2023-2024學(xué)年山東省青島高二上冊(cè)期初考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省青島市高二上冊(cè)期初考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則=A． B． C． D．2．某中學(xué)高一年級(jí)共有學(xué)生1200人，為了解他們的身體狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本，若樣本中共有男生42人，則該校高一年級(jí)共有女生A．630 B．615 C．600 D．5703．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．4．已知平面向量，，且，則（

）A．1 B．14 C． D．5．若，則（

）A． B． C． D．6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B．或 C．或 D．或7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”（chumeng）是指底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如圖，五面體ABCDEF是一個(gè)芻甍，其中都是正三角形，，則以下兩個(gè)結(jié)論：①；②，說(shuō)法正確的是（

）A．①和②都不成立 B．①成立，但②不成立C．①不成立，但②成立 D．①和②都成立8．已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分．9．給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)有（

）A．非零向量，，滿足且與同向，則B．若單位向量，的夾角為60°，則當(dāng)取最小值時(shí)，C．在中，若，則為等腰三角形D．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是10．有5件產(chǎn)品，其中3件正品，2件次品，從中任取2件，則互斥的兩個(gè)事件是A．至少有1件次品與至多有1件正品 B．至少有1件次品與都是正品C．至少有1件次品與至少有1件正品 D．恰有1件次品與恰有2件正品.11．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Р為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．兩條異面直線和所成的角為 B．不存在點(diǎn)P，使得平面BEPC．對(duì)任意點(diǎn)Р，平面平面BEP D．點(diǎn)到直線的距離為412．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意都有，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的周期為4 D．為偶函數(shù)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，則的值為．14．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．在三棱錐中，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，側(cè)棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為．16．已知分別是邊的中點(diǎn)，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)(不包含兩點(diǎn))，且滿足，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明．證明過(guò)程或演算步驟．17．已知平面向量滿足，，且．(1)求在方向上的投影向量；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．18．已知為三角形的一個(gè)內(nèi)角，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，且在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上.(1)求；(2)設(shè)，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，求的面積.19．如圖，在正四棱柱中，，∥平面MAC．

(1)證明：M是的中點(diǎn)；(2)若正四棱柱的外接球的體積是，求該正四棱柱的表面積．20．某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過(guò)的部分按0.5元收費(fèi)，超過(guò)但不超過(guò)的部分按0.8元收費(fèi)，超過(guò)的部分按1.0元收費(fèi).（1）求某戶居民用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：）的函數(shù)解析式（2）為了了解居民的用電情況，通過(guò)抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的月用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率直方圖.若這100戶居民中，今年1月份電費(fèi)不超過(guò)260元的占80%，求，的值；（3）在（2）的條件下，計(jì)算月用電量的75%分位數(shù).21．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E為PD上的中點(diǎn).

(1)求證：PB平面AEC；(2)設(shè)PA=AB=1，求平面AEC與平面AED夾角的余弦值.22．設(shè)函數(shù)，若銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC外接圓的半徑為R，．(1)若，求B；(2)求的取值范圍．1．C【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2．D【分析】根據(jù)分層抽樣的方法，結(jié)合比例的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】高一年級(jí)共有學(xué)生1200人，按性別用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本，樣本中共有男生42人，則高一年級(jí)的女生人數(shù)約為.故選：D.本題主要考查了分層抽樣的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.3．D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，基本初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)為奇函數(shù)，但在定義域上函數(shù)不單調(diào)，故A不符合；對(duì)于B，的定義域?yàn)?，，則為偶函數(shù)，故B不符合；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋?，則為奇函數(shù)，又函數(shù)在上均為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，故C不符合；對(duì)于D，的定義域?yàn)椋?，則為奇函數(shù)，又函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在上為減函數(shù)，故D符合.故選：D.4．B【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式以及數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所?故選：B5．B【分析】利用湊角，同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角的余弦公式轉(zhuǎn)化計(jì)算.【詳解】，故選：B6．D【分析】利用正弦定理求出，進(jìn)而得出答案．【詳解】因?yàn)?，，，所以由正弦定理得，得，因?yàn)椋?，所以，所以或，則或．故選：D．7．D【分析】利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理和勾股定理進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榈酌鏋榫匦危杂?，平面，平面，所以平面，而平面平面，所以，故結(jié)論①是正確的；取的中點(diǎn)，連接如下圖所示：因?yàn)?，所以有，因此四邊形是平行四邊形，所以有，不妨設(shè)，因此，，因?yàn)槎际钦切?，所以，因此有，因?yàn)?，所以，因此，故結(jié)論②是正確的.故選：D本題考查了線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，考查了勾股定理，考查了數(shù)學(xué)閱讀能力8．C【分析】根據(jù)已知條件及奇函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)與大致圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象即可求解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由，得，由此可在坐標(biāo)系中畫出與的大致圖象，如圖所示，AI由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以關(guān)于的不等式的解集為.故選：C.9．BC【分析】根據(jù)向量的定義，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)向量數(shù)量積求得，可判定B正確；由表示與的平分線共線的向量，結(jié)合三角形的性質(zhì)，可判定C正確；當(dāng)時(shí)，得到向量與向量的夾角為，可判定D項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，向量的既有大小又有方向的量，所以向量不能比較大小，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)閱挝幌蛄?，的夾角為，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，所以B正確；對(duì)于C中，因?yàn)楸硎九c的平分線共線的向量，又因?yàn)?，可得的平分線與垂直，所以為等腰三角形，所以C正確；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)向量與向量的夾角為，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10．BD【分析】根據(jù)互斥事件的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)做出判斷，從而得到結(jié)論．【詳解】對(duì)于A，至少有1件次品與至多有1件正品不互斥，它們都包括了“一件正品與一件次品”的情況，故不滿足條件；對(duì)于B，至少有1件次品與都是正品是對(duì)立事件，屬于互斥事件，故滿足條件；對(duì)于C，至少有1件次品與至少有1件正品不互斥，它們都包括了“一件正品與一件次品”的情況，故不滿足條件；對(duì)于D，恰有1件次品與恰有2件正品是互斥事件，故滿足條件．故選：BD．本題考查互斥事件的判斷，考查邏輯思維能力和分析求解能力，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題.11．ACD【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征及異面直線所成角的定義判斷A；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，可得平面，即可判斷B；連接CF，推導(dǎo)出，從而得平面，進(jìn)一步得平面平面即可判斷C；由余弦定理求出，由此能求出點(diǎn)到直線的距離判斷D．【詳解】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可知，兩條異面直線和所成的角即為，所以A正確；

