】【分析】設(shè)A，B分別為，由焦點在已知直線上求F坐標及拋物線方程，再根據(jù)題設(shè)三角形的面積關(guān)系可得，并設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達定理求參數(shù)m，即可知直線l的方程.【詳解】設(shè)點A，B的坐標分別為，直線，令可得，故焦點F的坐標為，所以，由，，而△的面積是△面積的4倍，所以，即，設(shè)直線l為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，所以，代入，有，可得，則直線l的方程為．故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)拋物線焦點位置及其所在直線求拋物線方程，由面積關(guān)系得到交點縱坐標的數(shù)量關(guān)系，注意交點在x軸兩側(cè)，再設(shè)直線聯(lián)立拋物線求參數(shù)即可.（2）、（23·24上·長沙·階段練習(xí)）（多選題）已知是拋物線的焦點，是上的兩點，為原點，則（

）A．若垂直的準線于點，且，則四邊形的周長為B．若，則的面積為C．若直線過點，則的最小值為D．若，則直線恒過定點【答案】BCD【分析】對于A，由條件可得垂直于軸，然后可得四邊形的周長，對于B，由條件可得點的橫縱坐標，即可得的面積，對于C，設(shè)直線，然后聯(lián)立拋物線的方程消元，然后得到，然后結(jié)合基本不等式可得的最小值，對于D，設(shè)直線，然后聯(lián)立拋物線方程消元，然后由可求出的值.【詳解】

對于選項，由題意知，且垂直于軸，根據(jù)拋物線的定義可知.設(shè)與軸的交點為，易知，故，所以四邊形的周長為，選項錯誤；對于選項，由題意得，解得，所以，從而，選項正確；對于選項，若直線過點，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程得，易得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，選項C正確；對于選項D，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程得，則，即，，所以，由可得，即，解得，故直線的方程為，即直線恒過定點，選項D正確.故選：BCD.【變式訓(xùn)練61】、（21·22上·全國·階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為F，過點的直線l與拋物線交于，兩點（其中），連接并延長交拋物線于點C，記直線l的斜率為k，直線的斜率為，則.【答案】0【分析】根據(jù)給定條件寫出直線l、直線BF方程，再分別與拋物線的方程聯(lián)立，探求出點C，A的坐標關(guān)系即可作答.【詳解】依題意，直線的方程為：，由y=kx?2x2=8y消去y并整理得：，則有，拋物線的焦點為，令直線BF的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，則有，因此有，而A，C都在拋物線上，由對稱性知，點A，C關(guān)于y軸對稱，于是得.所以.故答案為：0【點睛】思路點睛：解答直線與圓錐曲線的題，常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．【變式訓(xùn)練62】、（22·23·全國·專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交拋物線于點，則下列判斷不正確的是（

）A．若過點，則的準線方程為 B．若過點，則C．若，則 D．若，則點的坐標為【答案】D【分析】根據(jù)直線與橫軸的交點坐標、拋物線的定義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)、根的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，對于A項，若過點，則點的坐標為，所以，故的準線方程為，故A項正確；對于B項，由A可得的方程為，與的方程聯(lián)立，消去并整理，得，則，，根據(jù)拋物線的定義，可得，，．所以，所以，故B項正確；對于C項，將的方程與的方程聯(lián)立，得，所以，．設(shè)，則，所以，即，由得，即，所以，所以，故C正確；對于D項，由C知，，所以焦點，故D錯誤．故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：利用拋物線的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.1．（23·24上·鹽城·期中）拋物線的準線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為標準形式，進而可得準線方程.【詳解】由，得，所以其準線方程為，故選：B.2．（23·24上·株洲·階段練習(xí)）焦點坐標為的拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)焦點位置寫出拋物線的標準方程.【詳解】焦點坐標為，則拋物線開口向左，焦點在軸上，故拋物線的標準方程是.故選：D3．（23·24·昆明·模擬預(yù)測）（多選題）在直角坐標系中，已知拋物線：的焦點為，過點的傾斜角為的直線與相交于，兩點，且點在第一象限，的面積是，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)和點到直線的距離公式結(jié)合的面積是可得，；由公式，可得，.【詳解】由題意得，設(shè)直線：即，則點到直線的距離是，所以，得，所以，，，所以AC正確，故選：AC.4．（23·24上·南通·階段練習(xí)）過點向拋物線引兩條切線，切點分別為A，B，直線恒過的定點為.【答案】【分析】設(shè)出切線方程后代入拋物線方程，利用可求得，再通過方程的解可求得切點坐標，繼而求出切線斜率，得到切線方程，進一步分析即可.【詳解】設(shè)過點的切線方程為，代入拋物線方程得：,其判別式，即，故得，，又的解為，所以切點的橫坐標為，代入拋物線方程可求得切點坐標為，設(shè)，令，則，即切點的坐標為;令，則，即切點的坐標為，故直線的斜率故直線的方程為，當(dāng)時，即直線過定點.5．（23·24·全國·專題練習(xí)）已知點是曲線上任意一點，，連接并延長至，使得，求動點Q的軌跡方程．【答案】【分析】設(shè)出動點和相關(guān)點，再根據(jù)條件，，再代入即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)動點的坐標，點P坐標，，因為，所以，，可得，，代入，得，整理得，所以動點Q的軌跡方程為．故答案為：6．（23·24上·全國·課時練習(xí)）求適合下列條件的拋物線的標準方程：(1)頂點在原點，準線方程為；(2)