對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，由題可知，所以，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，則平面，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，連接，由于平面，平面，故，

又，故，故，即，故，又相交，平面，故平面，又平面，故對(duì)任意點(diǎn)，平面平面，所以C正確；對(duì)于D，由正方體的性質(zhì)可得，，所以，又，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以D正確．

故選：ACD．12．ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性、周期性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：∵，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確，B錯(cuò)誤；∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，又，∴，∴函數(shù)的周期為4，故C正確；∵函數(shù)，故為偶函數(shù)，故D正確．故選：ACD.13．1【分析】利用誘導(dǎo)公式對(duì)原式化簡(jiǎn)得，然后分子分母同時(shí)除以，再由代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以；?14．【分析】分類討論，當(dāng)時(shí)，分析得到，即；當(dāng)時(shí)，，綜合即得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∵開口向下，對(duì)稱軸為，在對(duì)稱軸的左邊單調(diào)遞增，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，是以2為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，是增函數(shù)，故；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是：故本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15．【分析】根據(jù)已知，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球，即可求解．【詳解】根據(jù)已知，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．設(shè)正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點(diǎn)，的外接圓半徑為，，所以球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為，故．16．##【分析】由三點(diǎn)共線得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由于是上的一動(dòng)點(diǎn)(不包含兩點(diǎn))，且滿足，所以且，以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故17．(1)(2)【分析】（1）由，平方求得，結(jié)合投影向量的計(jì)算公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：由，，且，平方得，解得，所以在方向上的投影向量為.（2）解：因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，所以，解得18．(1)(2)【分析】（1）先得到，再根據(jù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，由求解；（2）先得到各復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，然后利用余弦定理求得一個(gè)角，再利用三角形面積公式求解.【詳解】（1）解：∵，∴，，∴；（2）由（1）知：，，∴，，∴.在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，∴，，，由余弦定理可得，且，∴，∴.19．(1)證明見解析(2)10【分析】（1）連接BD，交AC于N，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，可得，由是BD的中點(diǎn)，可得是的中點(diǎn)；（2）根據(jù)正四棱柱的外接球的體積求得AB，即可求該正四棱柱的表面積．【詳解】（1）連接BD，交AC于N，連接MN．因?yàn)椤蚊鍹AC，面，且面MAC∩面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得，，在正四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，所以N是BD的中點(diǎn)，所以M是的中點(diǎn)．

（2）設(shè)，正四棱柱的外接球的半徑為,因?yàn)檎睦庵耐饨忧虻捏w積,解得，由題意為正四棱柱的外接球的直徑，由，得，解得或(舍)，即，所以正四棱柱的表面積為．20．（1）；（2），；（3）375千瓦時(shí).【分析】（1）根據(jù)題意以及分段函數(shù)的知識(shí)，求得與之間的函數(shù)解析式.（2）先求得用電量低于400千瓦時(shí)的占80%，利用頻率之和列方程組，解方程組求得的值.（3）根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法，計(jì)算出分位數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以與之間的函數(shù)解析式為（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即用電量低于400千瓦時(shí)的占80%，結(jié)合頻率分布直方圖可知解得，.（3）設(shè)75%分位數(shù)為，因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為，用電量低于400千瓦時(shí)的占80%，所以75%分位數(shù)在內(nèi)，所以，解得，即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時(shí).21．(1)證明見解析(2).【分析】（1）根據(jù)線線平行即可得線面平行，（2）利用線面垂直得線線垂直，進(jìn)而得平面夾角的平面角，即可利用邊角關(guān)系求解，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角即可求解.【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又平面平面，平面.

（2）方法一：由于,PA⊥平面ABCD，平面ABCD,所以,平面,所以平面,平面,所以,由于為中點(diǎn)，所以,因此即為平面AEC與平面AED所成角的平面角或其補(bǔ)角，由于,所以,故平面A